Differentialgleichung für Schaltung

[Jens (Gast)]

Hallo liebes Forum,

ich habe hier zur Prüfungsvorbereitung eine Aufgabe. Ein Widerstand eine 
Spule und ein Kondensator sollen in Reihe geschalten sein. Als erstes 
soll für dieses Szenario eine Differentialgleichung aufgestellt werden. 
Die müsste ja sein:
𝑈(𝑡)=𝑅∗𝑖(𝑡)+1𝐶∗∫𝑖𝑐(𝑡)+𝐿∗𝑑𝑖(𝑡)𝑑𝑡

Jetzt soll das Ganze aber noch in der Form:
𝑈(𝑡)=U‘∗𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)

Hat da jemand einen Ansatz für mich?

grüße

[Achim M. (minifloat)]

Machst du Laplace und ersetzt die Laufvariable, je nachdem du sie als p 
oder s kennst, mit j×omega

mfg mf

[Achim M. (minifloat)]

Achso, dann Zurücktransformation...

[Jens (Gast)]

Gibt es noch eine andere Möglichkeit als LaPlace? Ist noch nicht Thema 
in diesem Semester und sollte nicht damit gelöst werden.

[Achim M. (minifloat)]

Jens schrieb:
> andere Möglichkeit als LaPlace

Mit Thomson-Formel die Frequenz bestimmen und über den Widerstand die 
Dämpfung. Damit wird U' dann eine mit e-Funktion abklingende 
Anfangsbedingung, die Hoffentlich irgendwo in der Aufgabe angegeben ist.

mfg mf

[Forist (Gast)]

Jens schrieb im Beitrag #6329578:
> Hat da jemand einen Ansatz für mich?

Probiers mal mit der komplexen Exponentialfunktion
e^i·phi = cos(phi) + i·sin(phi)

p.s.
Versuch's vielleicht auch mal in einem Unterforum, dass nicht gerade 
Mikrocontroller und digitale Elektronik als Schwerpunkt hat.

Prüfungsvorbereitung hört sich irgendwie nach Ausbildung an.

[Jens (Gast)]

So ich hab jetzt nochmal die ganze Aufgabe abgeschrieben weil ich nicht 
weiter komme. Die Lösung a ist zu 100% richtig. Für die Aufgabe b finde 
ich keine Lösung.

Hat evtl. noch jemand eine Idee?

[Wolfgang S. (wolfgang_s588)]

Für Iab schreibt man Uab/R jeweils mit dem sin().

Dann einfach das Integral und die Ableitung ausführen.

Viel Erfolg.

[LostInMusic (Gast)]

>Für die Aufgabe b finde ich keine Lösung.

Vermutlich ist da nach der Berechnung einer durch harmonische Anregung 
(mit omega als Anregungs-Kreisfrequenz) erzwungenen Schwingung eines 
gedämften Oszillators gefragt (wofür dann "Differentialgleichung in Form 
..." allerdings eine lausige Formulierung wäre. Ich würde mich beim 
Autor der Aufgabe beschweren).

Der Ansatz

$$i(t) = \hat{i} e^{j \omega t}$$

mit komplexer Stromamplitude î führt bei diesem Problem zum Ziel 
(genauer: er liefert die spezielle Lösung der inhomogenen DG. Die 
allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DG bekommt man mit einem 
e-hoch-lambda-t-Ansatz).

Wegbeschreibung: i(t) zweimal ableiten, alles in die DG einsetzen, ejwt 
rauskürzen, einen Nenner reell machen und aus dem Ergebnis für î die 
reelle i-Amplitude und die Phasenverschiebung von i ggü. u ausrechnen. 
Bekommst Du sicher hin.

Den Index "ab" am Strom würde ich weglassen. Man muss in dieser 
Schaltung keine Ströme über irgendwelche Indizes voneinander 
unterscheiden, denn es gibt nur einen Strom.