Leitung in Serie zu einer Lastimpedanz.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Hallo zusammen

Folgende Aufgabe:

Gegeben seien 500m homogene, verlustarme Leitung.
Leitungskenngrössen:

R' = 4.6 Ohm/km
G' = 0.5 uS/km
L' = 2 mH/km
C' = 800nF/km

Die Leitung ist sekundärseitig nicht angepasst. Der 
Reflexionskoeffizient beträgt 0.6
Die einlaufende Spannungswelle U1 ist gleich 60V + 0j bei einer Frquenz 
von Omega = 200k

Gesucht:
Wie gross ist die sekundärseitige Impedanz ZL?
Wie hoch ist die Spannung U2 über ZL?

Mein Vorgehen war wie folgt:

Zuerst die Impedanz der Leitung berechnen:

$$Z_{W} = \sqrt{\frac{R'+j\omega L'}{G' + j\omega C'}} = 50\Omega-287.42*10^{-3}j\Omega$$

Nun da ich die Leitung kenne, kann ich über den Reflexionsfaktor die 
Last berechnen:

$$r_{2}=\frac{Z_{L}-Z_{W}}{Z_{L}+Z_{W}} => Z_{L} = \frac{Z_{W}*(r_{2}+1)}{1-r_{2}} => \frac{1.6}{0.4} * Z_{W} = 4 * Z_{W} = 200\Omega-1.149j\Omega$$

Nun verstehe ich das ganze als Serieschaltung zweier Impedanzen bzw. als 
Spannungsteiler zweier komplexer Impedanzen.

Deshalb gehe ich davon aus, dass folgender Ansatz funktionieren sollte:

$$U2=\frac{U1}{Z_{W}+Z_{L}}*Z_{L}$$

Eingesetzt ergibt dies folgendes:

$$U2=\frac{60*200\Omega-1.149j\Omega}{50\Omega-287.42*10^{-3}j\Omega+200\Omega-1.149j\Omega} = 48V+32.639*10^{-6}j$$

Leider stimmt letzteres Ergebnis nicht mit den Lösungen überein.
Die Zwischenresultate jedoch schon.

Wäre froh, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Danke :)

[Elektrofan (Gast)]

> Eingesetzt ergibt dies folgendes:

> U2=     ...

Muss im Zähler nicht stehen:  60V * (200-j1,149) Ohm   ?

Übrigens:
IMMER die Einheiten mitschleppen, sonst ist es erstens falsch,
und stiftet zweitens Verwirrung!

[Holger K. (holgerkraehe)]

Danke für deine Antwort.

Ja, du hast recht. Aber ich glaube das Problem liegt ganz wo anders.
Denn das Gebilde ist ja eigentlich ein Vierpol und kann daher nicht als 
Serieschaltung betrachtet werden.

Hier muss man wohl die vierpolgleichungen in Wellenform anwenden.

$$U_{1} = cosh(\Gamma)*U_{2}+Z_{W}*sinh(\Gamma)*I_{2}\\ I_{1} = \frac{sinh(\Gamma)}{Z_{W}}*U_{2}+cosh(\Gamma)*I_{2}$$

U1 habe ich, Gamma lässt sich wie folgt berechnen:

$$\Gamma=\omega*\sqrt{L'*C'}*l = 200k * \sqrt{2mH*800nF}*0.5km = 4$$

Bei zwei Gleichungen darf ich maximal zwei Unbekannte haben.
Aktuell sind es jedoch drei.

[Elektrofan (Gast)]

I2=U2/ZL            (?)   ---  Mir ist das alles zu hoch  ;-)

[M. Н. (Gast)]

Hallo,

ein paar Denkanstöße:

1. Wellenwiderstand der Leitung berechnen. Da es sich um eine 
verlustbehaftete Leitung handelt, sollte etwas komplexes herauskommen. 
Hinweis: Liegt nicht weit von 50 Ohm entfernt.

2. Aus Reflexionsfaktor + Wellenwiderstand kannst du die Lastimpedanz 
Z_L ermitteln.

3. Leitungstansformation:

Für den Eingangswiderstand einer mit Z_L abgeschlossenen Leitung gilt:

$$Z_{in} = Z_0 \cdot \frac{Z_L+ Z_0 \tanh \gamma l}{Z_0+Z_L \tanh \gamma l}$$

Habe die Gleichung nochmals als Bild angehängt. Irgendwie zeigt die 
Webseite mathematische Gleichungen nicht mehr an. (EDIT: Lag an meinen 
Browser-Einstellungen)

Das kleine Gamma ist die Ausbreitungskonstante der Leitung und das 
kleine l die Länge. Wie man die Ausbreitungskonstante berechnet, kannst 
du nachschlagen. Das Ganze ist keine Reihenschaltung zweier Widerstände. 
Der Wellenwiderstand ist nicht der Serienwiderstand der Leitung!

Ich komme mit diesem Verfahren auf knappe

$$Z_{in} = 22,24 \Omega - 38,04 \Omega$$

Schaue dir die Leitungstransformation und die eigentliche Bedeutung des 
Wellenwiderstands nochmals genauer an.

Würde es sich um eine verlustfreie Leitung handeln, vereinfacht sich 
obige Gleichung etwas. Alternativ wäre dann auch eine grafische Lösung 
über das Smith-Diagramm ein einfacher Weg, die Eingangsimpedanz zu 
ermitteln.

[M. Н. (Gast)]

Entschuldige bitte,

ich hatte meine Browsereinstellungen nicht richtig gesetzt. Deshalb sind 
die Gleichungen bei mir nicht dargestellt worden und ich habe deinen 
Ansatz nicht gesehen. Für die Fortführung deines Ansatzes:

Holger K. schrieb:
> Bei zwei Gleichungen darf ich maximal zwei Unbekannte haben.
> Aktuell sind es jedoch drei.

Ich nehme an, dass U_2 und I_2 die Spannung und der Strom auf Lastseite 
sind.
Bedenke, dass Strom und Spannung and der Last durch die Last selbst 
zusammenhängen. Ich nehme an, dass I_2 so definiert ist, dass er in die 
Last fließt, bzw. aus der Leitung heraus. Dann gilt:

$$I_2 = \frac{U_2}{Z_{Last}}$$

Und schon sind es nur noch zwei Unbekannte :)

[Holger K. (holgerkraehe)]

Hallo Bambel

Vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen und Hinweise.
Dein letzter Hinweis mit I2 = U2/ZL war der ziehlführende.
Irgendwie hab ich vor lauter Formeln das naheliegendste nicht mehr 
gesehen.

Wenn ich in meinenen Gleichungen I2 durch diesen Ausdruck ersetze, 
erhalte ich das gewünschte Ergebnis!

Vielen Dank! :)

[Xeraniad X. (xeraniad)]

War U2 numerisch (komplex, z. B. 87. ... V  mit phase 162. ...°)?

[Elektrofan (Gast)]

> Hallo Bambel

> Dein letzter Hinweis mit I2 = U2/ZL war der ziehlführende.

Der kam von mir ...

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Elektrofan schrieb:
> Der kam von mir ...
Ja, 03.06.2019 19:48

Weil ich die Aufgabe interessant finde, und für den Fall, dass dies 
anderen auch so gehen könnte, fasse ich nochmals zusammen.

Dabei werwende ich die Symbole aus folgendem Artikel.
https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungstheorie#Die_allgemeine_L%C3%B6sung_der_Leitungsgleichungen

Der Leitungs-Wellenwiderstand ist

$${\underline Z}_0 \ = \ \sqrt{\frac{R' + \ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot L'}{G' + \ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot C'}} \ = \ 50.001 \cdots \Omega \ \angle -0.329 \cdots ^{\circ} .$$

Der komplexe Reflexionsfaktor am Ausgang ist reell gegeben

$${\underline r}_{a} \ = \ \frac{{\underline Z}_2 \ -{\underline Z}_0}{{\underline Z}_2 \ +{\underline Z}_0} \ = \ \frac{3}{5}.$$

Umstellen ergibt die gesuchte Last -Impedanz

$${\underline Z}_2 \ = \ {\underline Z}_0 \cdot \frac{1 \ + {\underline r}_{a}}{1 \ - {\underline r}_{a}} \ = \ 200.006 \cdots \ \Omega \ \angle -0.329 \cdots^{\circ}.$$

Für die Propagationskonstante erhält man aus den gegebenen Belägen

$$\underline \gamma \ = \ \sqrt{(R' + \ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot L') \ \cdot(G' + \ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot C')} \ = \ 8.0002 \cdots \cdot 10^{-3} \mathrm{m}^{-1} \ \angle \ 89.67 \cdots^{\circ} .$$

Die beiden Vierpol -Kettengleichungen sind

$$\begin{bmatrix} {\underline U}_1 \\ {\underline I}_1 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} \overbrace{\cosh({\underline \gamma} \cdot l)}^{a_{11}} & \overbrace{{\underline Z}_0 \cdot \sinh({\underline \gamma} \cdot l)}^{a_{12}} \\ \underbrace{\frac{1}{{\underline Z}_0} \cdot \sinh({\underline \gamma} \cdot l)}_{a_{21}} & \underbrace{\cosh({\underline \gamma} \cdot l)}_{a_{22}} \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} {\underline U}_2 \\ {\underline I}_2 \end{bmatrix}.$$

Mit dem Hinweis von Elektrofan 03.06.2019 19:48

$${\underline I}_2 \ = \ \frac{{\underline U}_2}{{\underline Z}_2}$$

 lautet die erste Kettengleichung

$${\underline U}_1 \ = \ {\underline U}_2 \cdot (a_{11} \ + \frac{1}{{\underline Z}_2} \cdot a_{12}).$$

Umformen ergibt

$${\underline U}_2 \ = \ {\underline U}_1 \cdot \frac{1}{a_{11} + \frac{1}{{\underline Z}_2} \cdot a_{12}} \ = \ \ 87.05 \cdots \mathrm{V} \ \angle \ 162.55 \cdots^{\circ}.$$

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Guten Tag
Falls die Leitung als verlust*frei* (und nicht als verlust*arm*) 
betrachtet werden dürfte, dann wird die Rechnung, wie erwähnt wurde, 
etwas einfacher.
Der Wellenwiderstand ist reell

$$Z_0 \ = \ \sqrt{\frac{L'}{C'}} \ = \ 50 \Omega.$$

Der Last -Widerstand ist ebenfalls reell

$$Z_2 \ = \ Z_0 \cdot \frac{1+r_a}{1-r_a} \ = \ 200 \Omega.$$

Die Phasenkonstante wird

$$\overbrace{ \ \beta \ }^{\frac{2 \cdot \pi}{\lambda}}\ = \ \omega \cdot \sqrt{L' \cdot C'} \ = \ \frac{1}{125} \mathrm{m}^{-1}.$$

Die Kettengleichungen sind

$$\begin{bmatrix} {\underline U}_1 \\ {\underline I}_1 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} \overbrace{\cos(\beta \cdot l)}^{a_{11}} && \overbrace{\mathrm{j} \cdot Z_0 \cdot \sin(\beta \cdot l)}^{a_{12}} \\ \underbrace{\frac{\mathrm{j}}{Z_0} \cdot \sin(\beta \cdot l)}_{a_{21}} && \underbrace{\cos(\beta \cdot l)}_{a_{22}} \end{bmatrix} \ \cdot \begin{bmatrix} {\underline U}_2 \\ \underbrace{\frac{{\underline U}_2}{Z_2} }_{\ {\underline I}_2 \ } \end{bmatrix}.$$

Die gegebene Eingangs -Spannung ist

$${\underline U}_1 \ = \ 60 \mathrm{V} \ \angle \ 0^{\circ}.$$

Die erste der beiden Kettengleichungen kann nach der gesuchten Ausgangs 
-Spannung

$${\underline U}_2 \ = \ \frac{{\underline U}_1}{\cos(\beta \cdot l) \ + \mathrm{j}\cdot \frac{Z_0}{Z_2} \cdot \sin(\beta \cdot l)} \ = \ 88.17 \cdots \mathrm{V} \ \angle \ 163.85 \cdots^{\circ}$$

 umgestellt werden.