Komplexe Wechselstromrechnung - Unverständlicher Rechenschritt

[Chris (Gast)]

Hallo liebe Elektronikfreunde,

im Buch "The Art of Electronics" (3. Ausgabe) findet sich auf S. 45 
unten links ein Rechenschritt, den ich nicht verstehe (s. Anhang). Kann 
mir jemand sagen, wie man ausgehend von der ersten Zeile der Berechnung 
auf die zweite Zeile kommt? Ich habe noch ein anderes Buch sowie diverse 
Internetquellen durchforstet, aber da kommt der Ausdruck in dieser Form 
nirgends vor.

Vielen Dank
Chris

[leo (Gast)]

Chris schrieb:
> Kann
> mir jemand sagen, wie man ausgehend von der ersten Zeile der Berechnung
> auf die zweite Zeile kommt?

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

leo

[G. O. (aminox86)]

Chris schrieb:
> Ich habe noch ein anderes Buch sowie diverse
> Internetquellen durchforstet, aber da kommt der Ausdruck in dieser Form
> nirgends vor.

Richtig suchen -> Eulersche Formel(n)

[Chris (Gast)]

Die Wiki-Seite etc. kenne ich. Trotzdem verstehe ich den Schritt nicht. 
Vielleicht kann mir jemand mit 1-2 Zwischenschritten aushelfen?

[Thomas (Gast)]

zuerst euler -> V*e^jwt=V*cos(wt)+i*V*sin(wT)
dann brauchst du die beziehung Re(i*sin(wt))=-Im*sin(wt)
damit kommst dann auf das Ergebnis

[Chris (Gast)]

Thomas schrieb:
> zuerst euler -> V*e^jwt=V*cos(wt)+i*V*sin(wT)
> dann brauchst du die beziehung Re(i*sin(wt))=-Im*sin(wt)
> damit kommst dann auf das Ergebnis

Vielen Dank :) Schritt 1 hatte ich auch schon gemacht. Die erwähnte 
Beziehung ist das, was mir gefehlt hat. Wie ergibt sich diese denn?

[Mario H. (Gast)]

Thomas schrieb:
> zuerst euler -> V*e^jwt=V*cos(wt)+i*V*sin(wT)
> dann brauchst du die beziehung Re(i*sin(wt))=-Im*sin(wt)
> damit kommst dann auf das Ergebnis

Letzteres ist falsch. Es gilt Re(i*sin(ωt)) = 0.

Chris schrieb:
> Kann
> mir jemand sagen, wie man ausgehend von der ersten Zeile der Berechnung
> auf die zweite Zeile kommt?

Ich schreibe für die komplexe Amplitude V = a + ib, d.h. Re(V) = a und 
Im(v) = b. Dann gilt

$$\begin{align*} \mathop{\rm Re}(V\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\omega t}) &=\mathop{\rm Re} \bigl( (a+\mathord{\rm i}b) (\cos(\omega t)+\mathord{\rm i}\sin(\omega t) \bigr)\\ &=\mathop{\rm Re} \bigl( a\cos(\omega t) - b\sin(\omega t) + \mathord{\rm i} (a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)) \bigr)\\ &=a\cos(\omega t) - b\sin(\omega t)\\ &=\mathop{\rm Re}(V)\cos(\omega t)-\mathop{\rm Im}(V)\sin(\omega t), \end{align*}$$

was zu zeigen war.

[Chris (Gast)]

Mario H. schrieb:
> was zu zeigen war.

Aaaaaaahhhhhhhhh..... vielen herzlichen Dank! Wenn man es dann sieht ist 
es eigentlich echt trivial. Einfach ausmultiplizieren, imaginär 
streichen, Re und Im einsetzen, fertig. Manchmal ist es schon seltsam 
wie sehr man auf dem Schlauch stehen kann. Mehr als 5min hatte ich mir 
das ja schon angeschaut... viel mehr... seufz ;-)