Forum: Ausbildung, Studium & Beruf Strategie beim Umformen von Gleichungen


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von student (Gast)


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Ich komme regelmäßig an den Punkt, wo ich zwar aus einer Schaltung die 
Maschen- und Knotengleichungen korrekt aufstellen kann, aber für mich 
dann einfach keine offensichtliche Strategie zum Kombinieren und 
Umstellen ersichtlich ist.

Es passiert mir regelmäßig, dass die Terme entweder immer länger werden 
und die gewünschten Größen immer tiefer verschachtelt in langen 
Ausdrücken landen, oder dass sich nach einer langwierigen Umformung auf 
nutzlose Erkenntnisse wie 0=0 komme.

Ich löse meist einen beliebigen Term nach einer Unbekannten auf um den 
Ausdruck dann in einen anderen Term einzusetzen, oft führt das zum Ziel, 
oft aber auch nicht.

Gibt es irgendeine allgemeine Lösungsstrategie?

Beispiel angehängt, gesucht ist der Ausdruck für ua/ue.

von Kai S. (kai1986)


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Hallo,

ganz allgemein kannst du das gaußsches Eliminationsverfahren dafür 
einsetzen, wobei das häufig mehr macht als benötigt.

student schrieb:
> oder dass sich nach einer langwierigen Umformung auf
> nutzlose Erkenntnisse wie 0=0 komme.

Dann hast du Gleichungen in deinem Gleichungssystem mehrfach verwendet 
und andere überhaupt nicht. Hiergegen hilft es, nach Aufstellen des 
Gleichungssystems die bereits verwendeten Gleichungen zu kennzeichnen 
und nicht noch einmal zu verwenden.

Gruß Kai

von c r (Gast)


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Kai S. schrieb:
> Dann hast du Gleichungen in deinem Gleichungssystem mehrfach verwendet

Ja, das ist wohl so, allerdings weiß ich auch nicht, wann ich eine 
Gleichung als "verwendet" ansehen soll.

Wenn ich eine Gleichung I habe, die es mir erlaubt die Größen A und B 
direkt als jeweils die andere darzustellen, kann ich diesen Zusammenhang 
in die Gleichungen II UND III einzusetzen?

Oder ist das dann schon doppelt benutzt?

Mein Professor ist bei sowas leider absolut nicht hilfreich. Auf die 
Frage warum er diese oder jene Umformung gewählt hat kommt statt einer 
Erklärung nur "Sie können es gerne anders machen, wenn es zum Ziel 
führt"

von Christian B. (luckyfu)


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c r schrieb:
> "Sie können es gerne anders machen, wenn es zum Ziel
> führt"

Mathematik ist viel Übung und am Ende immer das Gleiche machen. An dem 
bekannten Witz / Gleichnis mit dem Wasserkochen ist schon etwas wahres 
dran.
(Physiker (o. andere Fachrichtung) + Mathematiker sollen Wasser kochen, 
sie haben auf einem Tisch einen Topf mit kaltem Wasser und auf einem 2. 
Tisch eine Kochplatte. Beide stellen den Topf auf die Kochplatte und 
warten bis das Wasser kocht.
2. Aufgabe: gleicher Aufbau, nur das der Topf mit Wasser nun auf dem 
Boden steht. Physiker nimmt den Topf, stellt ihn auf die Kochplatte und 
wartet bis das Wasser kocht. Mathematiker stellt den Topf zuerst auf den 
Tisch und von dort dann auf die Herdplatte.)

So konnte er die Aufgabe aufteilen in bereits bekanntes und etwas 
neues...

von Tobias B. (Firma: www.elpra.de) (ttobsen) Benutzerseite


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Christian B. schrieb:
> Mathematik ist viel Übung und am Ende immer das Gleiche machen. An dem
> bekannten Witz / Gleichnis mit dem Wasserkochen ist schon etwas wahres
> dran.

Nur wenn man Mathematik mit Rechnen verwechselt. ;-)

von c r (Gast)


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Christian B. schrieb:
> So konnte er die Aufgabe aufteilen in bereits bekanntes und etwas
> neues...

In dieser Metapher führt das Abstellen des Topfs auf den Tisch in meinem 
Fall allerdings dazu, dass die Kochplatte runterfällt und man wieder 
nicht besser dasteht.

Ich soll ja nicht nur nach einer Unbekannten auflösen, sondern nach 
einem bestimmten Ausdruck aus 2 Unbekannten.

Für mich ist das wie das Lösen eines Zauberwürfels. Ich kann jedes Feld 
da hin drehen wo ich will, aber nicht ohne ein anderes vom richtigen 
Platz wegzudrehen.
Beim Zauberwürfel weiß ich allerdings, dass es eine Strategie gibt, auch 
wenn ich sie nicht kenne.

von Kai S. (kai1986)


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Verwendet ist eine Gleichung dann, wenn Ihre "Information" in allen 
anderen Gleichungen genutzt wurde.

c r schrieb:
> Wenn ich eine Gleichung I habe, die es mir erlaubt die Größen A und B
> direkt als jeweils die andere darzustellen, kann ich diesen Zusammenhang
> in die Gleichungen II UND III einzusetzen?

Wenn du immer die gleiche Größe nutzt ja. Sprich wenn du mit der 
Gleichung I zu A = ... umformst und damit A in Gleichung II und III 
ersetzt ist die Gleichung I verwendet.
Eine andere Sichtweise von verwendet ist, die Gleichung zu nutzen, um 
eine Variable in den restlichen Gleichungen los zu werden.

Gruß Kai

von Sklavenvermittler (Gast)


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student schrieb:
> Gibt es irgendeine allgemeine Lösungsstrategie?

Ein CAS benutzen. Wer rechnet den Scheiss von Hand aus? Putzt du auch 
das Bad mit der Zahnbürste?

von Christian B. (luckyfu)


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Sklavenvermittler schrieb:
> Ein CAS benutzen. Wer rechnet den Scheiss von Hand aus? Putzt du auch
> das Bad mit der Zahnbürste?

ich nutze dafür auch heute noch meinen TI92+ aus dem Studium. Aber es 
schadet nicht, es zu verstehen und von Hand zu können.

von student (Gast)


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Sklavenvermittler schrieb:
> Wer rechnet den Scheiss von Hand aus?

Jeder E-Technik-Student.

Sklavenvermittler schrieb:
> Putzt du auch
> das Bad mit der Zahnbürste?

Na wenn man nicht anders in die Ecke kommt, natürlich, warum die Frage?

von student (Gast)


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Kai S. schrieb:
> ...wenn du mit der
> Gleichung I zu A = ... umformst und damit A in Gleichung II und III
> ersetzt ist die Gleichung I verwendet.
> Eine andere Sichtweise von verwendet ist, die Gleichung zu nutzen, um
> eine Variable in den restlichen Gleichungen los zu werden.

Danke, das ist schonmal ein Puzzlestück :)

von Daniel V. (voda) Benutzerseite


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Ich habe im Studium gelernt, die Gleichungen als Matrix aufzustellen und 
die Ströme mit Hilfe der Determinante (z.B. Sarrusregel) zu berechnen.

In der Matrix kamen die Widerstände und diese wurden mit den Strömen 
multipliziert. Als Ergebnis kommen die Spannungen heraus. Die Ströme 
wurden dann mit den Determinanten und Hilfsdeterminaten berechnet. Ist 
aber >3x3 sehr aufwendig aber machbar :-)

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von student (Gast)


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Daniel V. schrieb:
> Ich habe im Studium gelernt, die Gleichungen als Matrix aufzustellen und
> die Ströme mit Hilfe der Determinante (z.B. Sarrusregel) zu berechnen.

ja, ich auch, ich denke dass das hier aber nichts nützt.

Ich will ja auf einer Seite den Ausdruck ua/ue haben, nicht nur eine 
einzelne Unbekannte.

von Peter M. (r2d3)


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Hallo student,

student schrieb:
> Daniel V. schrieb:
>> Ich habe im Studium gelernt, die Gleichungen als Matrix aufzustellen und
>> die Ströme mit Hilfe der Determinante (z.B. Sarrusregel) zu berechnen.
>
> ja, ich auch, ich denke dass das hier aber nichts nützt.
>
> Ich will ja auf einer Seite den Ausdruck ua/ue haben, nicht nur eine
> einzelne Unbekannte.

Dein Beispiel ist ein wunderbares Negativbeispiel!

Ich kann zwar lineare Gleichungssysteme lösen, aber bei Deinem Beispiel 
weiß ich nicht, welchen von den Variablen Variablen sind, und welche 
davon Konstanten sind!

Benenne die Variablen um in x1, x2, x3 etc.
Benenne die Konstanten um in kurze Variablennamen, am besten nur einen 
Buchstaben pro Konstante, damit Du Dich beim Umformen nicht 
totschreibst.

Zur Berechnung von n Variablen benötigst Du n Gleichungen.
Unter bestimmten Umständen reicht das trotzdem nicht.

Schreibe die Gleichungen untereinander in der Form:

a11*x1 + a21*x2 + a31*x3 + an1*xn =b1
a12*x1 + a22*x2 + a32*x3 + an2*xn =b1
...
a1n*x1 + a2n*x2 + a3n*x3 + ann*xn =b1

Die Koeffizienten apq stehen in Deinem Beispiel aber nicht für Zahlen, 
sondern für Konstanten, bzw. Terme aus Konstanten!

Ausgehend von dieser Form kannst Du mit Hilfe des Gauß-Algorithmus eine 
Variable nach der anderen berechnen:

Youtube-Video "Gleichungssystem (LGS) lösen 1, Gauß-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung"

Die einzige Herausforderung besteht darin, dass Du, anders als im 
verlinkten Video statt mit Zahlen mit Formeln rechnen musst.

Wenn Du Beispiel mit Zahlen übst, wird klar, wie Du mit einer Gleichung 
die Variable x1 in allen anderen Gleichungen eliminierst.
Die zweite Gleichung enthält dann kein x1 mehr. Mit der zweiten 
Gleichung kannst Du die Variable x2 in allen anderen Gleichungen 
eliminieren usw.

Die einzige Schwierigkeit: Die Koeffizienten sind keine Zahlen, sondern 
Terme aus Konstanten, wie schon oben gesagt.
Du rechnest also "symbolisch" anstatt bequem mit Zahlen.

: Bearbeitet durch User
von student (Gast)


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Peter M. schrieb:
> Dein Beispiel ist ein wunderbares Negativbeispiel!
>
> Ich kann zwar lineare Gleichungssysteme lösen, aber bei Deinem Beispiel
> weiß ich nicht, welchen von den Variablen Variablen sind, und welche
> davon Konstanten sind!

Das ist wahr, das hätte ich besser beschreiben müssen, tut mir leid.
Da war ich beim Verfassen sozusagen betriebsblind.

Ich hänge die Lösung an.
Bekannt ist alles außer ua, ue, uds1 und uds2.
Gesucht ist ua/ue.

Es wäre mir eine große Hilfe, wenn mir jemand die Motivation hinter den 
einzelnen Schritten 1-5 der Lösung verraten könnte.

1. In Gleichung III wir uds2 mithilfe von Gl. I durch Ua - uds1 
substituiert.
2. Gleichung III wird nach uds1 aufgelöst.
3. In Gleichung II wir ebenfalls uds2 mithilfe von Gl. I durch Ua - uds1 
substituiert.
4. Gleichung II wird in die Form ua*(bekannter Ausdruck) = 
uds1*(bekannter Ausdruck) gebracht
5. In Gleichung II wird uds1 durch den Ausdruck für uds1 aus III ersetzt
6. Auflösen nach ua/ue. Das kann ich nachvollziehen, die 2 Teile meines 
Zielausdrucks sollen "freie" Faktoren werden, damit ich nach ua/ue 
umstellen kann, dann nur noch vereinfachen.

von Peter M. (r2d3)


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Hallo student,

student schrieb:
> Peter M. schrieb:
>> Dein Beispiel ist ein wunderbares Negativbeispiel!
>>
>> Ich kann zwar lineare Gleichungssysteme lösen, aber bei Deinem Beispiel
>> weiß ich nicht, welchen von den Variablen Variablen sind, und welche
>> davon Konstanten sind!
>
> Das ist wahr, das hätte ich besser beschreiben müssen, tut mir leid.
> Da war ich beim Verfassen sozusagen betriebsblind.
>
> Ich hänge die Lösung an.
> Bekannt ist alles außer ua, ue, uds1 und uds2.
> Gesucht ist ua/ue.
>
> Es wäre mir eine große Hilfe, wenn mir jemand die Motivation hinter den
> einzelnen Schritten 1-5 der Lösung verraten könnte.
>
> 1. In Gleichung III wir uds2 mithilfe von Gl. I durch Ua - uds1
> substituiert.
> 2. Gleichung III wird nach uds1 aufgelöst.
> 3. In Gleichung II wir ebenfalls uds2 mithilfe von Gl. I durch Ua - uds1
> substituiert.
> 4. Gleichung II wird in die Form ua*(bekannter Ausdruck) =
> uds1*(bekannter Ausdruck) gebracht
> 5. In Gleichung II wird uds1 durch den Ausdruck für uds1 aus III ersetzt
> 6. Auflösen nach ua/ue. Das kann ich nachvollziehen, die 2 Teile meines
> Zielausdrucks sollen "freie" Faktoren werden, damit ich nach ua/ue
> umstellen kann, dann nur noch vereinfachen.

erstmal Lage prüfen:

Da sind 4 Variablen und 3 Gleichungen, also kann es keine exakte Lösung 
geben.

Ziel: Es soll eine Relation zwischen ua und ue übrig bleiben.
=> uds1 und uds2 müssen eliminiert werden!

Der Blick auf die drei Gleichungen zeigt:
Gleichung I ist sexy, weil sie so kurz ist!

Setzen wir uds2 (schon gebrauchsfertig in Gleichung I vorhanden), in 
allen restlichen Gleichungen ein (zwei Stück), haben wir uds2 in diesen 
Gleichungen eliminiert.

Es verbleiben uds1,ua und ue als Unbekannte.

uds1 muss weg, weil ua und ue übrig bleiben sollen.

Wir stellen also eine der verbliebenen Gleichungen nach uds1 um, um sie 
in die andere Gleichung einzusetzen.

In dieser anderen Gleichungen ist dann auch uds1 verschwunden, es 
verbleiben nur noch Terme um ua und ue.

Diese Gleichung formen wir um, alle ua's auf die eine Seite, alle ue's 
auf die andere Seite. Dann müssen wir zum Schluss nur noch durch ue, 
hier (-ue) dividieren und durch den aufwendigen Koeffizient vor ua 
dividieren.

Und immer schön bei Umformungen von Gleichungen das Zeichen
<=> voranstellen, dann wissen wir später, dass die Folgegleichung nicht 
vom Himmel fiel, sondern durch eine Äquivalenzumformung zustande kam.

von student (Gast)


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Peter M. schrieb:
> Hallo student
>...

Besten Dank! Ich werde mir das zu Gemüte führen.
Vielleicht krieg ich die Denkweise ja irgendwann gebacken.

Guts Nächtle :)

von A. B. (Gast)


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Kai S. schrieb:
> ganz allgemein kannst du das gaußsches Eliminationsverfahren dafür
> einsetzen, wobei das häufig mehr macht als benötigt.

Nun, das ist Ansichtssache. Nicht ohne Grund ist das "das" Verfahren 
schlechthin in diesem Zusammenhang, und es lässt sich in einfachster 
Weise automatisieren. Wer etwa mit Determinanten nach Cramerscher Regel 
drangeht, dem ist wohl nicht zu helfen.

> Dann hast du Gleichungen in deinem Gleichungssystem mehrfach verwendet
> und andere überhaupt nicht. Hiergegen hilft es, nach Aufstellen des
> Gleichungssystems die bereits verwendeten Gleichungen zu kennzeichnen
> und nicht noch einmal zu verwenden.

Der Witz vom Gauß-Alg. liegt gerade darin, das LGS so übersichtlich 
(aber gleichzeitig nur das Wesentliche) aufzuschreiben und so zu 
bearbeiten, dass dies eben ganz automatisch passiert und man sich gerade 
nicht mehr darum kümmern muss ...

von Peter M. (r2d3)


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student schrieb:
> Peter M. schrieb:
>> Hallo student
>>...
>
> Besten Dank! Ich werde mir das zu Gemüte führen.
> Vielleicht krieg ich die Denkweise ja irgendwann gebacken.
>
> Guts Nächtle :)

Übe an Gleichungssystemen mit Zahlen als Koeffizienten.
Das ist eine Komplexitätsstufe einfacher und daran lernst Du das Konzept 
schneller.

Begriff: "Substitutionsverfahren".

Gute Nacht und viel Erfolg!

: Bearbeitet durch User
von student (Gast)


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A. B. schrieb:
> Nicht ohne Grund ist das "das" Verfahren
> schlechthin in diesem Zusammenhang, und es lässt sich in einfachster
> Weise automatisieren.

Schon, aber die Zeit in Prüfungen ist für zuverlässiges, aber 
schreibintensives Schema F zu knapp bemessen.

Da braucht man "den Blick" um die Sache eleganter zu lösen und der fehlt 
mir hier noch.

von Peter M. (r2d3)


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student schrieb:
> Da braucht man "den Blick" um die Sache eleganter zu lösen und der fehlt
> mir hier noch.

Den Blick immer auf die Nullen richten.

Die schwach besetzten Gleichungen sind sowohl beim 
Substitutionsverfahren als auch beim Gauß-Verfahren die Ansatzpunkte zur 
Arbeitserleichterung für Faule.

von Theor (Gast)


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student schrieb:
> A. B. schrieb:
>> Nicht ohne Grund ist das "das" Verfahren
>> schlechthin in diesem Zusammenhang, und es lässt sich in einfachster
>> Weise automatisieren.
>
> Schon, aber die Zeit in Prüfungen ist für zuverlässiges, aber
> schreibintensives Schema F zu knapp bemessen.
>
> Da braucht man "den Blick" um die Sache eleganter zu lösen und der fehlt
> mir hier noch.

Nur kann man diesen "Blick" nicht lehren. Wenn man ihn überhaupt 
bekommen kann, in dem man die Verfahren übt und immer wieder übt. 
Dadurch wird man auch schneller. Und, mit Verlaub, wer das nicht schon 
in der Schule geübt hat, muss es halt im Studium tun.

Ich würde Dir zunächst auch der Gauss-Verfahren sehr empfehlen. Es 
beruht lediglich auf zwei einfachen Operationen und selbst wenn man es 
ganz stumpf, ohne "den Blick" ausführt, führt es unfehlbar zum korrekten 
Ergebnis.
Das Hinschreiben ist, zugegeben länglich, erfordert aber nur 
Aufmerksamkeit und keine besonderen mathematischen Fähigkeiten.

von student (Gast)


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Theor schrieb:
> Nur kann man diesen "Blick" nicht lehren.

Nein, aber ich bin der Meinung zumindest am konkreten Beispiel sollte 
ein Professor in der Lage sein zu erklären, warum er hier so verfahren 
ist, wie r2d3 das oben getan hat.

Theor schrieb:
> Und, mit Verlaub, wer das nicht schon
> in der Schule geübt hat, muss es halt im Studium tun.

Du wirst es mir nicht glauben, aber das ist meine vorletzte Prüfung im 
Bachelor.
Bis jetzt gings ohne, Mathe Abi Techn. Zweig inklusive.

von Theor (Gast)


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student schrieb:
> Theor schrieb:
>> Nur kann man diesen "Blick" nicht lehren.
>
> Nein, aber ich bin der Meinung zumindest am konkreten Beispiel sollte
> ein Professor in der Lage sein zu erklären, warum er hier so verfahren
> ist, wie r2d3 das oben getan hat.

Schon. Aber was hilft es uns, davon zu träumen, wie die Menschen um uns 
herum für unsere Zwecke am besten handeln würden? Uns selbst zu ändern, 
ist noch am erfolgversprechendsten, oder?

> Theor schrieb:
>> Und, mit Verlaub, wer das nicht schon
>> in der Schule geübt hat, muss es halt im Studium tun.
>
> Du wirst es mir nicht glauben, aber das ist meine vorletzte Prüfung im
> Bachelor.
> Bis jetzt gings ohne, Mathe Abi Techn. Zweig inklusive.

Du hast recht. Ich glaube es nicht. :-)

Dennoch wünsche ich viel Erfolg.

von student (Gast)


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Theor schrieb:
> Aber was hilft es uns, davon zu träumen...

Logisch, ich dachte du beziehst dich da auf

c r schrieb:
> Auf die
> Frage warum er diese oder jene Umformung gewählt hat kommt statt einer
> Erklärung nur "Sie können es gerne anders machen, wenn es zum Ziel
> führt"

Ändern kann ich ihn nicht, nur loswerden.

Theor schrieb:
> Du hast recht. Ich glaube es nicht. :-)

Ich nehm's als Kompliment für meine Improvisationsfäigkeit :)

von lol (Gast)


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Ein Ing-Studium ist eigentlich so einfach...

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