Laplace-Transformation / DGL

[Dyskalkulierender (Gast)]

Hallo,

gestern habe ich mich ein wenig mit der Laplace-Transformation zur 
Lösung von  (einfachen) Anfangswertproblemen beschäftigt.

Beispiel:

x'''(t)-4x'(t) = e^t
x(0)=5; x'(0)=9; x''(0)=9

Lösung:
x(t) = 3 + 7/2 e^2t - 7/6 e^-2t - 1/3 e^t

Die Anfangsbedingungen werden ja direkt "verwurstet"; falls man sie 
ändern möchte, muss man also wieder mehr oder weniger von vorne 
anfangen.
Spricht etwas dagegen, diese Konstanten als Symbole mitzuführen? Im 
obigen Beispiel bekomme ich dies heraus:

x(t) = a + b * e^2t + c e^-2t - 1/3 e^t
mit
a = (4 * x(0) - x''(0) + 1) / 4
b = (2 * x'(0) + x''(0) + 1) / 8
c = (3 * x''(0) - 6 * x'(0) - 1) / 24

Einsetzen von
x(0)=5; x'(0)=9; x''(0)=9
ergibt
x(t) = 3 + 7/2 e^2t - 7/6 e^-2t - 1/3 e^t

Kann das sinnvoll sein (wenn man bereits vorher weiß, dass man diese 
Werte variieren will) oder ist es Blödsinn? Oder bei weniger trivialen 
DGL zu kompliziert?

[Systemgewinner (Gast)]

Dyskalkulierender schrieb:
> Spricht etwas dagegen, diese Konstanten als Symbole mitzuführen?

Nö

[Dr.-Ing. A. Fissur (Gast)]

Dyskalkulierender schrieb:
> Kann das sinnvoll sein (wenn man bereits vorher weiß, dass man diese
> Werte variieren will) oder ist es Blödsinn?

ja

> Oder bei weniger trivialen
> DGL zu kompliziert?

kommt drauf an

[Ratgeber (vormals Radgeber) (Gast)]

Dyskalkulierender schrieb:
> Hallo,
>
> gestern habe ich mich ein wenig mit der Laplace-Transformation zur
> Lösung von  (einfachen) Anfangswertproblemen beschäftigt.
>
> ...
>
> Kann das sinnvoll sein (wenn man bereits vorher weiß, dass man diese
> Werte variieren will) oder ist es Blödsinn? Oder bei weniger trivialen
> DGL zu kompliziert?

Nutze doch Engineering Tools dafür...

[Tobias P. (hubertus)]

Ratgeber (vormals Radgeber) schrieb:
> Nutze doch Engineering Tools dafür...

macht er doch. Die Laplace-Transformation ist eins.

[Ratgeber (vormals Radgeber) (Gast)]

Tobias P. schrieb:
> Ratgeber (vormals Radgeber) schrieb:
>> Nutze doch Engineering Tools dafür...
>
> macht er doch. Die Laplace-Transformation ist eins.

Rechnergetützt für die die noch nicht in der heutigen Zeit angekommen 
sind... Wozu gibt es MATLAB? Damit kannst du so viel ausprobieren gerade 
auch hinsichtlich der Anfangswerte (über einen Skript zB) und so recht 
schnell Aussagen treffen.

[Mitleser (Gast)]

Das kann man schon so machen (wenn man weiß, was man tut). Das Problem 
bei Man muss allerdings erkennen, dass man die -1/3 nicht durch eine 
Konstante ersetzen darf.

Mathematisch exakter (und bei so einfachen DGLs auch mein bevorzugter 
Weg) wäre das Lösungsverfahren über homogene und inhomogene Lösung:

1. Finde irgendeine Lösung der inhomogenen DGL x_i:

x_i'''(t)-4x_i'(t) = e^t
Ansatz: x_i = K * e^t
=> K - 4 K = 1 => K = -1/3

2. Finde alle Lösungen der homogenen DGL x_h:

x_h'''(t)-4x_h'(t) = 0
Ansatz: x_h = e^(wt) ; w ist unbekannt (eigentlich nennt man das lambda)
=> Einsetzen liefert w^3 - 4 w =0
=> w = 0 v w= 2 v w = -2
=> x_h ist die Superpostion dieser Lösungen
=> x_h = A + B* e^(2t) + C *e^(-2t)

3. Die Gesamtlösung ist x_i+x_h = x
=> x = A + B* e^(2t) + C *e^(-2t) -1/3 e^t

4. A, B, C werden jetzt über die AWB ausgerechnet

Matlab braucht man für sowas nicht ;)

[C. A. Rotwang (Gast)]

Tobias P. schrieb:
> Ratgeber (vormals Radgeber) schrieb:
>> Nutze doch Engineering Tools dafür...
>
> macht er doch. Die Laplace-Transformation ist eins.

Njein, erst wenn die mathematischen Symbolen durch physikalische resp. 
technische Größen ersetzt werden, wird ein engineering tool aka 
Ingenieursgleichung daraus. Dann wird auch verständlich, welche 
Vorraussetzung erfüllt werden müssen (i.e. eingeschwungenes System) und 
welche Anfangsbedingungen technisch möglich resp. wünschenswert sind.

Die praktische Anwendbarkeit der LP-Transformation  auf  Probleme  der 
Mechanik  und  der  Elektrotechnik  wurde erst ca. 100 Jahre nach deren 
mathematischen Formulierung durch Oliver Heaviside (1850–1925) und 
Gustav Doetsch  (1892–1977) aufgezeigt.

[Tobias P. (hubertus)]

Ratgeber (vormals Radgeber) schrieb:
> Rechnergetützt für die die noch nicht in der heutigen Zeit angekommen
> sind... Wozu gibt es MATLAB?

als Matlab-Fan bin ich der letzte, der gegen die Anwendung dieses Tools 
ist. Gleichwohl schadet es nicht wenn manzuerst die eigene Denkblase ein 
wenig nutzt und die LT wenigstens ein bisschen beherrscht, sowas muss 
man als Ingenieur einfach drauf haben. Ich krieg die Krise, wenn ich 
sehe dass Leute um  1/(s+1) rückzutransformieren Matlab starten müssen. 
5x6 im Kopf rechnen ist wohl auch noch zu viel verlangt? gibt ja Tools 
für, nech? Stichwort digitale Demenz.

[Cyblord -. (cyblord)]

Tobias P. schrieb:
> Stichwort digitale Demenz.

Stichwort: Boomer

[Timo (Gast)]

@Dennis
Halt‘s Maul du Corona-Zombie!

[Karlmann (Gast)]

@ Timo

Bitte etwas mehr Respekt: So schreibt man nicht über psychisch kranken 
Menschen.

[Toller Hirsch (Gast)]

Wozu braucht man denn ein Skript Tool wie mathlab dafür?
Das habe ich innerhalb von 10 sec im Kopf ausgerechnet. Kein Wunder, 
dass man mit den heutigen Studenten nichts anfangen kann.
Grüße

[Matthis (Gast)]

Wallah Digga geh du

[Matthis (Gast)]

Matthis schrieb:
> Wallah Digga geh du

Diga was ist dein Problem Jo.

[Dr.-Ing. A. Fissur (Gast)]

Toller Hirsch schrieb:
> mathlab

Was ist denn das? Ich kenne nur MATLAB