Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Signal periodisch


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von helpme91 (Gast)


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Hallo eine Frage an euch,

ich habe folgendes Zeitdiskretes Signal:
x1[n] = 5

Nun stellt sich mir die Frage, ob das Signal periodisch ist oder nicht?
Das Signal ist ja immer 5 und wiederholt sich ja nach 2*PI.
Somit müsste es ja periodisch sein?

SG

von Marek N. (bruderm)


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Nein, es ist eine Konstante.
Es ist nicht periodisch, das es keinen Nulldurchgang hat.
Die FFT daraus liefert die Frequenz Null als einzige spektrale 
Komponente.

von helpme91 (Gast)


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Danke

von Gerhard (Gast)


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Marek N. schrieb:
> Es ist nicht periodisch, das es keinen Nulldurchgang hat.

f(x) = sin(x) + 5 hat keinen Nulldurchgang und ist doch sicher 
periodisch. Insofern ist die Begründung nicht richtig. Ansonsten stimme 
ich dir zu.

Gerhard

von Typisch µC.net (Gast)


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Hallo, ich bin der Kommentar, der auf die Bildformate hinweist. Der 
fehlte noch...

von Mario H. (rf-messkopf) Benutzerseite


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Eine Funktion
heißt periodisch, falls es eine von Null verschiedene ganze Zahl N gibt, 
so dass gilt
Dann heißt N eine Periode von f.

Für die konstante Funktion x(n) = 5 für alle ganzen n gilt die Bedingung 
für jedes N. Sie ist also periodisch, und jedes beliebige ganze N ≠ 0 
ist eine Periode.

von Marek N. (bruderm)


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Hm, ich weiß nicht, ob man für diskret abgetastete Signale so 
argumentieren darf.
Wäre f[n] periodisch in N, so muss es durch ein Abtastinvervall T_s <= 
N/2 abgetastet werden, um das Abtasttheorem nicht zu verletzen.
Nach deiner Argumentation darf N auch gegen unendlich gehen, womit auch 
T_s gegen unendlich gehen muss, wodurch sich eine unendliche Bandbreite 
des Signals ergibt.
Da es aber eine Konstate ist, ist seine Bandbreite Null, da es nur eine 
Spektrallinie bei DC hat.

von Frank (Gast)


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Üblicherweise interessiert man sich aber für die kleinste Periode einer 
Funktion - zu sin(w*t) gibt es ja auch mehrere T, die die Periodizität 
erfüllen.
In dem Fall hier ist dann die Periode n = 1, und damit ist Ts <= 1/2, 
das Spektrum dann ein Dirac-Puls und das Abtast-Theorem sollte erfüllt 
sein.

von Mario H. (rf-messkopf) Benutzerseite


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Marek N. schrieb:
> Wäre f[n] periodisch in N, so muss es durch ein Abtastinvervall T_s <=
> N/2 abgetastet werden, um das Abtasttheorem nicht zu verletzen.
> Nach deiner Argumentation darf N auch gegen unendlich gehen, womit auch
> T_s gegen unendlich gehen muss, wodurch sich eine unendliche Bandbreite
> des Signals ergibt.

Nein. Für ein Signal mit Bandbreite B muss nach dem Abtasttheorem das 
Abtastintervall die Ungleichung
erfüllen, damit das Signal aus den Samples ohne Informationsverlust 
rekonstruiert werden kann. Wenn T_s beliebig groß sein kann, ohne dass 
bei der Rekonstruktion Informationsverlust entsteht, muss B = 0 sein. 
Was für ein konstantes Signal der Fall ist.

: Bearbeitet durch User
von Lothar M. (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite


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helpme91 schrieb:
> Das Signal ist ja immer 5 und wiederholt sich ja nach 2*PI.
Es wiederholt sich nach 6,282? Attosekunden? Tagen? Jahren? Äonen? Oder 
doch gar nie?

Wenn irgendwas immer gleich ist, wiederholt es sich nie. Wenn der 
Bus immer vor dir steht, dann ist der nicht zum wiederholten Mal da. Wen 
dich deine Freundin immer bei dir ist, dann hast du nie zum wiederholten 
Mal eine. Usw. usf.

Oder weniger umgangssprachlich: welche Frequenz hätte dieses konstante, 
sich wiederholende Signal?
"Unendlich" und "0" sind für mich keine technisch sinnvollen Frequenzen. 
Da dürfen dann die Mathematiker und Philosophen weitermachen.

Typisch µC.net schrieb:
> Der fehlte noch...
War auch nötig!

: Bearbeitet durch Moderator
von Mario H. (rf-messkopf) Benutzerseite


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Lothar M. schrieb:
> Wenn irgendwas immer gleich ist, wiederholt es sich nie.

Oder es wiederholt sich nach beliebig kurzer Zeit.

> "Unendlich" und "0" sind für mich keine technisch sinnvollen Frequenzen.
> Da dürfen dann die Mathematiker und Philosophen weitermachen.

Die oben zitierten Definition von Periodizität liegt der klassischen 
harmonische Analyse (d.h. die Theorie der Fourier-Reihen und der 
Fourier-Transformation) zugrunde. Die hat nicht nur den Anstoß und die 
Grundlage für zahlreiche Entwicklungen der modernen Mathematik (z.B. 
abstrakte harmonische Analysis auf lokalkompakten topologischen Gruppen) 
geliefert, sondern sich auch in der Elektrotechnik als sehr nützlich 
erwiesen.

von Mario H. (rf-messkopf) Benutzerseite


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Mario H. schrieb:
> Lothar M. schrieb:
>> Wenn irgendwas immer gleich ist, wiederholt es sich nie.
>
> Oder es wiederholt sich nach beliebig kurzer Zeit.

Vielleicht sollte man das nochmal klarstellen anstatt es so flapsig 
daherzusagen.

Wenn man eine Funktion f hat, die ein Zeitsignal repäsentiert, und diese 
Funktion eine Periode der Länge T hat, dann ist 1/T nicht notwendig das, 
was man in der Elektrotechnik als die Frequenz des Signals bezeichnet.

Nochmal zur Erinnerung: Eine Funktion
heißt periodisch, wenn es eine von Null verschiedene reelle Zahl T gibt, 
so dass
Dann heißt T eine Periode von f.

Nun ist T nicht eindeutig definiert. Man denke z.B. an
Dann sind sowohl 2π/ω als auch 4π/ω, oder allgemein 2kπ/ω für jedes 
ganze k ungleich Null, Perioden von f. Ebenso ist für ein konstantes f 
jede von Null verschiedene reelle Zahl eine Periode.

Die Frequenz (im Sinne der Elektrotechnik) eines periodischen Signals 
ist, wie oben schon jemand erwähnt hat, die kleinste positive Periode 
des Signals. Diese kann man auch mithilfe der Fourier-Transformation 
charakterisieren: Ist F(f) die Fourier-Transformation des periodischen 
Signals f, so ist dessen (Kreis-)Frequenz das kleinste nichtnegative ω, 
für das F(f)(ω) nicht verschwindet.

Der "ausgeartete" Fall dass f konstant ist, wird so auch vernünftig 
abgebildet: Dann ist die Fourier-Transformation F(f) der bei Null 
konzentrierte Dirac-Impuls. Somit verschwindet F(f) überall außer bei 
Null, und die Frequenz von f ist Null, wie es der Intuition entspricht.

Dass dieser Fall "ausgeartet" ist, sieht man auch daran, dass das 
Fourier-Integral einer konstanten Funktion nicht mehr im Lebesgue-Sinne 
existiert, und die Fourier-Transformation einer Konstanten, also der 
Dirac-Impuls, nicht als Funktion im klassischen Sinne darstellbar ist. 
Man kann derartige Dinge im Rahmen der Distributionentheorie aber 
mathematisch exakt rechtfertigen.

: Bearbeitet durch User
von Christoph M. (mchris)


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https://de.wikipedia.org/wiki/Periodische_Folge

Hier findet sich der Satz
"Im Fall N = 0 {\displaystyle N=0} N = 0 heißt die Folge reinperiodisch 
oder streng periodisch.[2]"

Wäre eine Funktion mit konstantem Wert also "reinperiodisch"?

von Mario H. (rf-messkopf) Benutzerseite


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Christoph M. schrieb:
> Wäre eine Funktion mit konstantem Wert also "reinperiodisch"?

Ja, das wäre sie, wenn man die Definition des zitierten 
Wikipedia-Artikels zugrunde legt.

In dem geht es aber um durch natürliche Zahlen 0, 1, 2, 3,... indizierte 
Folgen, und nicht durch ganze Zahlen -2, -1, 0, 1, 2. Etwas weniger 
formal ausgedrückt: Jede im Sinne des Artikels periodische Folge kann 
man durch weglassen endlich vieler Folgenglieder reinperiodisch machen.

von s.c.n.r. (Gast)


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helpme91 schrieb:
> hoch.png
> ich habe folgendes Zeitdiskretes Signal:
> x1[n] = 5

Vor allen Dingen hast du eine fast leeren Zettel :-(

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