Forum: PC-Programmierung Kennlinie linearisieren


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von M. K. (max_k09)


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Hallo Leute,
es geht um eine Linearisierung einer Kennlinie. Die Kennlinie hat ein 
lineares Verhalten jedoch aufgrund von Störeinflüssen ist sie 
nichtlinear. Die nichtlineare Kennlinie hat 20 Stützstellen. Die Frage 
ist, wie kann ich möglichst einfach diese Kennlinie linearisieren sodass 
der Linearitätsfehler unter einem Prozent bleibt. Ich hab alles möglich 
schon gelesen und es scheint einfach zu sein, nur komm ich irgendwie 
nicht rein.

Die erste Idee war lineare Regression, jedoch war das noch zu ungenau.

Oft lese ich, das man die Umkehrfunktion anwenden muss, wie genau muss 
ich die Umkehrfunktion anwenden, ich verstehe hier den Zusammenhang zur 
Linearisierung nicht?

Weiterhin sind mir Interpolations-Methoden wie Lagrange und Newton 
begegnet die eingesetzt werden könnten, das scheint jedoch aufgrund 
hohem Rechenaufwand nicht Sinnvoll zu sein.

Und letztendlich bin ich zu der stückweisen linearen Spline 
Interpolation gekommen.

Ich steh momentan auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich hier am besten 
anfangen soll. Hoffe ihr könnt ein wenig Licht in Dunkel bringen.
VG

von MaWin (Gast)


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Wer 20 Stützstellen hat, hat 19 gerade Strecken.
Die Geradengleichung kannst du hoffentlich rechnen und hast dann zu 
jedem Messwert direkt seinen korrigierten Wert.

Es macht keinen Sinn, andere Annahmen über den Verlauf zu treffen, wie 
Splines oder Gerade der linearen Regression.

Es sei denn, deine Stützstellen umgibt man mit Fehlerbereichen und man 
weiss, dass die physikalische Realität hinter der Messung lineare 
Zusammenhänge ergeben muss.

von Heiner (Gast)


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Walter A. schrieb:
> Ich steh momentan auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich hier am besten
> anfangen soll.

Was ist denn die Zielsetzung, und zwar ganz konkret?


Walter A. schrieb:
> Die Kennlinie hat ein
> lineares Verhalten jedoch aufgrund von Störeinflüssen ist sie
> nichtlinear.

Im Klartext: Die Messwerte stellen einen nichtlinearen Zusammenhang dar. 
Du suchst kein Interpolationsverfahren, du suchst ein Verfahren, um den 
Störeinfluss zu kompensieren oder zu filtern, und danach wird 
wahrscheinlich ein ziemlich simples Verfahren für lineare Regression.

von M. K. (max_k09)


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Heiner schrieb:
> Was ist denn die Zielsetzung, und zwar ganz konkret?

Es soll eine Sensorkennlinie linearisiert werden. Ich soll dazu ein 
Algorithmus schreiben der die Kennlinie mithilfe von 20 Stützstellen 
linearisiert und ggfls. optimiert da ein absoluter Linearitätsfehler 
über die gesamte Kennlinie unter 1% erreicht werden soll.

Der Ansatz von MaWin mit den 19 Geradengleichungen habe ich so auch 
schon empfohlen bekommen, jedoch war da noch was mit der Umkehrfunktion, 
wo mir der Zusammenhang fehlt.

Wenn zwischen den Stützstellen einfach linear interpoliert wird, dann 
muss die gesamt Kennlinie nicht zwangsläufig linear sein, jedoch ist das 
die Anforderung (Linearitätsfehler).

von Experte (Gast)


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M. K. schrieb:
> wie kann ich möglichst einfach diese Kennlinie linearisieren sodass
> der Linearitätsfehler unter einem Prozent bleibt.

Das ist einfach. Dazu brauchst Du nur 0,8% Linearisierungssalz.

von Jefe (Gast)


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Dann präsentiere mal die Wertepaare.

von A. S. (achs)


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M. K. schrieb:
> Die Kennlinie hat ein
> lineares Verhalten jedoch aufgrund von Störeinflüssen ist sie
> nichtlinear

Was für Störeinflüsse sind das denn? Und warum sind sie reproduzierbar?

Wenn sie reproduzierbar und bekannt sind, dann reicht vielleicht auch 
nur eine oder 2 Stützstellen und ein wenig mehr rechnen.

von georg (Gast)


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M. K. schrieb:
> Die nichtlineare Kennlinie hat 20 Stützstellen

Wichtige Frage: ist die Kennlinie immer die gleiche oder ist die bei 
jedem Gerät verschieden?

Georg

von OldHenry (Gast)


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georg schrieb:
> M. K. schrieb:
>> Die nichtlineare Kennlinie hat 20 Stützstellen
>
> Wichtige Frage: ist die Kennlinie immer die gleiche oder ist die bei
> jedem Gerät verschieden?
>
> Georg

So, mein Ahnungsloser!

Annahme die Kurve sei Sinusförmig. Wo würdest Du die Stützstellen 
implementieren?

von georg (Gast)


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OldHenry schrieb:
>> Wichtige Frage: ist die Kennlinie immer die gleiche oder ist die bei
>> jedem Gerät verschieden?
>>
>> Georg
>
> So, mein Ahnungsloser!

Was für eine hochqualifizierte Pöbelei. Eine sachliche Begründung für 
meine Frage wäre völlig unangebracht, weil du die sowieso nicht 
verstehen könntest.

Georg

von SchauInDenSpiegel (Gast)


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OldHenry schrieb:
> So, mein Ahnungsloser!

Gegenannahme: Du bist nicht nur ein Troll sondern hast etwas Ahnung.
Warum hilfst du dann nicht sondern provozierst nur?

von ths (Gast)


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Um zu sehen, was für dich genügt, reicht es vielleicht schon, die 
Wertepaare in Excel einzutragen und zu markieren, eine grafische 
Darstellung mit Einfügen, Diagramme Punkt zu erhalte. Dort kannst du das 
verschiedene Ausgleichsfunktionen ausprobieren und schauen, ob es dir 
gefällt. Man kann die Funktion sich im Diagramm einblenden lassen, aber 
alternativ die RGP Funktion von Excel verwenden.

Man kann ja bei Regressionsrechnungen nicht nur linear, sondern mit 
Polynomen höherer Ordnung rechnen. Die Mathematik ist halt bisschen 
aufwendiger.

von M. K. (max_k09)


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Tut mir leid wenn ich mich zu unpräzise Ausdrücke. Ich muss dazu sagen 
das ich das auch nur theoretisch mache. Ich habe keine Messreihe aus der 
Praxis.

Es sind verschiedene Kennlinien die optimiert (linearisiert) werden 
müssen.

Hier zum Beispiel eine mögliche Messreihe die ich einfach linearisieren 
möchte so das ich eine bestimmte Linearität erreiche. Die Messpaare sind 
dabei meine Stützstellen.

Das ganze soll mithilfe von Stützstellen passieren. Es soll ein 
möglichst einfacher Rechenprozess für den µC werden. Polynome höheren 
Grades wären, so wie ich das verstanden habe, aufgrund der vielen 
Koeffizienten zu aufwändig.

: Bearbeitet durch User
von Walter T. (nicolas)


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Was ist jetzt an linearer Regression nicht passend? Wenn die Kennlinie 
linear ist, wird es nicht genauer und wenn die Stützstellen halbwegs 
äquidistant sind, ist auch die Konditionszahl kein großes Problem, so 
dass Gleitkommazahlen einfacher Genauigkeit ausreichen.

Bei äquidistanten Stützstellen kann man sogar etliche Werte 
vorberechnen, dass statt dem GEV nur noch eine einfache 
Matrix-Vektor-Multiplikation nötig ist (wobei die Matrix nur Konstanten 
enthält).

Bei pathologischen Ausreißern kann man noch ein wenig herausholen, wenn 
man zwei Durchgänge macht. Aber im Großen und Ganzen ist lineare 
Regression für eine polynomiale Kennlinie optimal.

: Bearbeitet durch User
von OldHenry (Gast)


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@TO: ist deine Frage ich wünsch mir was? Oder hat dich jemand dazu 
beauftragt? Ist das eine Hausaufgabe? Also jetzt mal Butter bei die 
Fische! Drück dich klar aus das jeder hier deine Fragen versteht.

von Achim S. (Gast)


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Walter T. schrieb:
> Was ist jetzt an linearer Regression nicht passend?

Damit könnte der TO eine Gerade an seine Messpunkte anpassen. Aber das 
will er nicht, obwohl sich große Teile seiner Beiträge tatsächlich so 
lesen.

Sondern er will eine mathematische Beschreibung seiner tatsächlich 
nichtlinearen Kennlinie bestimmen. Und die soll so ausreichend einfach 
sein, damit er seine später aufgenommenen Messwerte ohne viel 
Rechenaufwand auf eine lineare Skala zurückrechnen kann. (Daher seine 
Fragen zum Einsatz der "Umkehrfunktion").

Walter T. schrieb:
> Wenn die Kennlinie
> linear ist, wird es nicht genauer

Ist sie leider nicht. Die Aussage im Eröffnungsthread
M. K. schrieb:
> Die Kennlinie hat ein
> lineares Verhalten jedoch aufgrund von Störeinflüssen ist sie
> nichtlinear.
war etwas irreführend.

von Kevin M. (arduinolover)


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Deine Messpunkte haben doch schon einige Ausreißer. Wenn du eine 
mathematische Beschreibung suchst um über eine Funktion die Daten 
umzurechnen wird das jedenfalls nicht so ohne weiteres gehen wenn der 
Fehler klein sein soll. Allerdings ist es etwas verwirrend was du jetzt 
genau willst. Soll X in Y oder Y in X umgerechnet werden?

Grundsätzlich wenn du eine mathematische Funktion brauchst sollte es ein 
Polynom 3. oder 4. grades tun, alternative über Sinussummen. Jenachdem 
kann man die Messwerte noch skalieren um die Koeffizienten "schöner" zu 
bekommen.

Wenn es bei einem float bleibt sollte ein moderner µC mit FPU damit 
wenig Probleme haben.

von Jan (Gast)


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Finde die Angabe des OPs recht klar. Er hat ne nichtlineare Kennlinie 
und will diese linearisieren. Wer damit nix anfangen kann ist hier 
falsch, denn das ist ne Standard Aufgabe.

Voraussetzung: die Nichtlinearität ist reproduzierbar!

Umkehrfunktion ist auch korrekt. Du bildest die aktuelle Kennlinie y der 
Funktion f(x) ab. x ist deine unabhängige Variable, deine "wahren 
Werte", f eine beliebige Funktion zur Approximierung und y eben deine 
Messwerte.

Wenn du y=f(x) hast, suchst du aber ja das umgekehrte. Du hast den 
Messwert und suchst aber den tatsächlichen Wert. Also brauchst du eine 
Umkehrfunktion x=g(y). Damit schließt du vom gemessenen Wert auf den 
wahren.

Die Funktion zu bestimmen ist nicht immer möglich und nicht unbedingt 
einfach, gerade bei periodischen funktioniert das z.B. nicht. Aber das 
ist das Konzept.

Wenn du Fragen hast, frag ;)

von Walter T. (nicolas)


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Achim S. schrieb:
> Sondern er will eine mathematische Beschreibung seiner tatsächlich
> nichtlinearen Kennlinie bestimmen. Und die soll so ausreichend einfach
> sein, damit er seine später aufgenommenen Messwerte ohne viel
> Rechenaufwand auf eine lineare Skala zurückrechnen kann. (Daher seine
> Fragen zum Einsatz der "Umkehrfunktion").

Das ergibt aber auch wenig Sinn. Wenn ich die Abbildung Meßwerte (m) -> 
Echtwerte (e) benötige, stelle ich doch auch die richtige Funktion e(m) 
(auf welchem Weg auch immer) auf, anstelle erst m(e) zu approximieren 
und dann die Umkehrfunktion zu bilden. Ich kenne keinen einzigen Ansatz 
(egal ob polynomial, stückweise, sinus ...) bei dem die Umkehrfunktion 
annähernd so einfach wie die Approximationsfunktion ist. (Stückweise 
lineare Lagrange-Polynome mal aussen vor ... und selbst da nur in 
bestimmten Fällen).

Und was daran "linearisieren" ist, verstehe ich auch immer noch nicht. 
(Vielleicht wird das klarer, wenn man die Werte sieht. Ich habe hier 
kein Office.) Wird die erste Ableitung benötigt?

: Bearbeitet durch User
von Achim S. (Gast)


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Walter T. schrieb:
> (auf welchem Weg auch immer)

Genau das ist das Problem des TO: er fragt nach dem Weg, um auf die 
"richtige" Funktion e(m) zu kommen. Er hat nur seine Messwertpaare, die 
sich nicht unbedingt einfach durch eine simple Funktion beschreiben 
lassen.

Jan schrieb:
> Die Funktion zu bestimmen ist nicht immer möglich und nicht unbedingt
> einfach, gerade bei periodischen funktioniert das z.B. nicht. Aber das
> ist das Konzept.
>
> Wenn du Fragen hast, frag ;)

Na, dann stelle ich für den TO die Frage: wie findet er die geeignete 
Funktion für sein Zahlenbeispiel von 20 Messwerten?

von Walter T. (nicolas)


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Achim S. schrieb:
> Na, dann stelle ich für den TO die Frage: wie findet er die geeignete
> Funktion für sein Zahlenbeispiel von 20 Messwerten?

Schritt 1: Punktewolke als X-Y-Plot darstellen und angucken.

von AtzeM (Gast)


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-> geeignete Stützstellensuche (!) durchführen, um die Linearisierung 
möglichst gut/wenig Fehlerabweichung der ursprünglichen Kurve anzupassen
-> Lookuptable für die Stützstellen aufstellen (Wertepaare)
-> dann lineare Approximation zwischen zwei Stützstellen durchführen

.... Voila !

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von Egon D. (egon_d)


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Achim S. schrieb:

> Walter T. schrieb:
>> (auf welchem Weg auch immer)
>
> Genau das ist das Problem des TO: er fragt nach dem Weg,
> um auf die "richtige" Funktion e(m) zu kommen. Er hat
> nur seine Messwertpaare, die sich nicht unbedingt einfach
> durch eine simple Funktion beschreiben lassen.

Naja, ich denke, Du kennst -- im Gegensatz zum TO -- die
Antwort schon: Im allgemeinen Falle lautet sie nämlich
"Gar nicht!".

Was die "richtige" mathematische Beschreibung (eine
Funktion ist ja eine solche) für einen realen Sachverhalt
ist, das ist keine mathematische oder numerische Frage.

Die Numerik liefert nur die Antwort, wie gut ein
abstraktes Modell auf einen konkreten, durch Zahlen
beschriebenen Sachverhalt passt -- aber das abstrakte
Modell muss man sich halt vorneweg schon ausgedacht
haben.


> Na, dann stelle ich für den TO die Frage: wie findet
> er die geeignete Funktion für sein Zahlenbeispiel von
> 20 Messwerten?

Naja, vielleicht ist er schon zufrieden, wenn er die
Rollen von Argument und Funktionswert vertauscht und
dann einen Spline (im einfachsten Falle einen Polygonzug)
interpoliert.
Wer weiss schon, was für ihn "geeignet" ist?

von Egon D. (egon_d)


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MaWin schrieb:

> Es macht keinen Sinn, andere Annahmen über den
> Verlauf zu treffen, wie Splines oder Gerade der
> linearen Regression.

Naja, eine stetige erste Ableitung kann manchmal schon
angenehm sein; da ist der Spline höherer Ordnung dem
einfachen Polygonzug überlegen. Der Wunsch wäre schon
plausibel, auch wenn man die Physik hinter den gegebenen
Stützstellen nicht kennt.

von Achim S. (Gast)


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Egon D. schrieb:
> Naja, ich denke, Du kennst -- im Gegensatz zum TO -- die
> Antwort schon: Im allgemeinen Falle lautet sie nämlich
> "Gar nicht!".

so ist es. Im Anhang mal die Punktewolke des TO (für diejenigen, die das 
xlsx-File öffnen können oder wollen). Wenn man nicht weiß, wodurch sich 
z.B. der "Sprung" der Stützwerte bei x=40 ergibt, dann kann man nur 
raten wie der echte Verlauf der Kurve zwischen x=40 und x=45 aussieht. 
Mit wolchen Ratereien erreicht man nicht den vom TO gewünschten 
Linearitätsfehler von <1%.

Wenn man weiß, wodurch sich der Sprung ergibt (z.B. durch eine 
Messbereichsumschaltung bei x=42), dann kann man diese Wissen in die 
Modellierung der Kennlinie einfließen lassen und die "echte" Formel der 
Kennlinie an die Messwerte anpassen.

von Achim S. (Gast)


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Achim S. schrieb:
> (für diejenigen, die das
> xlsx-File öffnen können oder wollen).

sollte natürlich heißen: die das xlsx-File nicht öffnen können oder 
wollen

von Pandur S. (jetztnicht)


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Eine Frage der hoeheren Koeffizienten. Es gibt verschiedene 
Moeglichkeiten. Approximierend oder Interpolierend. Beim Zweiten geht 
die Funktion durch die Punkte. Beim ersten in der Naehe durch.

Erst mal muss so eine Funktion konvergieren. Meiner Erfahrung nach 
sollte man nicht zu hoch mit dem Grad des Polynoms gehen. Vielleicht 6 
ter Ordnung. Am Schnellsten wird so ein Polynom als Integer gerechnet.
Alternativ kann man auch ueberlappende Splines legen. Allenfalls gehen 
auch lineare interpolationen.

Etwas Mathe ist notwendig fuer eine gute Loesung.

Irritierend fand ich die Nichtlinearitaet aufgrund von Stoereinfluessen. 
Sind die Konstant ? Falls nicht, kannst das Ganze in die Tonne werfen.

von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


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Geht es darum, eine geschlossene Funktion zu finden, oder nur eine 
schöne Kurve zeichnen zu können?

>stückweise lineare Spline Interpolation
liefert nur schöne glatte Kurven aber keine Funktion.

Soll die Funktion exakt durch alle Kurvenpunkte laufen oder darf sie 
auch nahe daran vorbeigehen?

von georg (Gast)


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Pandur S. schrieb:
> Falls nicht, kannst das Ganze in die Tonne werfen

Ja, aber das wird dann mangels sonstiger Information recht einfach: 
linear in dem Intervall interpolieren in dem der aktuelle Messwert 
liegt. Wie linear das global ist ist eine sinnlose Frage wenn man 
zufällig gestreute Stützpunkte hat. Die Daten des TO entsprechen sicher 
keiner realen Messeinrichtung, sondern sind reine Phantasie. Womit wir 
beim Trollen wären.

Die Frage ob die Nichtlinearität immer die gleiche ist, habe ich vor 
langem auch schon gestellt, aber der TO versteht schon die Frage nicht.

Übrigens ist nicht von Interesse, ob die Ergebnisfunktion linear ist, 
sondern wie weit sie vom realen Werteverlauf abweicht. Die ist z.B. bei 
einem Pt100 bekannt und aus den Tabellen kann man jederzeit geeignete 
Stützpunkte auslesen, da ist eine Aproximation mit einem Polynom 
3.Grades kein Problem, bzw. man kann sich zu jeder gewünschten maximalen 
Abweichung in jedem gewünschten Intervall eine geeignetes Polynom 
schnitzen. Und das konnte bei mir auch schon ein alter Z80 locker 
berechnen.

Georg

von max123 (Gast)


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Hallo,sin
um ein Urteil abzugeben muss man wissen, woher Störung kommt. Ist eine
Störfrequenz vorhanden so könnte man mit mit sin(x)/x arbeiten.
Ist aber die Störung ein Ausreißer, z.B. Zündung an einem 
Verbrennungsmotor, würde ich einen schleifenden Medianwert hernehmen.

Also:
Woher kommt das Störsignal?
 Sonst ist das alles ein Stochern im Nebel.
Ich halte es auch für unbedingt notwendig, dass wir das Signal
auch sehen dürfen.

von max123 (Gast)


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Hallo,
um ein Urteil abzugeben muss man wissen, woher Störung kommt. Ist eine
Störfrequenz vorhanden so könnte man mit mit sin(x)/x arbeiten.
Ist aber die Störung ein Ausreißer, z.B. Zündung an einem
Verbrennungsmotor, würde ich einen schleifenden Medianwert hernehmen.

Also:
Woher kommt das Störsignal?
 Sonst ist das alles ein Stochern im Nebel.
Ich halte es auch für unbedingt notwendig, dass wir das Signal
auch sehen dürfen.

von Jan K. (jan_k)


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Walter T. schrieb:
> Achim S. schrieb:
>> Sondern er will eine mathematische Beschreibung seiner tatsächlich
>> nichtlinearen Kennlinie bestimmen. Und die soll so ausreichend einfach
>> sein, damit er seine später aufgenommenen Messwerte ohne viel
>> Rechenaufwand auf eine lineare Skala zurückrechnen kann. (Daher seine
>> Fragen zum Einsatz der "Umkehrfunktion").
>
> Das ergibt aber auch wenig Sinn. Wenn ich die Abbildung Meßwerte (m) ->
> Echtwerte (e) benötige, stelle ich doch auch die richtige Funktion e(m)
> (auf welchem Weg auch immer) auf, anstelle erst m(e) zu approximieren
> und dann die Umkehrfunktion zu bilden. Ich kenne keinen einzigen Ansatz
> (egal ob polynomial, stückweise, sinus ...) bei dem die Umkehrfunktion
> annähernd so einfach wie die Approximationsfunktion ist. (Stückweise
> lineare Lagrange-Polynome mal aussen vor ... und selbst da nur in
> bestimmten Fällen).

Das stimmt. Wenn es datenbasiert ist, tauscht man abhängige und 
unabhängige Variable einfach. Wenn das Modell aber z.B. physikalisch 
motiviert ist, wird das schwieriger bzw. einfach weniger sinnvoll.

>
> Und was daran "linearisieren" ist, verstehe ich auch immer noch nicht.
> (Vielleicht wird das klarer, wenn man die Werte sieht. Ich habe hier
> kein Office.) Wird die erste Ableitung benötigt?

Linearisieren heißt im Sensor Kontext erstmal nur, dass die 
Ausgangskennlinie "geradegezogen" werden soll.

Wenn du dir dann nämlich den Idealfall einer korrigierte 
Ausgangskennlinie anguckst, hast du zu jedem wahren Wert auf der x-Achse 
denselben Messwert auf der y-Achse und somit eine Ausgangskennlinie in 
Form einer linearen Funktion mit Steigung 1 und Offset 0.

Im allgemeinen eliminiert man eben die Nichtlinearitäten, wodurch die 
Ausgangskennlinie linear wird (dann halt vielleicht mit anderer Steigung 
und Offset)

: Bearbeitet durch User
von Walter T. (nicolas)


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Jan K. schrieb:
> Linearisieren heißt im Sensor Kontext erstmal nur, dass die
> Ausgangskennlinie "geradegezogen" werden soll.

Danke für die Klarstellung. Mir ist der Begriff in diesem Zusammenhang 
noch nicht begegnet, aber ich fange üblicherweise auch erst weit hinter 
dem Sensor an.

Jan K. schrieb:
> Das stimmt. Wenn es datenbasiert ist, tauscht man abhängige und
> unabhängige Variable einfach. Wenn das Modell aber z.B. physikalisch
> motiviert ist, wird das schwieriger bzw. einfach weniger sinnvoll.

Aber auch da: Erst (in diesem Fall die physikalisch motivierte) 
Abbildungsfunktion aufstellen (oder eine Näherung davon), dann fitten. 
Nicht andersherum. Ansonsten sehe ich die Gefahr, dass das Hauptgewicht 
des Fittings weit weg vom realen Arbeitspunkt ist.

Beitrag #6456468 wurde von einem Moderator gelöscht.
von Walter T. (nicolas)


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Aalpaule schrieb im Beitrag #6456468:
> Mannomann

<*)))o><

von Sigi (Gast)


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M. K. schrieb:
> es geht um eine Linearisierung einer Kennlinie. Die Kennlinie hat ein
> lineares Verhalten jedoch aufgrund von Störeinflüssen ist sie
> nichtlinear. Die nichtlineare Kennlinie hat 20 Stützstellen. Die Frage
> ist, wie kann ich möglichst einfach diese Kennlinie linearisieren sodass
> der Linearitätsfehler unter einem Prozent bleibt. Ich hab alles möglich
> schon gelesen und es scheint einfach zu sein, nur komm ich irgendwie
> nicht rein.

Du willst also die Daten durch eine Funktion

  f(x) = a + b*x

beschreiben, so dass das Maximum der Beträge
|f(x_i)-s(x_i)|*100%/f(x_18) möglichst klein ist
(s(x): Sample-Wert an der Stelle x_i, i=1..18).
Gewünscht ist von dir 1% maximale Abweichung.

Kleine Bemerkung zu deinen Daten, siehe Skizze:
Deine Daten lassen ganz sicher kein 1%-Fitting
zu. Die rote Linie zeigt etwa den 1%-Korridor,
die grüne annährend das Bestmögliche. Du kannst
rein graphisch den roten Korridor legen wie du
willst, du kriegst niemals alle Punkte in einen
dieser 1%-Korridore. Im Allgemeinen kannst du
ja nicht beides wünschen, zum einen eine maximale
prozentuale Abweichung und zum anderen beliebige
Daten, das beisst sich immer.

Falls a=0 gesetzt wird, dann erhälst du ein relativ
einfaches Fittingverfahren:
1. Bestimme aus den Daten grosszügig die minimale
und maximale Steigung b_min, b_max aus f(x).
2. zu jedem b kannst du die maximale Abweichung
zwischen f(x) und s(x) inkl. Vorzeichen berechnen
(linearer Aufwand). Man erhält so die Differenz diff(b).
3. diff(b) ist monoton steigend (oder fallend, je
nachdem, ob f(x)-s(x) oder s(x)-f(x) betrachtet wird),
kann man sich relativ einfach klarmachen.
4. somit kann man mittels Intervallhalbierung in
O(n*log(n)) Schritten das Optimum finden.
(wahrscheinlich lässt sich das Verfahren auf ein
Sortierverfahren reduzieren, d.h. es wird wahrscheinlich
das bestmögliche bzgl. Komplexität sein)

Mit etwa dem Ansatz (habe zur Vereinfachung auf
die Intervallhalbierung verzichtet und stattdessen
das Intervall hoch aufgelöst) komme ich auf eine
Abweichung von etwa 6.66% für die beste Approximation
mit a=0 und b=53.91.

Andere Fittingverfahren, wie z.B. das hier schon
erwähnte lin. Regressionsverfahren berechnen bzgl.
deiner Zielsetzung etwas vollkommen anderes, wenn
es auch in etwa wie die Lösung aus meinem Ansatz
aussieht. Das lin. Regressionsverfahren minimiert
ja die mittlere quadratische Abweichung, die willst
du ja aber nicht.

von Jan K. (jan_k)


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Sigi schrieb:
> Du willst also die Daten durch eine Funktion
>
>   f(x) = a + b*x

Will er meiner Meinung nach nicht, siehe meine Ausführungen darüber.

Er will, dass die Sensor Ausgangskennlinie nach der Linearisierung 
einer linearen Funktion entspricht.

Er will imo nicht eine Gerade in die Daten fitten.

: Bearbeitet durch User
von Sigi (Gast)


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Jan K. schrieb:
> Er will, dass die Sensor Ausgangskennlinie nach der Linearisierung
> einer linearen Funktion entspricht.
>
> Er will imo nicht eine Gerade in die Daten fitten.

Ups, habe das Hochladen meiner Graphik vergessen,
hoffentlich klappt's jetzt.

Bei Linearisierung verstehe ich das, was z.B. auf
folgenden Seiten inkl. einiger Kennzahlen zu
finden ist:

http://techniker.pi-pro.de/fs/messtechnik/pdf/messfehler.pdf
https://www.hawe.com/de-de/content-pages/linearitaetsfehler-bei-messgeraeten

Die Formeln zum Fitten im PDF-Dokument finde ich
aber komplett blödsinnig, siehe meine Bemerkung Oben.

Ob du jetzt eine lineare Funktion (warum soll sich
diese von meiner unterscheiden?) per Gradeziehen oder
einem beliebigen anderen Verfahren erhälst ist eiglich
komplett egal, solange die Zielvorgabe von 1% nicht
verletzt wird. Das ist aber bei dem Datensatz nicht
möglich, siehe Skizze.

Btw. man kann auch den Parameter a ungleich 0 setzen,
dann kommt man auf etwa 6% Abweichung mit a=80.82 und
b=51.65.

von Jan K. (jan_k)


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Schöne Grafik :)

Da sehe ich aber auch nur eine Ausgleichsgerade. Und du hast Recht, 
damit bestimmt man den Linearisierungs-*Fehler*. Auch genannt 
Nichtlinearität in vielen Datenblättern. Häufig steht auch 
"non-linearity best fitted straight line" das ist aber was anderes als 
Linearisierung.

Was der TO aber möchte, ist seine Kennlinie so durch ein Verfahren zu 
optimieren, dass eben der Fehler, den du berechnet hast < 1% wird.

: Bearbeitet durch User
Beitrag #6456882 wurde von einem Moderator gelöscht.
von Heiner (Gast)


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Jan K. schrieb:
> Was der TO aber möchte, ist seine Kennlinie so durch ein Verfahren zu
> optimieren, dass eben der Fehler, den du berechnet hast < 1% wird.

So verstehe ich das auch. Das ist aber keine Frage des 
Regressionsverfahrens (die Daten sind nicht so linear, wie man es 
gerne hätte), sondern erfordert eine Aufbereitung der Messwerte. Im 
einfachsten Fall schmeißt man so lange den Messwert mit der größten 
Abweichung von der Regressionsgeraden weg, bis der gewünschte Fehler 
erreicht ist. Sofern man ein Modell über die Herkunft der Abweichungen 
aufstellen kann, könnte man vielleicht auch so die Werte bereinigen.

Oder es ist halt doch etwas ganz anderes gewünscht. Abschnittsweise 
Interpolationen wurden hier schon vorgeschlagen. Außerdem steht ja am 
Ende doch eine Anwendung dahinter, denn ...

M. K. schrieb:
> Es soll ein
> möglichst einfacher Rechenprozess für den µC werden. Polynome höheren
> Grades wären, so wie ich das verstanden habe, aufgrund der vielen
> Koeffizienten zu aufwändig.

... es gibt genügend µC, die das für die paar Dutzend Messwerte mal ganz 
locker nebenher erledigen. Ok, ein AVR8 rechnet dann vielleicht mal ein 
paar Sekunden, wenn man etwas ganz abgefahrenes macht, aber wenn das ein 
Problem ist, scheinen ja konkrete Zeitanforderungen bekannt zu sein.

von Frank M. (ukw) (Moderator) Benutzerseite


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Ich glaube, es gibt hier Missverständnisse zum Begriff "Linearisierung". 
Fakt ist: Es wird keine einzelne Gerade gesucht, sondern eher mehrere.

Erklärung: https://de.wikipedia.org/wiki/Linearisierung

Wenn ich das richtig verstehe, soll die Anwendung von Geraden nur in 
"lokalen Stücken" geschehen, nämlich derart, dass keine Gerade eine 
größere Abweichung als 1% von der tatsächlichen Kurve erzeugt.

Anschaulich kann man sich das so vorstellen:

Man hat eine gegebene Messreihe auf einem Blatt Papier im X-Y-Diagramm. 
Nun legt man mehrere Streichhölzer so auf das Papier, dass eine 
Abweichung der (lokalen) Geraden - repräsentiert durch die Streichhölzer 
- kleiner als 1% wird.

Man hat also N Geradengleichungen, welche jeweils für ein lokales Gebiet 
gelten.

Habe ich das so korrekt verstanden?

: Bearbeitet durch Moderator
von georg (Gast)


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Frank M. schrieb:
> Habe ich das so korrekt verstanden?

Nicht so ganz. Wenn du zwischen 2 Stützpunkten mit einem Streichholz, äh 
einer Geraden interpolierst, ist die Frage nach 1% sinnlos - an den 
Enden (Stützstellen) ist es genau, und dazwischen ist der wahre Wert ja 
nicht bekannt, also wovon 1% Abweichung?

Georg

von Frank M. (ukw) (Moderator) Benutzerseite


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georg schrieb:
> also wovon 1% Abweichung?

Abweichung von einer interpolierten Kurve? Diese muss (wegen 
Messfehlern) nicht unbedingt durch die Messpunkte (Stützstellen) gehen. 
Und damit kann die Abweichung auch an den Stützstellen größer als 0% 
sein.

Die Geraden durch jeweils benachbarte Messpunkte zu ziehen ist wohl zu 
trivial - auch wenn das MaWin direkt in der ersten Antwort dieses 
Threads als Verfahren vorstellte.

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von WerWieWas (Gast)


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Mit polyfit in Matlab oder dem Äquivalent in numpy.

von Joachim B. (jar)


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Frank M. schrieb:
> Und damit kann die Abweichung auch an den Stützstellen größer als 0%
> sein.

Die Abweichung zwischen den beiden bekannten Stützstellen kann auch 
alles Mögliche sein, auch größer 100%
Wenn Platz im µC ist kann auch jedem ADC Wert ein y-Wert in einer 
Tabelle zugewiesen werden.

ADC habe ich mal geraten!

: Bearbeitet durch User
von Yalu X. (yalu) (Moderator)


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Frank M. schrieb:
> Ich glaube, es gibt hier Missverständnisse zum Begriff "Linearisierung".
> Fakt ist: Es wird keine einzelne Gerade gesucht, sondern eher mehrere.

Ich glaube eher, mit "Linearisierung" ist hier die Korrektur der
Nichtlinearität eines Sensors oder eines Messgeräts durch Anwendung
einer geeigneten mathematischen Funktion auf die Messewerte gemeint. Und
genau nach dieser Funktion sucht der TE.

Diese Funktion ist die Umkehrfunktion der durch die Kennlinie gegebene
Funktion (deswegen fiel im Eröffnungsbeitrag auch dieser Begriff). Da
die Kennlinie aber nur durch relativ wenige Punkte gegeben ist, ist die
zugehörige Funktion nur sehr unvollständig definiert. Entsprechend kann
auch die daraus gewonnene Umkehrfunktion keine optimale Korrektur
liefern und ihr maximaler oder RMS-Fehler kann nur grob geschätzt
werden.

Je verschnörkelter die Nichtlinearitäten sind, umso komplizierter wird
die Korrektorfunktion. Gleichzeitig soll diese Funktion nach Aussage des
TE aber sehr einfach zu berechnen sein. Deswegen muss ein sinnvoller
Kompromiss gefunden werden.

Da sich der TE nicht mehr meldet, gehe ich davon aus, dass er das
Problem entweder gelöst hat oder sich nicht mehr weiter damit
beschäftigt.

: Bearbeitet durch Moderator
von Walter T. (nicolas)


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Frank M. schrieb:
> Wenn ich das richtig verstehe, soll die Anwendung von Geraden nur in
> "lokalen Stücken" geschehen, nämlich derart, dass keine Gerade eine
> größere Abweichung als 1% von der tatsächlichen Kurve erzeugt.

Ich versuche das mal, als Hausaufgabentext zu formulieren:

"Gegeben seien n Tupel x_i, y_i, die durch eine stückweise lineare 
Funktion f(x) mit m Abschnitten derart approximiert werden soll, dass 
der Approximationsfehler an jedem Tupel kleiner oder gleich 1% 
ausfällt."

Das ließe die Fragen offen:
 a) muss die Approximationsfunktion stetig sein?
 b) muss m < n-1 sein?
 c) muss m minimal sein?
 d) dürfen die Stützstellen beliebig nach dem Fehlerkriterium gewählt 
werden, oder muss ihr x-Wert mit einem gegebenen Tupel zusammenfallen?

von Jan K. (jan_k)


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Yalu X. schrieb:
> Ich glaube eher, mit "Linearisierung" ist hier die Korrektur der
> Nichtlinearität eines Sensors oder eines Messgeräts durch Anwendung
> einer geeigneten mathematischen Funktion auf die Messewerte gemeint. Und
> genau nach dieser Funktion sucht der TE.

Ganz genau so ist es. Und so hab' ich es oben auch schon ein paar Mal 
geschrieben. Es wird die Umkehrabbildung gesucht!

Hier mal zwei Paper dazu: 
http://physics.gu.se/~larsbn/Publikationer/pub6_2012.pdf
https://www.atpjournal.sk/buxus/docs/casopisy/atp_plus/plus_2006_2/plus13_17.pdf

Und weil mir aus unerklärlichen Gründen zu langweilig war (nicht 
wirklich... :D), hab' ich das Ganze mal in Matlab aufgeschrieben. Mit 
einem einfacheren Beispiel sowie mit den Daten vom TO.

Ich habe versucht, so viel zu kommentieren wie nur möglich. Lässt sich 
hoffentlich auch in Octave ohne toolboxen ausführen.

Es basiert auf dem Fit der inversen Funktion. Oben kann man mit dem Grad 
des Polynoms spielen und einstellen, ob die TO Daten oder ein Beispiel 
gezeigt werden soll:
%% Parameter zum rumspielen

fitOrder = 2; % Polynom Ordnung der gefitteten Inversen Funktion
dataSource = 'example'; % 'example' or 'measurement'

Im Anhang seht ihr ein paar Ergebnisse mit verschiedenen Einstellungen.

Wie man hoffentlich sehen kann, bekommt man den 
(Nicht-)Linearitätsfehler nicht unter 5.1 % mit dem angewendeten 
Verfahren (globales Polynom der Inversen). D.h. man müsste jetzt gucken, 
ob lokale Modelle besser funktionieren. Oder man nimmt ne Lookup Table, 
oder oder oder.

Fakt ist aber, dass die Nichtlinearitäten seltsam aussehen und auch 
Messfehler sein könnten. Daher noch ein Beispiel von mir, wo man eine 
"echte" nichtlinearität (x^2) über die gesamte Kennlinie sehen kann.

von Jan K. (jan_k)


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Walter T. schrieb:
> "Gegeben seien n Tupel x_i, y_i, die durch eine stückweise lineare
> Funktion f(x) mit m Abschnitten derart approximiert werden soll, dass
> der Approximationsfehler an jedem Tupel kleiner oder gleich 1%
> ausfällt."

Es muss aber die Inverse approximiert werden!

von Walter T. (nicolas)


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Jan K. schrieb:
> Es muss aber die Inverse approximiert werden!

Die Umkehr"funktion" einer stückweise linearen Funktion ist auch 
stückweise linear. Nur nicht mehr zwangsläufig eine Funktion.

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