Matheproblem - Bestimmung einer annähernden Exponentialfunktion

[Ttt T. (demu)]

Hallo,

die zu bestimmende Funktion sieht allgemein wie folgt aus:

$$y=y_{max} \cdot (1-e^{- \tau \cdot t})$$

Gegeben ist der Verlauf als Zeichnung.
Der Verlauf sieht wie in der Abbildung aus.
Der Maximalwert y_max ist nicht bekannt und kann auch nicht wirklich
abgeschätzt werden.

Mein Ansatz war jetzt, dass ich mir 2 Punkte der Funktion suche und die
ineinander einsetzte. Doch da stoß ich an meine Grenzen..


Beliebige Punkte:
(2/650)
(3/700)

Ansatz:

1:

$$650=y_{max} \cdot (1-e^{- \tau \cdot 2})$$

2:
700=ymax⋅(1−e−τ⋅3)

$$700=y_{max} \cdot (1-e^{- \tau \cdot 3})$$

2 Umgeformt nach tau:
2:

$$\tau=\frac{ln(\frac{-700}{y_{max}}+1)}{-3}$$

ln(−700ymax+1)−3=τ
In 1 eingesetzt:
1:

$$650=y_{max} \cdot (1-e^{- \frac{ln(\frac{-700}{y_{max}}+1)}{-3} \cdot 2})$$

Jetzt komm ich aber nicht weiter..
Wie krieg ich das ordentlich nach y_max umgeformt?

[Marcus H. (Firma: www.harerod.de) (lungfish)]

Hausaufgabe?

tau * t tut mir weh. ;)

y1 = ym * ( 1 - exp( -k * t1 ) )
y2 = ym * ( 1 - exp( -k * t2 ) )

2 Unbekannte, zwei Gleichungen.
Standardvorgehensweise: nach einer Unbekannten auflösen, gleichsetzen,
nach zweiter Unbekannten auflösen.
Erste Unbekannte durch Einsetzen der zweiten Unbekannten in eine der
gegebenen Gleichungen ermitteln.

Bin gespannt auf Dein Ergebnis.

[Ttt T. (demu)]

Hallo Marcus,

nein, das ist keine Hausaufgabe, sondern hat schon Praxisbezug..

Auf ein k anstelle von tau können wir uns einigen.

Die Problematik 2 Unbekannte, 2 Gleichungen hab ich erkannt und versucht 
diese ineinander einzusetzen.

Es scheitert jedoch an der Mathematik.
Ich vermute, dass irgendwelche Potenz- oder Logarithmusgesetze mir 
weiter helfen. Es macht aber einfach nicht "Klick"

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

ev. Hilft dir das


https://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html

Namaste

[Marcus H. (Firma: www.harerod.de) (lungfish)]

(I)  y1 = ym * ( 1 - exp( -k * t1 ) )
(II) y2 = ym * ( 1 - exp( -k * t2 ) )


ym = ( 1 - exp( -k * t1 ) ) / y1  = ( 1 - exp( -k * t2 ) ) / y2



( 1 - exp( -k * t1 ) ) / y1  = ( 1 - exp( -k * t2 ) ) / y2


Jetzt auf beiden Seiten Logarithmieren, dann nach k auflösen.
k in eine der ersten Gleichungen, z.B. (I) einsetzen und diese nach ym 
auflösen.

Check?

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Ansonsten kannst du noch nach Y max umformen und kommst zu

y1 = ym * ( 1 - exp( -k * t1 ) )
y2 = ym * ( 1 - exp( -k * t2 ) )

y1/(1- exp(-k*t1))=y2/(1- exp(-k*t2))


und

y1/y2= 1- exp(-k*t1)/(1- exp(-k*t2))

mit deine Punkten

650/700= 1- exp(-k*2)/(1- exp(-k*3))

ist die Kurve schon beschrieben und unter berücksichtigung von 
https://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html nach k auflösbar ohne 
Kennnis von ym

Namaste

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Mist zu langsam

Namaste

[Marcus H. (Firma: www.harerod.de) (lungfish)]

Winfried J. schrieb:
> Mist zu langsam
...

Allerdings. Das muss im Kopf gehen, sowas...

[U. B. (Gast)]

Heraus kommt:

y ≈ 723,36 * (1- exp(-1,1442)*t)

[Kara B. (Firma: ...) (karabenemsi)]

Winfried J. schrieb:
> y1/y2= 1- exp(-k*t1)/(1- exp(-k*t2))

Da fehlen zwei Klammern. Richtig muß es heißen

y1/y2= (1- exp(-k*t1))/(1- exp(-k*t2))

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Marcus H. schrieb:
> Allerdings. Das muss im Kopf gehen, sowas...
Vor 35 Jahren mit der täglichen Praxis im Studium ja aber.
Nach zig Jahren ohne jegliche Notwendigkeit muss man schauen nicht eine 
Hoax zu vezapfen. ;)

Namaste

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Kara B. schrieb:
> Winfried J. schrieb:
>> y1/y2= 1- exp(-k*t1)/(1- exp(-k*t2))
>
> Da fehlen zwei Klammern. Richtig muß es heißen
>
> y1/y2= (1- exp(-k*t1))/(1- exp(-k*t2))

Hast Recht  ich komm aus ner zeit da gab es noch Bruchstiche die unter 
und über der Summe durchgingen und man hat dafür gar keine Klammern für 
sowas gesetzt.

Die Faulheit ist hier ein echter Fehler

Namaste

[Marcus H. (Firma: www.harerod.de) (lungfish)]

Winfried J. schrieb:
> Marcus H. schrieb:
>> Allerdings. Das muss im Kopf gehen, sowas...
> Vor 35 Jahren mit der täglichen Praxis im Studium ja aber.
> Nach zig Jahren ohne jegliche Notwendigkeit muss man schauen nicht eine
> Hoax zu vezapfen. ;)
Ah, ganz klar mein Vorteil als Jungspund.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Marcus H. schrieb:
> Allerdings. Das muss im Kopf gehen, sowas...

Nur nicht zuviel im Kopf rechnen, sonst passiert so etwas:

Marcus H. schrieb:

> ym = ( 1 - exp( -k * t1 ) ) / y1  = ( 1 - exp( -k * t2 ) ) / y2

Da sollte links wohl 1/ym stehen.


Zu eigentlichen Thema:

Für beliebige t1 und t2 ist das Gleichungssystem i.Allg. nicht 
geschlossen lösbar. Dann muss man zu numerischen Verfahren greifen.

Ist aber t2/t1 = n/m (n, m ganzzahlig und 1 <= m < n <= 5), gibt es eine 
geschlossene Lösung, so auch im Beispiel mit t1=2 und t2=3.

[Marcus H. (Firma: www.harerod.de) (lungfish)]

Oh Mann, ich wusste, dass mir der fehlende Smiley in der Antwort an 
Winfried noch zum Verhängnis wird.

Tatsächlich ist mir beim Übertragen vom Schmierzettel/Hirn ein 
Tippfehler passiert. Danke für die Korrektur.

Auch danke für den Hinweis, auf mögliche Einschränkungen der 
Lösungsmenge.
Für die eingangs gezeigten Randbedingungen des TO sollte es dennoch 
passen.

[Rolf R. (dankobum)]

Marcus H. schrieb:
> Schmierzettel

Was sind das denn für Schriftzeichen auf dem Schmierzettel?

[Marcus H. (Firma: www.harerod.de) (lungfish)]

Lateinische Buchstaben, sog. arabische Ziffern, math. Zeichen und 
japanische Kanji. Letztere fallen schnell aus dem aktiven 
Gedächtnisspeicher, wenn man sie nicht laufend wiederholt. Mit dem 
Programm Anki lerne/wiederhole ich jeden Tag so 80..100 von diesen 
Zeichen.
Typischer Schmierzettel unter der Tastatur - einseitig bedrucktes 
Altpapier für Notizen. Geht nach 1..2 Tagen in den Schredder.

[A. S. (rava)]

Auf deinem Bild erkennt man, dass 2 und 3 relativ nahe 
beieinanderliegen, beispielsweise vertikal - verglichen mit y_max. Auch 
horizontal passiert noch sehr viel. Ich wäre mir nicht so sicher, ob das 
so gut klappt.

Da würde ich noch ein paar mehr punkte nehmen, z.B. bei 1 und 4 und 
gegenrechnen.

Was man auch gut machen kann, ist eine Tangente zeichnen bei t=0. Die 
Steigung der Tangente ist dann die Ableitung der Funktion am Ursprung. 
Das gibt nochmal eine Gleichung, die man echt leicht einsetzen kann:


Steigung = y_max * k