OpAmp Übertragungsfunktion

[T. (Gast)]

Hallo alle,

ich möchte (als Übung zum Verstehen) die Übertragungsfunktion eines 
"multiple feedback low pass filter" zweiter Ordnung berechnen. Die Terme 
meiner eigenen Herleitung stimmen mit der Lösung bis auf ein 
Vorzeichenfehler überein. Nun finde ich einfach den Fehler nicht. Die 
Schaltung ist auf der der Seite

https://electronics.stackexchange.com/questions/68650/transfer-function-of-multiple-feedback-filter

zu finden. Der vorgeschlagene Lösungsweg auf der Seite ist mir soweit 
sinnig und ich komme auch auf die einzelnen Beziehungen (OpAmp Annahmen) 
usw.. nur habe ich die Vermutung das ich in dem Knoten, wo sich R1, R2, 
R3 und C1 treffen die Knotenpunktgleichung falsch ansetze...

Muss diese nicht lauten:  iR1=iR2+iR3+iC1 ?

In meiner Lösung für die Übertragungsfunktion T(s) ist mein Term s^2 
negativ, wobei die anderen Terme alle positive Vorzeichen aufweisen.

Freue mich über jeden Hinweis :)

Gruß,
T.

[ugos (Gast)]

T. schrieb:
> Muss diese nicht lauten:  iR1=iR2+iR3+iC1 ?
Ohne mir die Schaltung angesehen zu haben - üblicherweise gilt für einen 
Knotenm, dass die Summe aller Ströme gleich Null ist.

iR1+iR2+iR3+iC1=0 -> -iR1=iR2+iR3+iC1

Das erklärt den Vorzeichenfehler.
Aber man kann, so wie bei Maschenspannungen, das Vorzeichen eigentlich 
beliebig festlegen. Ein negatives Ergebnis bedeutet dann nichs anderes, 
als dass die angenommene Richtung falsch war.

[Helmut S. (helmuts)]

> ... ist mein Term s^2 negativ

Hast du fälschlicherweise (jw)^2 zu -s^2 gemacht?

(jw)^2 --> s^2

[T. (Gast)]

ugos schrieb:
> T. schrieb:
>> Muss diese nicht lauten:  iR1=iR2+iR3+iC1 ?
> Ohne mir die Schaltung angesehen zu haben - üblicherweise gilt für einen
> Knotenm, dass die Summe aller Ströme gleich Null ist.
>
> iR1+iR2+iR3+iC1=0 -> -iR1=iR2+iR3+iC1
>
> Das erklärt den Vorzeichenfehler.
> Aber man kann, so wie bei Maschenspannungen, das Vorzeichen eigentlich
> beliebig festlegen. Ein negatives Ergebnis bedeutet dann nichs anderes,
> als dass die angenommene Richtung falsch war.

Hallo ugos,

ich habe es mal mit diesem Vorzeichen versucht, aber auch hier stimmen 
die Vorzeichen am Ende nicht.

Helmut S. schrieb:
>> ... ist mein Term s^2 negativ
>
> Hast du fälschlicherweise (jw)^2 zu -s^2 gemacht?
>
> (jw)^2 --> s^2

Hallo Helmut,

nein, hier hab ich besonders aufgepasst ;-).


Auf der Seite wo die Schaltung abgebildet ist, ist ja als "super" 
Knotengleichung folgendes geschrieben:

(A): iR3+iC2=iR1+iC1

bzw.

(B:) (Vout-Vf)/R3 + Vout/Z2 = (Vf-Vin)/R1+Vf/Z1

Nach Prof. Kirchhoff heißt es doch für einen Knoten:

Summe aller zufließenden Ströme = Summe aller abfließenden Ströme.

Angewendet auf (A) würde es ja z.B.  heißen, dass iC1 auf den Knoten 
zufließt, wenn iR3 und iC2 Richtung OpAmp Ausgang fließen. Ich hätte 
gesagt, dass iC1 auch von dem Knoten abfließt.

Ist jetzt totale Verwirrung entstanden ?

Gruß,
T.

[Helmut S. (helmuts)]

Wenn man das Ganze unglücklich anpackt, dann kann man da eine ganze DIN 
A4 Seite vollschreiben. Beim 1. Versuch war ich auf dem Pfad und habe 
dann abgebrochen.

Beim 2. Versuch konnte ich die Formeln mit wenigen Zeilen herleiten.

F(s) = (-R3/R1) / (1 + s*(R2+R3+R2*R3/R1)*C2 + s*s*R2*R3*C1*C2)

Die Darstellung hier mit T(s) finde ich dagegen sehr unübersichtlich.
https://electronics.stackexchange.com/questions/68650/transfer-function-of-multiple-feedback-filter

In meiner Formel sieht man sofort, das für s bzw w gegen 0 F=-R3/R1 ist.
Außerdem sieht man, dass in dem Term mit s nur C2 eingeht.

[T. (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Wenn man das Ganze unglücklich anpackt, dann kann man da eine
> ganze DIN
> A4 Seite vollschreiben. Beim 1. Versuch war ich auf dem Pfad und habe
> dann abgebrochen.
>
> Beim 2. Versuch konnte ich die Formeln mit wenigen Zeilen herleiten.
>
> F(s) = (-R3/R1) / (1 + s*(R2+R3+R2*R3/R1)*C2 + s*s*R2*R3*C1*C2)
>
> Die Darstellung hier mit T(s) finde ich dagegen sehr unübersichtlich.
> 
https://electronics.stackexchange.com/questions/68650/transfer-function-of-multiple-feedback-filter
>
> In meiner Formel sieht man sofort, das für s bzw w gegen 0 F=-R3/R1 ist.
> Außerdem sieht man, dass in dem Term mit s nur C2 eingeht.

Prima. Ich habe die eine A4 Seite voll geschrieben, wobei das noch geht. 
Hab schon schlimmeres hergeleitet.. aber wie bringt mich das nun weiter 
?

Gruß,
T.

[Helmut S. (helmuts)]

Die geniale Lösung.

Knotengleichung für U1
Annahme: virtuelle Masse rechts an R2 wegen idealem Opamp.
Summe der wegfließenden Ströme = 0

G1*(U1-Uein) +(jw*C1+G2)*U1 +G3*(U1-Uout) = 0
(G1+G2+G3+jw*C1)*U1 -Uout*G3 = Ue*G1 (1)

Formel für invertierenden Verstärker anwenden
Uout = -U1*(1/(jw*C2))/R2 = -U1/(jw*R2*C2)
Umstellen nach U1
U1 = -Uout*jw*R2*C2 (2)

(2) in (1) einsetzen
(G1+G2+G3+jw*C1)*(-Uout*jw*R2*C2) -G3*Uout = Ue*G1

-Uout*(jw*C2*(G1*R2+G2*R2+G3*R2)+(jw)^2*R2*C1*C2)+G3) = Ue*G1

Uout/Ue = -G1/(G3 + jw*C2*(G1*R2+G2*R2+G3*R2) + (jw)^2*R2*C1*C2)

Zähler und Nenner mit R3 multiplizieren

Uout/Ue = -(R3/R1)(1 + jw*C2*(R2*R3/R1 + R3 + R2) + (jw)^2*R2*R3*C1*C2))


Im Anhang die Dateien zum simulieren mit LTspiceXVII.