Ein kleines Rätsel zum Feierabend. Wer es kennt, bitte zurückhalten :-) Ein Läufer soll auf einer Rennbahn eine Runde gehen. So langsam er will - er geht gemütlich mit 5 km/h. In der zweiten Runde soll er schneller laufen; nämlich so schnell, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit aus beiden Runden exakt 2 * der Geschwindigkeit der ersten Runde ist. Wie schnell muss der Läufer in der zweiten Runde laufen?
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Die Durchschnitsgeschwindigkeit wäre also (2L) / (t1+t2) = 2 L/t1 t2 muss also... sein
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Er müsste unendlich schnell laufen. Angenommen eine Runde hätte eine Strecke von 5km, die der Läufer in 1 Stunde zurück legt (--> 5km/h) und die Gesamtstrecke (10km) in der selben Zeit zurück gelegt werden müsste, so hätte er für die zweiten zu bewältigenden 5km exakt 0 Stunden zur Verfügung.
Das geht auch schneller zu erkennen, wenn er in der im Durchschnitt beider Runden so doppelt so schnell Laufen soll wie in der ersten Runde hat er allein dadurch exakt gar keine Zeit mehr für die 2. Runde zur Verfügung, da diese schon während der ersten aufgebraucht wurde. Kennt er die Aufgabe zuvor und hat nicht in Mathe geschlafen läuft er gar nicht erst los. Namaste
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Winfried J. schrieb: > Kennt > er die Aufgabe zuvor und hat nicht in Mathe geschlafen läuft er gar > nicht erst los. Und hat damit sogar die Aufgabe gelöst: Durchschnittsgeschwindigkeit der ersten Runde = 0 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit beider Runden = 0 km/h = 2 * Durchschnittsgeschwindigkeit der ersten Runde ;-)
Bin ich zu naiv? v_1 := 5 km/h v_2 := 15 km/h v_avg = 1/2 (v_1 + v_2) = 1/2 (5 + 15) km/h = 1/2 * 20 km/h = 10 km/h = 2 v_1
Hallo, Marek N. schrieb: > Bin ich zu naiv? Du hast nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit, sondern den Mittelwert der Geschwindigkeit berechnet. Bedenke, dass t_1 und t_2 nicht gleich groß sind. Hier findest Du den passenden Denkanstoß: https://www.frustfrei-lernen.de/mechanik/durchschnittsgeschwindigkeit-berechnen.html Mit freundlichen Grüßen Guido
Hans H. schrieb: > Winfried J. schrieb: >> Kennt >> er die Aufgabe zuvor und hat nicht in Mathe geschlafen läuft er gar >> nicht erst los. > > Und hat damit sogar die Aufgabe gelöst: > > Durchschnittsgeschwindigkeit der ersten Runde = 0 km/h > > Durchschnittsgeschwindigkeit beider Runden = 0 km/h = > 2 * Durchschnittsgeschwindigkeit der ersten Runde > > ;-) Das macht den Witz dieser Aufgabe aus und hindert mich ein Akkuauto zu kaufen, Mathematik nicht als Rechenexempel sequentiell zu denken sondern sich als Diagram vorzustellen macht die Sache bildhaft anschaulich und damit emotional erfassbar, was in etwa einem Analogrechner entspricht, dessen Ergebnis als Sprungantwort nach 3tau vorliegt. Dummerweise mus man den zuvor fest verdrahten was ihn nur für Aufgaben eines Typs effizient macht. Imho funktioniert das Hirn ähnlich nur hat es die Resourcen mehrer Analogrechner. Dummerweise lernen wir in der Schule hauptsächlich sequenzielles Digitalrechnen und halten das für der Weisheit letzten Schluss der Mathematik. Dabei weis jeder, das man Diagramme mit einem Blick erfassen und auswerten kann wenn man deren funktionelle Aussage kennt. Namaste
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Guido C. schrieb: > Du hast nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit, sondern den Mittelwert > der Geschwindigkeit berechnet. Bedenke, dass t_1 und t_2 nicht gleich > groß sind. Durchschnitt und Mittelwert sind das Selbe. Durchschnittsgeschwindigkeit = Mittelwert der Geschwindigkeit. Also was meinst du? PS: Welcher Ingenieur hat an einem Samstag Abend "Feierabend"???
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Ben S. schrieb: > Also was meinst du? --> Guido C. schrieb: > [...] Bedenke, dass t_1 und t_2 nicht gleich groß sind.
Spontan dachte ich an 15 km/h für die 2. Runde. Ein recht einfacher Ansatz. Wo ist mein Denkfehler, da sich mein Ergebnis doch von den anderen unterscheidet.
So ist das mit den spontanen Gedanken, man hat zwar schnell eine Lösung die sich auch richtig anfühlt, es aber nicht unbedingt auch ist... Mein spontaner Gedanke beim ersten Lesen war dass es die 4-fache Geschwindigkeit sein könnte... diese Lösung hatte bisher hier glaub auch noch niemand ;-) Zur Lösung: "Doppelte Durchschnittsgeschwindigkeit" bedeutet ja dass über die zwei Runden insgesamt doppelt soviel Strecke pro Zeit zurückgelegt wird wie während der ersten Runde -- da die Strecke insgesamt aber auch gerade doppelt so lang ist wie die erste Runde, heißt es dass die Zeit schon während der ersten Runde komplett aufgebraucht ist, die zweite Runde also in unendlicher Geschwindigkeit zurückgelegt werden müsste... Was mir hierbei gerade einfällt: unendliche Geschwindigkeit gibt's ja nicht, sondern höchstens die Lichtgeschwindigkeit ... könnte es evtl irgendwie lösbar sein wenn man das berücksichtigt?
Andreas M. schrieb: > Spontan dachte ich an 15 km/h für die 2. Runde. Ein recht einfacher > Ansatz. Wo ist mein Denkfehler, da sich mein Ergebnis doch von den > anderen unterscheidet. Man kann es sogar ganz ohne Nachdenken hinschreiben, so wie ich es oben geschrieben habe: Philipp C. schrieb: > Die Durchschnitsgeschwindigkeit wäre also > > (2L) / (t1+t2) = 2 L/t1 Die Geschwindigkeit, mit der man die erste Runde gelaufen ist, ist: L/t1 = v1 Wobei L die Länge der Strecke ist. Die Durschnittsgeschwindigkeit für das gesamte vorhaben ist also: 2L / (t1+t2) Da nun gefordert ist, dass diese Geschwindigkeit doppelt so groß ist, wie v1 kann man einfach hinschreiben: 2L / (t1+t2) = 2 L/t1 oder NOCH deutlicher: 2L / (t1+t2) = 2L / (t1) Da sieht man nun sofort, dass t2=0 sein muss. Die Geschwindigkeit müsste also unendlich sein.
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Gehen beide Etappen über die gleiche Zeit, aber verschiedene Strecken, ist die mittlere Geschwindigkeit das arithmetische Mittel der beiden Einzelgeschwindigkeiten:
Gehen beide Etappen über die gleiche Strecke, aber verschiedene Zeiten, ist die mittlere Geschwindigkeit das harmonische Mittel der beiden Einzelgeschwindigkeiten:
Da wir hier in einem Elektronikforum sind, erkennt natürlich jeder sofort die Ähnlichkeit mit den Formeln für die Serien- und Parallelschaltung von Widerständen. Die Formel für die Parallelschaltung lässt sich dort vereinfachen, wenn man statt mit Widerständen mit Leitwerten rechnet. Gehen wir hier analog vor und führen die neue physikalische Größe der "Gemächlichkeit" g als Kehrwert der Geschwindigkeit ein:
Dann wird aus dem harmonischen wieder ein arithmetisches Mittel und wir können schreiben:
Die ursprünglich Aufgabe in Gemächlichkeiten formuliert lautet: Der Läufer geht die erste Runde mit der Gemächlichkeit 0,2 h/km. Mit welcher Gemächlichkeit kann in der zweiten Runde laufen, damit die Durchschnittgemächlichkeit die Hälfte der Gemächlichkeit der ersten Runde ist? Da die mittlere Gemächlichkeit die Summe der halben Einzelgemächlichkei- ten ist, kann man ohne Rechnung sofort sehen, dass dazu g₂=0 sein muss. Da aber jeder Läufer eine Minimalgemächlichkeit von
hat, kann das nicht gehen.
Als ich damals noch in der Ausbildung war, hatten wir Testweise ein Werksfahrrad mit den seiner Zeit neuartigen LCD-Tachos ausgestattet. Damit bin ich dann in der Mittagspause regelmäßig von der Werkstatt zur Werkskantine gefahren. Auf dem Tacho stand dann meistens eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 7 km/h, weil es leicht bergauf ging. Nach dem Essen brauchte ich mich nur noch vollgefressen bergab rollen zu lassen. An der Werkstatt angekommen, hatte ich plötzlich eine Durchschnittsgeschwindigkeit von etwa 14 km/h. Das klingt zunächst komisch, ist aber auch klar. Ich bin nämlich heimlich nach dem Essen noch einen großen Schlenker am Verwaltungsgebäude vorbei gefahren, weil es dort einen Kiosk gab der leckere Schokoriegel verkaufte, den ich mir zum Nachtisch gönnte. Also, wenn der Weg von der zweiten Runde lang genug ist, dann kann man tatsächlich die doppelte Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen.
Michael M. schrieb: > Also, wenn der Weg von der zweiten Runde lang genug ist, dann kann man > tatsächlich die doppelte Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen. Und ich habe mich immer gefragt, wie ich es schaffen kann, die rund 25km zur Arbeit in ca. 30min (Schnitt also 50km/h) zu fahren obwohl ich den ersten Teil der Strecke (aus der Garage raus über den Hof) gar nicht mit 50km/h fahre...
Schön, dass das Rätsel hier so viel Anklang findet. Die Einführung der "Gemächlichkeit" ist an Schönheit eigentlich auch nicht mehr zu übertreffen. Richtig sind die Antworten eigentlich zumeist. v2=0 ist natürlich keine Lösung, weil der Läufer sonst unendlich lange brauchen würde. Ich bin über den Scharfsinn vieler hier echt überrascht, denn intuitiv ist die Frage viel zu schnell beantwortet. Und falsch. Wie bereits gesagt ist die Aufgabe nicht lösbar. Um eine höhere Durchschnittsheschwindigkeit zu erreichen, bräuchte es ein größeres Zeitkontingent t1, das aber durch den bereits erfolgten Lauf bereits aufgebraucht ist. Der typische Fehler ist ja, (s1/t1 + s2/t2) / 2 zu rechnen. Da in diesem Fall t1 >> t2 ist, wird die Formel zu Gunsten von t2 gewichtet. Beide Faktoren müssen aber zu gleichen Teilen einfließen. Gerechnet werden muss daher (s1 + s2)/(t1 + t2), da der Durchschnitt immer die gesamte gefahrene Strecke pro gesamter gefahrener Zeit ist. Selbst wenn man annimmt lim t -> 0 wird man nur lim v -> 2 * v1 erhalten, aber niemals 2 * v1. Danke fürs Miträtseln :-)
Hallo Ben, Ben S. schrieb: > Durchschnitt und Mittelwert sind das Selbe. Durchschnittsgeschwindigkeit > = Mittelwert der Geschwindigkeit. > > Also was meinst du? Ich meinte, dass er den Mittelwert von zwei Geschwindigkeitswerten berechnet hat. Dieser Mittelwert entspricht nicht der Durchschnittsgeschwindigkeit, da... Mathias A. schrieb: > Guido C. schrieb: >> [...] Bedenke, dass t_1 und t_2 nicht gleich groß sind. Mit freundlichen Grüßen Guido
?doch 15km/h ? Martin S. schrieb: > (s1 + s2)/(t1 + t2) Wenn das so ist, dann stimmt doch meine und Magnetus Annahme. (5km+15km)/(1h+1h) = 20km/2h = 10km/h gleich doppelte Geschwindigkeit der ersten Runde. Man möge meinen/unseren Fehler anhand Martins Formel aufzeigen.
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Hi Andreas, s2 ist nicht 15km, sondern ebenfalls 5km, die zweite Runde ist ja nicht länger als die erste ;-) Somit ist auch t2 nicht 1h, sondern 20min...
Danke, dass du mir mein Hirn entknotet und die Tomaten von den Augen genommen hast. So leicht stolpert man über etwas, was doch offensichtlich ist. Mit später Stunde kann ich mich jetzt ja noch nicht rausreden :-)
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Martin S. schrieb: > Um eine höhere > Durchschnittsheschwindigkeit zu erreichen.... Eine höhere D. ist ja zu erreichen, aber nicht die doppelte.
Form, Verlauf und Eigenschaften der Rennbahn sind nicht gegeben, dadurch ist die Aufgabe nicht lösbar. Ist die Rennbahn eben? Rotiert sie im Vakuum? Befindet sie sich auf einem mit Lichtgeschwindigkeit reisenden Raumschiff? etc. Vielleicht sollten wir die wahre Lösung finden.
Martin S. schrieb: > Ein Läufer soll auf einer Rennbahn eine Runde gehen. So langsam er will > - er geht gemütlich mit 5 km/h D. C. schrieb: > Ist die Rennbahn eben? Rotiert sie im Vakuum? existiert Zeit und Raum? soll ja kurz nach dem Urknall nicht existent gewesen sein!
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Der Läufer geht mit 5km/h die erste Runde, aber wo steht dass er die kürzeste Strecke auf der Rennbahn zurücklegt. Vielleicht torkelt er :-)
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