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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Wurzelortskurve - Instabiles System


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Autor: helpsignaldsp (Gast)
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Hi

Gegeben sei die Strecke G_Strecke(s)=1/s^2 und allgemein ein I 
Regler.Die WOK ist im Anhang vorhanden. Mich würde jetzt interessieren 
wieso für kein K>0 das System stabilisierbar ist? Wieso laufen die Pole 
in die rechte Halbebene mit zunehmender Verstärkung anstatt in die linke 
Halbebene? Ich meine es gibt ja auch Äste die sich vom Ursprung aus in 
die linke Halbebene bewegen.

Wäre das nur mit einer negativen Verstärkung möglich oder wo liegt mein 
Denkfehler?

Autor: Josef (Gast)
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Gleichung f. die Pole ist:

s^3 + K = 0

Wo liegen dann die Pole?

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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Hey die ligen bei s=(-K)^(1/3)

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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Aber wie ich nun auf den oben genannten Zusammenhang komme weiß ich 
leider immer noch nicht.

Autor: A. Z. (donvido)
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Strecke:
Regler:
Open Loop:
Closed Loop:


Nullstellen:
Polstellen:

Dein System wäre also stabil für K=0. Dann wäre die Übertragungsfunktion 
des "geregelten" Systems gleich eins. Das Problem dabei ist, dass dein 
System dann nicht geregelt wird. Durch K=0 bleibt der Systemeingang 
Null. Durch die doppelte Polstelle bei Null ist die Strecke grenzstabil. 
Ohne Einwirkung passiert auch nichts (vorausgesetzt sämtliche 
Anfangsbedinungen und Störgrößen sind auch Null, also nur im Idealfall).

Ein negatives K würde nichts bringen, da das negative Vorzeichen in dem 
Fall die Polstellen einfach entlang der Imaginärachse spiegelt => eine 
Polstelle ist immer in der RHE.

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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Also wie die drei Lösungen Folgen ist mir klar. Es wird ja die dritte 
Wurzel einer komplexen Zahl gezogen. Aber woran kann man dann allgemein 
sehen in welche richtung sich man bewegt mit zunehmender verstärkungß

Also jetzt für den algemeinen fall für beliebige aufgaben.

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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Habe die Lösung über mir übersehen vor meiner letzten Nachricht. Werde 
das jetzt mal zunächst versuchen nachzuvollziehen.

Autor: Josef (Gast)
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helpsignaldsp schrieb:
> die liegen bei s=(-K)^(1/3)

Fuer diesen Fall kann man das noch einfach sehen:

Fuer positive K:
s=(-K)^(1/3)
s hat eine reelle und zwei konj. komplexe Loesungen.

Multiplikation komplexer Zahlen bedeutet Multiplikation der Betraege
und Addition der Winkel.

D.h. eine Loesung s drei mal multipliziert ergibt -K ( s*s*s=-K).
Der Betrag von s ist |K|^(1/3) der Winkel von s ist 180°, +60°, -60°.
Bitte in der komplexen Ebene nachvollziehen.

Fuer negative K entsprechend:
s = K^(1/3)
Betrag |K|^(1/3), Winkel 0°, 120°, -120°


helpsignaldsp schrieb:
> Also jetzt für den algemeinen fall für beliebige aufgaben.

Allgemeine Loesungen gibt es nicht (afaik).
Aber im Vorcomputerzeitalter wurden eine Reihe Gesetze/Regeln 
entwickelt.
Das braucht man heutezutage natuerlich immer weniger.

Siehe z.B.

https://en.wikipedia.org/wiki/Root_locus
Lunze, "Regelungstechnik 1"

Gut finde ich DiStefano, "Feedback and Control Systems", Schaum's 
outlines.
Gibt's vielleicht auch irgendwo als pdf.

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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hmm man muss doch anhand der WOK Regeln erkennen, das man sich vom 
Ursprung aus mit zunehmdener Verstärkung nur auf den Ästen der Rechten 
Halbebene (Instabil) bewegen kann und nicht auf dem Ast der auf der 
positiven Realachse liegt (stabil).

Das obengenannte habe ich alles nachvollziehen können, aber die 
argumentation nur mithilfe der WOK das habe ich noch nicht verstanden. 
Denn immerhin müsste man von der WOK auf die Stabilität des 
geschlossenen Regelkreises schließen, ohne z.b. K=0 in G_geschlossen(s) 
einzusetzen. Denn das wäre ja auch ohne der Wurzekortskurve möglich.

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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ach soo ich hab es jetzt.

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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Also ich hab es jetzt so verstanden. Es geht um die WOK deshalb ist es 
nur erlaubt mithilfe der WOK zu argumentieren

Im Ursprung sind ja drei Pole vorhanden, wobei die WOK für k=0 in den 
Polstellen startet. Wenn ich nun k=0 wählen würde, befänden sich all 
drei Pole im ursprung. Das ist grenzstabil, aber nicht stabil. Mit 
zunehmenden k, kann ich diese Polstellen entlang der Äste bewegen. Wir 
haben drei Äste, da wir drei Polstellen haben. Enden tun diese 
Polstellen bei der Bewegung in den Nullstellen oder aber im unendlichen.

Wenn ich nun k erhöhe sieht man das nur ein Polstelle stets stabil 
bleibt und die anderen zwei sich immer in der Linken Halbebene befinden.

Dadurch ist allgemein das System nicht stabilisierbar.

Also was ich nicht verstanden hatte war, dass ein Pol zu einem Ast 
gehört. Dachte irgendwie das man alle Pole auf dem ein und selben Ast 
bewegt.

Autor: helpsignaldsp (Gast)
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Korrektur:


Wenn ich nun k erhöhe sieht man das nur ein Polstelle stets stabil
bleibt und die anderen zwei sich immer in der RECHTEN Halbebene 
befinden.

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