Diskrete Hilbert-Transformation

Paul schrieb:
> Warum ist die zeitdiskrete Impulsantwort nicht die abgetastete Version
> der zeitkontinuierlichen Impulsantwort?

Das muss im Allgemeinen nicht so sein, und damit auch nicht bei der 
Hilberttransformation.

Vom Zeitkontinuierlichen ins Zeitdiskrete gibt es mehrere Wege, 
beispielsweise Bilineartransformation, impulsinvariante Transformation, 
matched z-Transformation und vermutlich noch weitere.
Diese Transformationen überführen die Pole und Nullstellen eines 
zeitkontinuierlichen Systems in die zeitdiskrete Welt, unter 
Beibehaltung verschiedener Eigenschaften. Die impulsinvariante 
Transformation zb. heisst so, weil die Impulsantwort durch diese 
Transformation beibehalten wird. Dafür können beim Frequenzgang 
Abweichungen entstehen und die Sprungantwort kann anders aussehen.
Bei der Bilineartransformation wiederum bleibt die Sprungantwort mehr 
oder weniger gleich, während die Impulsantwort und der Frequenzgang 
abweichen können.
Je nach dem, welche Eigenschaften einem wichtig sind, muss man eine 
andere Transformation anwenden und kommt daher auch auf andere 
Impulsantworten.

Paul schrieb:
> Aber wie kann man sich dann die zeitdiskrete Impulsantwort der
> Hilbert-Transformation herleiten?

darüber habe ich jetzt nicht nachgeforscht, aber ich vermute dass man 
zB. die Impulsantwort der kontinuierlichen Hilberttransformation nehmen 
kann und eine der üblichen Umrechnungen ins Diskrete anwendet.

In dem Beispiel hier

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Hilbert_Transform_Design_Example.html

wird die Fenstermethode angewandt.

Paul schrieb:
> Die Multiplikation im Frequenzbereich müsste sich doch in eine Faltung
> im Zeitbereich übersetzen lassen, sprich, da müsste das selbe Ergebnis
> rauskommen? Wo ist hier mein Fehler?

stimmt denn dein s überhaupt? es wird natürlich zwangsläufig nie exakt 
stimmen, da die Impulsantwort im Zeitbereich zwangsläufig trunkiert 
werden muss. Dann, als nächstes ist die Impulsantwort nicht kausal, man 
muss also noch, wie in dem dsprelated Link oben genannt, einen Delay 
einfügen, womit das Resultat dann auch diesen Delay beinhaltet, sprich 
phasenverschoben ist.

Hast du denn schon mal die Impulsantwort deines Hilbertfilters 
angeschaut? also dein ifft(S). Das liefert nämlich nicht genau das, was 
du haben möchtest, denn es liefert das Spektrum zentriert um fs/2 und 
nicht um 0.

der code

1

f = 1e6;

2

T = 1/f;

3

fs = 1/(10*T/1000)

4

t = (0:(1/fs):(10*T))';

5

x = cos(2*pi*f*t);

6

7

8

for i = 1:length(x)

9

  if i < (length(x)/2)

10

    S(i,1) = -1j;

11

  else

12

    S(i,1) = 1j;

13

  end;

14

end;

15

16

% builtin hilbert transform

17

y1 = imag(hilbert(x));

18

19

% transform in the frequency domain

20

X = fft(x);

21

Y2 = S.*X;

22

y2 = real(ifft(Y2));

23

24

% transform using convolution

25

s = fftshift(ifft(S));

26

y3 = conv(s,x);

27

y3 = y3(1:length(s));

28

29

plot(t,x,t,y1,t,y2,t,y3)

liefert 3 gleiche Kurven. Bei der Faltung muss man aufpassen, da das 
Faltungsprodukt y3 länger ist als die beiden gefalteten Vektoren s und x 
muss man da was abschneiden.

Schaue einmal den Vektor s mit und ohne die Operation fftshift an.