Komplexer Widerstand

[Heinz Günter (Gast)]

Hallo zusammen,

ich hätte mal eine Frage zur mathematischen Herleitung von
komplexen Widerständen:
Warum wird aus R = j*2Pi*f*C zu R = r*e^j90° ?
Warum wird j zu 1*e^j90° ? Wie lässt sich das mathematisch begründen?

Gruß, Heinz

[Sven B. (scummos)]

Die einfache Antwort wäre "ist halt so", exp(pi/2*1j) = 1j.

Willst du das jetzt bewiesen haben? Aus welchen Voraussetzungen?

[Helmut S. (helmuts)]

e^(j*phi) = cos(phi) +j*sin(phi)


e^(j*90°) = cos(90°) + j*sin(90°) = 0 + j*1 = j

[Heinz Günter (Gast)]

@Helmut S. Danke!

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Helmut S. schrieb:
> e^(j*phi) = cos(phi) +j*sin(phi)

Und das wiederum lässt sich leicht mittels Taylorreihenentwicklung
zeigen:

  https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel#Herleitung_mittels_Reihenentwicklung

[Klaus Lunze (Gast)]

Dein Blindwiderstand ist falsch, denn es müsste U=I*1/(wC) heissen. (U 
und I sind hier Amplituden und w=2*pi*f). Der Winkel ist demnach auch 
-90° bzw. - pi/2 und nicht 90° bzw. pi/2!

Helmuts Argument ist deshalb für die Kapazität unpassend, formell aber 
richtig.

Der Winkel bei der Kapazität ist eben -pi/2 da der Strom der Spannung um 
pi/2 voreilt und der Winkel mit phi=phi_U-phi_I definiert ist.

[Tester (Gast)]

Heinz Günter schrieb:
> Warum wird j zu 1*e^j90° ? Wie lässt sich das mathematisch begründen?

Diese Beziehung wird eulersche Identität genannt. Wenn du genau wissen 
willst was dahinter steckt kannst du mal danach googlen oder in einem 
Mathebuch stöbern.