Einarbeitung in die digitale Signalverarbeitung, IIR Filter

[Domas K. (lumex)]

Hallo zusammen,

ich arbeite mich aktuell in die digitale Signalverarbeitung ein, da mich 
das Modul im nächsten Studiensemester erwarten wird. Ich habe angehängte 
Übungsaufgabe zur Vorbereitung bekommen und habe versucht, diese zu 
lösen. Gefragt ist nach Differenzengleichung, Übertragungsfunktion, 
Pol-/Nullstellendiagramm, Impulsantwort. Hierbei sind ein paar Fragen 
aufgetaucht, die ihr mir hoffentlich beantworten könnt.

Die Differenzengleichung habe ich versucht, direkt aus dem Blockdiagramm 
abzuleiten:

$$y[n] = 1*x[n] + 1*x[n-1] + 0.5*y[n-1]$$

Was bewirkt eine Verstärkung von 1 im Blockdiagramm? An meiner 
Differenzengleichung scheint das ja nichts zu verändern.

Für die Ü-Fkt. habe ich die Standard-Ü-Fkt. eines IIR-Filters n-ter 
Ordnung genommen und meine Koeffizienten eingesetzt:

$$H(z) = \frac{ 1+z^{ -1 } }{ 1-0.5z^{ -1 } } = \frac{ z+1 }{ z-0.5 }$$

Hier habe ich zum Vorzeichen (1 + bzw. 1 -) im Nenner unterschiedliches 
gelesen. Ist das Minus an der Stelle richtig?

Aus der Ü-Fkt. komme ich dann auf eine Nullstelle bei - 1 und eine 
Polstelle bei 0.5
-> Befinden sich beide auf der Re-Achse im Pole/Zero-Diagram

Für die Impulsantwort multipliziere ich die Ü.Fkt. mit der Dirac-Fkt. im 
z-Bereich:

$$\frac{ z+1 }{ z-0.5 } \times 1$$

und wende die inverse z-Transformation an und komme auf

$$3 \times 2^{-n}$$

Ist meine Vorgehensweise soweit richtig? Aus der Impulsantwort des 
Filters werd ich nicht schlau, wofür wird so ein Filter verwendet? Habe 
den Plot von Wolfram Alpha mal angehängt.

Gruß,
Domas

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

Domas K. schrieb:
> Was bewirkt eine Verstärkung von 1 im Blockdiagramm?

Nix. Koenntest genausogut statt dem Dreieck mit der 1 drinnen einen 
Strich (ein Stueck "Kabel") zeichnen.

Domas K. schrieb:
> Ist das Minus an der Stelle richtig?

Ich denke schon.

Domas K. schrieb:
> Ist meine Vorgehensweise soweit richtig?

Die Uebertragungsfkt. scheint mir noch OK zu sein, die Impulsantwort 
wuerd' ich so nicht abkaufen. Die muesste mit h(0)=1 losgehen, taet' ich 
sagen.

Domas K. schrieb:
> wofür wird so ein Filter verwendet?

Koennt' man als Tiefpass nehmen. Gleich"spannung" verstaerkt der mit dem 
Faktor 4; bei der halben Abtastfrequenz faellt man genau in die 
Nullstelle.

Der Plot ist komisch. Wieso ist der bei negativem n ungleich 0? und 
wieso ist der so durchgezogen? Ich haett' da eher nur Punkte erwartet.

Gruss
WK

[Edi M. (Gast)]

Was soll denn der Plto überhaupt aussagen? Den Verlauf der Funktion im 
Zeitbereich?