Forum: Mikrocontroller und Digitale Elektronik Real & Imaginär Anteil für Strom und Spannung aus ADC Messung eines Sinussignals bestimmen


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von Ronald W. (ron)


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Hallo an alle,

derzeit versuche ich mich an der mathematischen Beschreibung, wie man 
aus einer Messreihe von rohen ADC Werten, den komplexen Real und 
Imaginäranteil für den Strom und die Spannung berechnet.

Da es sich um ein periodisches Sinusförmiges Signal handelt sollte eine 
Fourier-Transformation nicht nötig sein.

Meiner Recherche nach ist der Goertzel Algorithmus wohl der richtige 
Ansatz,
allerdings gelingt es mir nicht die Brücke zwischen der mathematischen 
Beschreibung in
https://de.wikipedia.org/wiki/Goertzel-Algorithmus
und
Beitrag "Görtzel Algorithmus einfach erklärt"
zu schlagen.

Kann mir jemand bezüglich dieser Herleitung weiterhelfen?

Grüße und Danke

Ron

von Bernhard S. (gmb)


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Schau dir mal den englischen Wikipedia Artikel an, der ist 
ausführlicher:

https://en.wikipedia.org/wiki/Goertzel_algorithm

von Ronald W. (ron)


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Hallo Bernhard,

danke für die schnelle Antwort.
Den englischen Artikel hatte ich natürlich auch gelesen.
Um mein Problem zu konkretisieren, hier noch ein paar Zusatzinfos.

-Einen Algorithmus zur Berechnung des Stroms und der Spannung aus den 
ADC Werten habe ich bereits. Er ist recht simpel: Summe[0-n]für 
(ADC_Raw_Value[n] * Sollwert[n])(Sinus/Cosinus des Erregersignals). 
Daraus ergibt sich der komplexe Ausdruck des Stroms und der Spannung.
-Aus diesem wird anschließend die Admittanz und die Amplitude des Stroms 
berechnet.
-Aus der Admittanz wird anschließend Leitwert und Kapazität/Induktivität 
berechnet.
-Die Ergebnisse des Algorithmus sind verifiziert und sind korrekt.

Dummerweise passt das nicht oder ich sehe noch nicht den Zusammenhang, 
zum Goertzel Algorithmus. Tendentiell erinnert der Algo den ich verwende 
eher einer Kreuzkorrelation.

In dem bereits angeführten Link:
Beitrag "Görtzel Algorithmus einfach erklärt"

Zitat:
"Rechnerisch haben wir also das sample E1 mit A1 multipliziert, das
sample E2 mit A2 multipliziert, das sample E3 mit A3 multipliziert bis
E? mit A?. Daraus haben wir die Summe S1 gebildet.
Dann wanderte das Eingnagssignal um eins nach rechts und wieder haben
wir E1(neu) mit A1 multipliziert, E2(neu) mit A2 multipliziert..."

Ein Antwortender schrieb  daraufhin:
Zitat
"uns wurde genau dieser Algorithmus in Regelungstechnik als
Matching-Filter verkauft.
http://en.wikipedia.org/wiki/Matched_filter
Wenn man die Seite zum Goertzel anschaut (die ich nicht kannte), wird da
von FFT gesprochen. Also im Frequenzbereich. Das was du beschreibst ist
im Zeitbereich."

und ein weiterer:
Zitat:
"Einfach erklärt funktioniert der Görtzel-Algorithmus ungefähr so:
Das Eingangssignal wird mit Sinus- und Cosinus multipliziert, danach
integriert und der Betrag berechnet. Letzendlich entspricht das einer
Linie einer Fourier-Transformation."

Von der Formel würde ich sagen der Matched Filter ist der richtige 
theoretische Ansatz zur Erklärung. Dieser gibt scheint aber nicht im 
Zusammenhang mit dem komplexen Strom/Spannungswert zu stehen.

Der Goertzel Algorithmus schein genau dies zu ermöglichen, die Formel 
ist aber anders.

Wichtig is mir zu verstehen wie man auf den Real & Imaginäranteil des 
Stroms kommt, der sich aus dem rohen ADC Messwert ergibt.

von max123 (Gast)


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Falls das zu analysierende Signal 50 Hz hat, Taste mit 10ms ab.
Die Summe der beiden letzten Abtastwerte ergeben den COS-Wert,
die Differenz den SIN-wert.

Begründung:
1. Zerlegung einer Funktion in geraden und ungeraden Teil.
2. Die Phase ist bezogen auf das Generatorsignal.
(Auch aus der Steckdose kommt nicht zwangsläufig ein Sinus, sondern ein
Sinus oder Cos - Signal mit Phase.)

von letallec (Gast)


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Ronald W. schrieb:
> Da es sich um ein periodisches Sinusförmiges Signal handelt sollte eine
> Fourier-Transformation nicht nötig sein.

Sollen das jetzt nur Fingerübungen werden oder steckt da mehr 
dahinter???

von Michael D. (nospam2000)


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Ronald W. schrieb:
> aus einer Messreihe von rohen ADC Werten

Was drückt der ADC Wert aus? Wurde die Spannung gemessen oder der Strom 
oder beides?

 Michael

von letallec (Gast)


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Ronald W. schrieb:
> Von der Formel würde ich sagen der Matched Filter ist der richtige
> theoretische Ansatz zur Erklärung. Dieser gibt scheint aber nicht im
> Zusammenhang mit dem komplexen Strom/Spannungswert zu stehen.

Also Fingerübungen.

...oder die Suche nach einem Ansatz, aber Mathe is ja eigentlich nich' 
so mein Ding.

von Ronald W. (ron)


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@Michael:
Es werden sowohl Spannung als auch Strom gemessen.

@letallec:
Der Teil des Ansatzes welcher aus den rohen ADC Werten, den komplexen 
Strom und die Spannung berechnet ist quasi ein Erbstück. Ich konnte 
diesen verifzieren, indem ich die Berechnung der komplexen Admittanz, 
der Amplitude, der Kapazität und des Widerstands hinzugefügt haben.
Nur die Einordnung ist mir bisher nicht gelungen, da er nirgendwo 
richtig reinpasst.

@Max123:
Es handelt sich leider nicht um Netzspannung.
Das Signal liegt um die 100kHz. ADC und gemessenes Sinussignal sind 
Phaselocked.

Grüße und Danke vorab

von CM (Gast)


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Görtzel liefert ja einfach die Amplitude der Grundwellen deiner beiden 
Signale. Für Real- und Imaginärteil des Stromes brauchst du aber auch 
noch die Phasenlage gegenüber der Spannung.

von Dergute W. (derguteweka)


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Moin,

Zu dem Thread 322687:
Es muss nicht immer alles 100% stimmen, was in irgendwelchen Threads von 
irgendjemandem geschrieben wurde.

Hier gibts eine etwas ausfuehrlichere Beschreibung zum Goertzel:
https://en.wikipedia.org/wiki/Goertzel_algorithm

Ronald W. schrieb:
> Es handelt sich leider nicht um Netzspannung.
> Das Signal liegt um die 100kHz. ADC und gemessenes Sinussignal sind
> Phaselocked.

Das klingt aber garnicht nach Goertzel, sondern eher nach Abtastung von 
Bandpasssignalen, im Gegensatz zur ueblicheren Bandbegrenzung durch 
einen Tiefpass.

Gruss
WK

von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


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>Das Signal liegt um die 100kHz. ADC und gemessenes Sinussignal sind phaselocked.

Wieviele Samples macht der ADC pro 100kHz-Schwingung? Wie ist die 
Phasenlage zwischen den beiden? Werden Spannung und Strom gleichzeitig 
oder nacheinander gemessen?

: Bearbeitet durch User
von Michael D. (nospam2000)


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Ronald W. schrieb:
> Das Signal liegt um die 100kHz. ADC und gemessenes Sinussignal sind
> Phaselocked

Ich nehme an das bezieht sich auf das Spannungssignal und Spannung und 
Strom werden gleichzeitig abgetastet? Das bedeutet das Spannungssignal 
ist rein real (es hat keine Phasenverschiebung gegenüber dem Phaselock). 
Der Strom ist bei nicht rein Ohmschen Lasten phasenverschoben gegenüber 
der Spannung.

 > Wichtig is mir zu verstehen wie man auf den Real & Imaginäranteil
 > des Stroms kommt, der sich aus dem rohen ADC Messwert ergibt.

Mit einer komplexen fft kannst du Real- und Imaginäranteil des Stroms 
ermitteln. Dazu musst du die fft mit Real- und Imaginärteilen des Stroms 
füttern. Das bedeutet nichts anderes, als dass du re und im getrennt 
samplest, d.h. du tastest um 90° zeitversetzt ab um die Real und 
Imaginär Anteile zu ermitteln:
100 kHz                    => 0°  Real-Anteil
100 kHz + 1*(1/100kHz) / 4 => 90° Imaginär-Anteil
100 kHz + 2*(1/100kHz) / 4 => 180° = -re => kannst du vergessen
100 kHz + 3*(1/100kHz) / 4 => 270° = -im => kannst du vergessen

Letztlich samplest du mit der 4-fachen Abtastfrequenz gegenüber einer 
rein realen Abtastung und verwirfst die Hälfte der Samples.

  Michael

: Bearbeitet durch User
von Dergute W. (derguteweka)


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Moin,

Michael D. schrieb:
> 100 kHz + 2*(1/100kHz) / 4 => 180° = -re => kannst du vergessen
> 100 kHz + 3*(1/100kHz) / 4 => 270° = -im => kannst du vergessen

Es ist allgemein ziemlich unclever, Werte, die man schon vorliegen hat, 
einfach so aus Gruenden nicht zu verwerten...

Gruss
WK

von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


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phaselocked heißt, man bekommt immer Abtastwerte bei derselben Phase. 
Damit kann die Auflösung nicht genauer sein als die Anzahl der 
Stützstellen. Wenn die Werte nicht synchronisiert wären, dann hätte man 
wenigstens wandernde Punkte auf der Kurve und könnte eventuell noch über 
viele Perioden mitteln.

von Michael D. (nospam2000)


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Dergute W. schrieb:
> Es ist allgemein ziemlich unclever, Werte, die man schon vorliegen hat,
> einfach so aus Gruenden nicht zu verwerten...

Klar, das ist dann der zweite Schritt, nachdem man verstanden hat wie es 
funktioniert. Wenn man bei der Erklärung gleich alles auf einmal zu 
erklären versucht, dann kann man es schlecht verstehen.

Dann noch die Preisfrage: Was genau gewinnst du, wenn du die Samples 
nicht wegwirst?

  Michael

: Bearbeitet durch User
von Ronald W. (ron)


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@Christoph db1uq K.

Gesampelt wird abwechselnd je ein Sample Spannung, ein Sample Strom.
Der Phaselock bezieht sich auf das anregende Spannungssignal.
Der Strom ist quasi die Eingangsgröße, die zurück von der Messstrecke 
kommt.
Die Akquisitionrate beträgt ca. 1MSample/s aufgeteilt auf Strom und 
Spannung -> Also ca. 500kSample/s pro Kanal.

FFT hatte ich auch bereits analysiert und hergeleitet. Allerdings komme 
ich damit auf den oben genannten Term. Sie wäre grundsätzlich auch eine 
Möglichkeit die komplexen Ausdrücke für Strom und Spannung zu bestimmen. 
Allerdings wird die FFT hauptsächlich bei periodischen Signalen, die 
keinem Sinus entsprechen angewandt, weshalb sie eventuell ein wenig 
Overkill ist.

Und das Erbstück scheint es auch so hinzubekommen... Nur die 
mathematische Herleitung fehlt.
Es werden bei dabei auch keine Samples weggeworfen.

Im Prinzip wird die Produktsumme gebildet also:

Realanteil = 
Sample[0]*Cosinus_Erwartungswert[0]+...+Sample[n]*Cosinus_Erwartungswert 
[n]...+Sample[N]*Cosinus_Erwartungswert[N]
Imaginäranteil = 
Sample[0]*Sinus_Erwartungswert[0]+...+Sample[n]*Sinus_Erwartungswert[n]. 
..+Sample[N]*Sinus_Erwartungswert[N]

Für die Sollwert-Tabellen wurde relative simpel im Vorfeld die Werte von
der Sinus und Cosinus der Errungungsignals berechnet.
u = U *sin(wt)
i = I * sin(wt)
t ist definiert durch die Acquisitionrate des ADC.

von Egon D. (egon_d)


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Ronald W. schrieb:

> Und das Erbstück scheint es auch so hinzubekommen...
> Nur die mathematische Herleitung fehlt.

Naja... sie wird als bekannt vorausgesetzt.


> Im Prinzip wird die Produktsumme gebildet also:

Richtig.

Im Diskreten nennt man das "Skalarprodukt"; im Stetigen
wohl "Faltung". Der Korrelationskoeffizient beruht darauf.

Das Skalarprodukt lässt sich als "Ähnlichkeitsmaß" für die
Vektoren im n-dimensionalen Raum auffassen. Wenn das (auf
die euklidische Länge des Vektors normalisierte) Skalarprodukt
Null ist, sind die Vektoren maximal "unähnlich", d.h. sie
stehen senkrecht aufeinander. Ist das Skalarprodukt "Eins",
sind beide Vektoren "maximal ähnlich" -- nämlich identisch.
Zeigen sie "ungefähr in dieselbe Richtung", kommt ein Wert
kleiner als Eins heraus, und so weiter.


> Realanteil =
> Sample[0]*Cosinus_Erwartungswert[0]+...+Sample[n]*Cosinus_Erwartungswert
> [n]...+Sample[N]*Cosinus_Erwartungswert[N]
> Imaginäranteil =
> Sample[0]*Sinus_Erwartungswert[0]+...+Sample[n]*Sinus_Erwartungswert[n].
> ..+Sample[N]*Sinus_Erwartungswert[N]

Formel ist korrekt; Bezeichnung "Erwartungswert" ist Quark, das
stammt aus der Statistik und hat hier nichts zu suchen.


> Für die Sollwert-Tabellen wurde relative simpel im Vorfeld die
> Werte von der Sinus und Cosinus der Errungungsignals berechnet.
> u = U *sin(wt)
> i = I * sin(wt)
> t ist definiert durch die Acquisitionrate des ADC.

Richtig.
Im Prinzip ist das nur die Definition für einen einzigen
FOURIER-Koeffizienten; es wird halt die "Ähnlichkeit" des
Eingangssignales mit der entsprechenden Harmonischen bestimmt.

Die FFT ist nur ein schnellerer Algorithmus, der sehr
trickreich alle Spektrallinien gleichzeitig berechnet und
durch geschickte Ausnutzung von Zwischenergebnissen viel
Aufwand einspart.
Von der rein mathematischen Seite bietet die FFT nichts
neues oder anderes.

Den Artikel zum Görtzel-Algorithmus habe ich nur überflogen;
meiner Meinung nach spart Görtzel nur die Berechnung der
Winkelfunktionen ein, indem rechnerisch ein "Sinusoszillator"
der gewünschten Frequenz simuliert wird. Wenn man Platz für
eine Sinustabelle hat, bringt Görtzel mMn keinen Vorteil.
Mathematisch ist es ohnehin identisch.

: Bearbeitet durch User
von Michael D. (nospam2000)


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Ronald W. schrieb:
> Allerdings wird die FFT hauptsächlich bei periodischen Signalen, die
> keinem Sinus entsprechen angewandt, weshalb sie eventuell ein wenig
> Overkill ist.

Es ging nicht um die konkrete Implementierung sondern um die Herleitung, 
die Implementierung hast du ja.
Bei einem perfekten Sinus wären alle bis auf einen Term der fft 0.

> Und das Erbstück scheint es auch so hinzubekommen... Nur die
> mathematische Herleitung fehlt.

@egon_d hat das ja gut beschrieben, hier nur noch eine Ergänzung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation_(Signalverarbeitung)#Korrelationsfaktor_als_Ma%C3%9F_f%C3%BCr_die_%C3%84hnlichkeit_zweier_Signale

 Michael

von Snafu (Gast)


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Ronald W. schrieb:
> Da es sich um ein periodisches Sinusförmiges Signal handelt sollte eine
> Fourier-Transformation nicht nötig sein.

.. das ganze rumgelaber, sagt mir, hier sieht keiner von euch durch,
zb. Götzel ist ja voll daneben bei den Bedingungen "periodisches 
Sinusförmiges Signal" , weil dann gilt einfach

Realanteil = Einzelamplitude einer Frequence
Imaginäranteil = Phasenlage Strom/Spannung

Wie man dann die Phase berechnet ist wohl klar, oder?
cos oder sin und Wissen der 7/8. Klasse.

von Egon D. (egon_d)


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Snafu schrieb:

> ... rumgelaber
> ... hier sieht keiner von euch durch
> ... voll daneben
> ... ist wohl klar, oder?
> ... Wissen der 7/8. Klasse.

von Michael D. (nospam2000)


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Trolle ignoriert man, auch wenn es schwerfällt.

Don't feed the Troll...

 Michael

von Detlef _. (detlef_a)


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Fourieransatz, Goertzel und dieser hier:
>>>>>>>>>>>
Realanteil =
Sample[0]*Cosinus_Erwartungswert[0]+...+Sample[n]*Cosinus_Erwartungswert
[n]...+Sample[N]*Cosinus_Erwartungswert[N]
Imaginäranteil =
Sample[0]*Sinus_Erwartungswert[0]+...+Sample[n]*Sinus_Erwartungswert[n].
..+Sample[N]*Sinus_Erwartungswert[N]
<<<<<<<<<<<

sind dasselbe Vorgehen.

Als Nachrichtentechniker würde man das 'Mischen mit einem komplexen 
Träger' nennen.

Also mach es so wie Du selbst beschrieben hast für den Strom und die 
Spannung. Du bekommst zwei komplexe Werte, der Winkel zwischen denen ist 
die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.

math rulez!
Cheers
Detlef

von Ronald W. (ron)


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Hallo Leute,

vielen Dank für die Vielzahl an hilfreichen Posts.
anbei die Herleitung der Formel mit der die Werte für die Tabelle mit 
den "Referenzwerten" berechnet werden.
Sie müsste so stimmen aber je mehr Augen drauf schauen desto besser.
Sofern diese Herleitung stimmt, heißt das wir bestimmen n Werte der 
Fourierreihe eines Sinus (Spannung)und Cosinus (Strom).
Somit wäre schonmal geklärt warum und wie wir die Vergleichswerte 
bestimmen.

Im nächsten Schritt stünde dann der Algo an der bewertet, wie groß das 
Mass der Übereinstimmung beider Signale ist (Eingangssignal & 
Referenzsignal).

Die Antwort von Egon erscheint mir soweit plausibel.
Wir bilden als für jeden ADC Messwert das Skalarprodukt mit dem Wert des 
Vergleichssignals und bilden über diese die n Skalarprodukte die Summe.

Ein Wert nahe null dieser Skalarproduktsumme impliziert eine geringe 
Korrelation. Ein sehr hoher Wert (muss noch normiert werden) impliziert 
ein sehr hohes Mass der Korrelation.

Somit verbliebe für mich nur noch die Frage zu klären ist es lediglich 
eine Kreuzkorrelation oder handelt es sich bereits um einen Matched 
Filter.
Ich denke mein Hauptproblem dabei ist, dass sich beide anscheinend nur 
in Nuancen unterscheiden. Ein möglicher Unterschied ist, das die 
Kreuzkorrelation zwei Signale miteinander vergleicht und der Matched 
Filter eher als Filter betrachtet wird.
Habt ihr diesbezüglich noch was auf Lager?

Grüße und Danke

Ron

von Ronald W. (ron)


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Eine Korrektur noch:

Laut der Fourier-Analyse Funktion bildet man die Summe (wie in der 
Herleitung gezeigt).
Das ist noch ein wenig inplausibel.
Da wir ja die Summe der Skalarprodukte bilden und nicht das 
Skalarprodukt der Summen.

von max123 (Gast)


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>> ron sxchrieb:

>> Laut der Fourier-Analyse Funktion bildet man die Summe (wie in der
>> Herleitung gezeigt).
>> Das ist noch ein wenig inplausibel.
>> Da wir ja die Summe der Skalarprodukte bilden und nicwieht das
>> Skalarprodukt der Summen.

Wir multiplizieren im Zeitbereich wie bei einem FIR . Oder nehmen
eine Spektrallinie heraus und bezeichnen das als Filter (goerzel)

von Ronald W. (ron)


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@max123.
Das ist korrekt wir multiplizieren in der Time Domain.
Das entspricht einem FIR Filter, der ja im Prinzip eine Kreuzkorrelation 
darstellt.
Damit wäre aus meiner Sicht aber das Thema Fourier ersmtal raus.

Für mich bleibt damit aber nach wie vor die Frage offen, wieso wir 
daraus den komplexen Strom und die komplexe Spannung bestimmen können.

von Ronald W. (ron)


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@Max123
Hättest ihr eine konkrete Herleitung für Goertzel, die ich mir mal 
ansehen kann.
Bei den Wikipedia Artikeln erkenne ich keinen Zusammenhang zwischen den 
Gleichungen die man aus dessen Herleitung erhält und der von mir 
verwendeten Gleichung.
Im allgemeinenen wäre mathematische Darstellungen eventuell hilfreich.

von Gerald K. (geku)


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Ich würde die Zeitdifferenz zwischen den Nulldurchgängen zwischen den 
steigenten Strom und Spannungswerte messen. 0ms = 0° , 5ms = 90° , 10ms 
= 180°

von Dergute W. (derguteweka)


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Moin,

Das klingt fuer mich doch arg kryptisch:
Ronald W. schrieb:
> Der Phaselock bezieht sich auf das anregende Spannungssignal.
> Der Strom ist quasi die Eingangsgröße, die zurück von der Messstrecke
> kommt.
> Die Akquisitionrate beträgt ca. 1MSample/s aufgeteilt auf Strom und
> Spannung -> Also ca. 500kSample/s pro Kanal.

Ok, wenn du also ca. 2x500kSamples/s samplest, was hat dann das 
anregende Spannungssignal fuer eine Frequenz - und (wie) ist da die 
Phase zum Sampletakt gelockt?

Gruss
WK

von ron (Gast)


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Wie oben erwähnt hat das abgetastet Signal 100kHz.

Der ADC und die den Sinus erzeugenden Output Compare Schaltung werden 
zum Zeitpunkt t=0 synchroninisiert.
Davon ausgehende werden die Werte der gesuchten Grundschwingung zum 
Zeitpunkt der ADC Samplings berechnet.

von Dergute W. (derguteweka)


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Moin,

ron schrieb:
> Der ADC und die den Sinus erzeugenden Output Compare Schaltung werden
> zum Zeitpunkt t=0 synchroninisiert.

Hm. OK, wenn danach der ADC Takt und der Sinus auseinanderdriften wird's 
wohl nix bringen. Aber ich seh' auch nicht, warum's unbedingt dann ein 
Goerzel sein muss.
Ich wuerd' da halt aus Strom- und Spannungssamples die Schein- und 
Wirkleistung berechnen, daraus geht die Blindleistung und damit sollte 
man dann alles ausser dem Vorzeichen des Im-Teils ueber die Impedanz 
wissen, ohne Goertzel, Fourier, oder irgendwelchen Filtereien.

Gruss
WK

von Pandur S. (jetztnicht)


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Wenn die Frequenz fest und vorgegeben ist, benoetigt man weder FFT noch 
Goertzel. Dann ist es viel einfacher. Der Anteil in Phase ist der 
Realteil, der ausser Phase ist der Imaginaerteil.

Also, die Messwerte mit Sin & Cos multiplizieren und addieren, resp 
tiefpassen, ergeben gleich die Anteile an Real & Imaginär. Die Tiefpass 
Zeitkonstante soll einige dutzend Periode betragen.

von Michael D. (nospam2000)


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Joggel E. schrieb:
> Wenn die Frequenz fest und vorgegeben ist benoetigt man weder FFT noch
Goertzel.

Die zweite Bedingung die zusätzlich erfüllt sein muss ist, dass der 
Strom einen rein sinusförmigen Verlauf hat. Beispielsweise würden 
Phasen-Anschnitt/-Abschnitt Steuerungen das Ergebnis verfälschen.

Ich denke nicht, dass dies in diesem Projekt der Fall ist (das weiss nur 
der TO alleine), aber wenn jemand ein Smartmeter baut, dann bitte 
berücksichtigen und vor allem testen.

 Michael

von ron (Gast)


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@Joggel:
Danke für die Info. Wie nennt man das ganze dann? Kreuzkorrelation und 
wie kann man den mathematischen Zusammenhang herbekommen?

@Michael:
Der Strom ist Sinusförmig.

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