Vereinfachung einer Übertragungsfunktion

[Holger K. (holgerkraehe)]

Hallo zusammen

Ich bin immernoch mit Übertragungsfuinktionen beschäftigt.
Aktuell die angehängte Schaltung.

Für diese Bekomme ich durch ausrechnen mit dem Knotenpotentialverfahren 
folgende Gleichung:


- (  - C3 C2 C1 R1 R2 R3 R5 - C3 C2 C1 R1 R2 R3 R4 ) j w^3
------------------------------------------------------------------------ 
------
+ (  - R5 )
+ (  - C1 R2 R5 - C2 R2 R5 - C2 R1 R5 + C3 R3 R4 - C3 R1 R5 ) j w
- (  - C2 C1 R1 R2 R5 + C3 C1 R2 R3 R4 - C3 C1 R1 R2 R5 + C3 C2 R2 R3 R4 
- C3 C2 R1 R3 R5 - C3 C2 R1 R2 R5 ) w^2
- (  - C3 C2 C1 R1 R2 R3 R5 ) j w^3


Nun bin ich wirklich ein wenig überfordert, wie ich dies in eine schöne 
Form bringen kann.

Irgendwo muss ich mein T definieren.
Vermutlich ist mein T alles nach dem höchsten Exponenten.
Also in diesem Fall  (  - C3 C2 C1 R1 R2 R3 R5 - C3 C2 C1 R1 R2 R3 R4 )

j*w wäre dann später s

Das angehängte Filter ist ein Tschebyscheff Hochpass 3. Ordnung

Danke für eure Tipps und Hilfe

[Helmut S. (helmuts)]

Du hast am Opamp die Eingänge fälschlicher Weise vertauscht.
Im Screenshot sieht man die richtige Schaltung.
 Außerdem habe ich die Widerstände so numeriert wie in dem Buch "Aktive 
RC-Filter" von Herpy/Berka. In dem Buch findet man auch die Formeln für 
die Dimensionierung der Widerstände bei vorgegebenem C.

Die Formel wurde von Sapwin4 berechnet. Beachte die Numerierung der 
Widerstände!


- (  C3 C2 C1 R1 R2 R3 R5 + C3 C2 C1 R1 R2 R3 R4 ) j w^3
------------------------------------------------------------------------ 
-
+ (  R4 )
+ (  C1 R1 R4 + C2 R2 R4 + C2 R1 R4 - C3 R3 R5 + C3 R2 R4 ) j w
- (  C2 C1 R1 R2 R4 - C3 C1 R1 R3 R5 + C3 C1 R1 R2 R4 + C3 C2 R2 R3 R4 - 
C3 C2 R1 R3 R5 + C3 C2 R1 R2 R4 ) w^2
- (  C3 C2 C1 R1 R2 R3 R4 ) j w^3


Eigentlich solte man das so schreiben, weil es verwirrt (jw)^3 als -jw^3 
umzuformen.

(1+R5/R4)* (  C3 C2 C1 R1 R2 R3 ) (jw)^3
--------------------------------------------------------------------
+ (  1 )
+ (  C1 R1 + C2 R2 + C2 R1 - C3 R3 R5/R4 + C3 R2 ) j w
+ (  C2 C1 R1 R2 - C3 C1 R1 R3 R5/R4 + C3 C1 R1 R2 + C3 C2 R2 R3 - C3 C2 
R1 R3 R5/R4 + C3 C2 R1 R2 ) (jw)^2
+ (  C3 C2 C1 R1 R2 R3 ) (jw)^3

[Holger K. (holgerkraehe)]

Helmut S. schrieb:
> Du hast am Opamp die Eingänge fälschlicher Weise vertauscht.

In meiner Aufgabenstellung sind die Anschlüsse aber exakt wie in meinem 
ersten Post. Habe es nun extra nochmals gefühlte 10 mal überprüft :)

Kann es sein, dass meine Aufgabenstellung falsch ist?

Wie gesagt, ist das Thema an sich Neuland für mich. Daher kann ich aus 
dem Stand heraus nicht erkennen, ob die Schaltung falsch ist.

Danke

[Helmut S. (helmuts)]

Schau die nichtinvertierende Operationsverstärkerschaltung an.
Die Verstärkung v der Schaltung in meinem Bild ist
v = 1 + R5/R4

Mit deinen Bezeichnern wäre das
v = 1 + R4/R5
Allerdings musst auch du R4 und R5 an den Minuseingang hängen.
Es ist einfach falsch die an den Pluseingang zu hängen. Darüber muss man 
überhaupt nicht diskutieren.

Bezeichner = reference designator

PS: Die eher verwürfelte Wahl der Bezeichner der Widerstände wird oft 
gemacht damit die Leute die einfach irgendwo abschreiben hereinfallen. 
In deinem Fall musst du halt bei deinen Bezeichnern bleiben, da es eine 
Hausaufgabe ist.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Helmut S. schrieb:
> Es ist einfach falsch die an den Pluseingang zu hängen. Darüber muss man
> überhaupt nicht diskutieren.

In diesem Fall ist dann wohl die Übungsaufgabe falsch?
Habe noch ein wenig recherchiert.
Ist wohl tatsächlich falsch!

Danke für die Hinweise :)

[Hannes J. (Firma: _⌨_) (pnuebergang)]

Holger K. schrieb:
> Helmut S. schrieb:
>> Du hast am Opamp die Eingänge fälschlicher Weise vertauscht.
>
> In meiner Aufgabenstellung sind die Anschlüsse aber exakt wie in meinem
> ersten Post. Habe es nun extra nochmals gefühlte 10 mal überprüft :)
>
> Kann es sein, dass meine Aufgabenstellung falsch ist?

Kann sein. Wenn die Opamp-Eingänge anders währen, dann wäre das der 
Aufbau eines Sallen-Key Hochpass dritter Ordnung (kannst du googlen).

Holger K. schrieb:
> Nun bin ich wirklich ein wenig überfordert, wie ich dies in eine schöne
> Form bringen kann.

So richtig schön wird die nicht. Mein erster Schritt wäre die Formel mit 
Impedanzen aufzustellen. Das ist zwar nur ein Schreibtrick, aber man hat 
erst mal jω aus den Füßen. Dann nicht alles ohne Grund 
auszumultiplizieren. Das macht die Terme nur länger. Terme suchen die 
nach einer Parallelschaltungen aussehen und durch das Symbol für 
Parallelschaltung ersetzen: 1/(1/Za + 1/Zb) = Za||Zb

Wenn es ein Sallen-Key Filter wäre käme hinzu, dass man dort mit 
Widerständen und Kondensatoren arbeitet, die jeweils in einem festen 
Verhältnis zueinander stehen. Dadurch wird die Formel einfacher.

Dann gibt es noch andere Darstellungsmöglichkeiten in der E-Technik, wie 
Vierpole.

[Helmut S. (helmuts)]

> In diesem Fall ist dann wohl die Übungsaufgabe falsch?

Das korrigierst du einfach und machst mit der Aufgabe weiter.

In dem von mir zitierten Buch wird die Funktion mit dieser Darstellung 
verglichen.

F(jw) = T0 * (jw)^3/(we*wp^2) / ( (1+jw/we)*(1+jw/(wp*Qp)+(jw)^2/wp^2) )

Die Übetragungsfunktion hat für Butterworth und Tschebyscheff einen 
reellen Pol und zwei konjugiert komplexe Pole.

T0 ist die Verstärkung die sich mit R4 und R5 ergibt.

Mit geschickter Wahl der Verhältnisse der Bauteile schaffen die es zu 
jedem Filtertyp die Bauteilewerte zu berechnen. Wenn man da alle 
Freiheitsgrade haben will, dann muss man die Werte mit einem Optimizer 
numerisch berechnen.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Vielen herzlichen Dank für deine Antwort.
Dies hat mir bereits sehr weitergeholfen.

Ich werde versuchen, dieses Buch ebenfalls zu bekommen.
Die OP-Eingänge habe ich inzwischen vertauscht :)

Ich werde mal versuchen, die Schaltung zu dimensionieren.