Gebäudeabkühlung nach Kondensatorentladungsformel

[Kolja L. (kolja82)]

Nabend

Wir versuchen gerade die Auskühlung eines Gebäudes rechnerisch 
nachzuvollziehen.

Dazu haben wir:
Innentemperatur am Anfang und Ende, Außentemperatur (wird als konstant 
betrachtet), die Wärmekapazität des Gebäudes und die Dauer der 
Abkühlung.

Als mathematischen Zusammenhang muss doch die Formel zur Entladung eines 
Kondensaors unser Problem korrekt abbilden.
(Daher schreibe ich das auch in dem Forum für analoge Elektronik ;-)

Was wir suchen ist der Transmissionswärmewiderstand, also das "R" in der 
Kondensatorformel.

Umgestellt sieht die Formel so aus:

$$R = - \frac{ C * t }{ log(\frac{ U }{ U(t) }) }$$

Und in Python geschrieben so:

T_innen_Start = (273 + 20) - (273 + 7) # K
T_innen_Ende  = (273 + 13) - (273 + 7)  # K
t             = 55 # h
c_wirk        = 8.8 # kWh/K
C             = c_wirk * T_innen_Start # kWh

HT = -( C* t / np.log(T_innen_Ende/T_innen_Start))

print HT

Als Wert für HT ergibt sich allerdings ein Wert von ca 8140 W/K,
was etwa 8000 W/K zu hoch ist...

Haben wir einen Denkfehler mit der Analogie zum Kondensator?

[Udo S. (urschmitt)]

Kolja L. schrieb:
> (273 + 20) - (273 + 7)

Du brauchst doch nur die Potentialdifferenz. Also kannst du dir den 
absoluten Nullpunkt sparen, kürzt sich eh raus.

[ths (Gast)]

Die Gebäudetemperatur nähert sich der Außentemperatur und wird nicht 
Null. In der Formel für den Kondensator musste ein Uamb additiv hinzu.

[Wolfgang (Gast)]

Kolja L. schrieb:
> Als mathematischen Zusammenhang muss doch die Formel zur Entladung eines
> Kondensaors unser Problem korrekt abbilden.

Muss sie das?

> Haben wir einen Denkfehler mit der Analogie zum Kondensator?

Guckt euch die zugehörige Differentialgleichungen an. Dann ist es 
wesentlich besser zu verstehen, ob und was die beiden Probleme 
miteinander zu tun haben und wo bei eurer Lösung die "kleine" Abweichung 
her kommt.

[Achim S. (Gast)]

Kolja L. schrieb:
> Als mathematischen Zusammenhang muss doch die Formel zur Entladung eines
> Kondensaors unser Problem korrekt abbilden.

in der allergröbsten Näherung kann man das so ansetzen.

Kolja L. schrieb:
> Umgestellt sieht die Formel so aus:

Nein: das solltet ihr nochmal nachrechnen. Schon von den Einheiten her 
geht das nicht auf.

[Kolja L. (kolja82)]

Udo S. schrieb:
> Also kannst du dir den
> absoluten Nullpunkt sparen, kürzt sich eh raus.
Ja, dass stimmt natürlich.

ths schrieb:
> In der Formel für den Kondensator musste ein Uamb additiv hinzu.
Wohin denn, deiner Meinung nach?
Unsere Idee war ja, nur die "Potentialdifferenz" also die Unterschiede 
zwischen dem deltaT_Start und dem deltaT_Ende zu betrachten. Damit sinkt 
die "Spannung" ja nicht auf null, sondern nur um einen bestimmten Wert.

Wolfgang schrieb:
> Muss sie das?
Das war/ist unsere These, die wir überprüfen wollen ;-)

Wolfgang schrieb:
> Guckt euch die zugehörige Differentialgleichungen an.
Wenn wir die verstehen würden, hätten wir hier wahrscheinlich nicht 
fragen müssen.

Achim S. schrieb:
> in der allergröbsten Näherung kann man das so ansetzen.
Danke!

Achim S. schrieb:
> Nein: das solltet ihr nochmal nachrechnen.
Nochmal Danke, versuche ich morgen.

[Jacko (Gast)]

Wärme-Kapazität und Wärme-Widerstand wurden gerade wegen dieser
guten Analogie genau so benannt!

Warum? - Faraday, Volta und Ohm lebten in Zeiten, wo die
Energieverschwendung beim Heizen schlecht wärmeisolierter Räume
in der offiziellen Wissenschaft noch kein Thema war.

Der Ansatz ist also OK!
- Es gibt die Innentemperatur (entspricht der Kondensatorspannung)
- Es gibt die Wärmekapazität des Gebäudes (entspricht der Kondensator-
  kapazität)
- Es gibt den Wärmewiderstand des Gebäudes (der Wände, Fenster und
  Türen), der den Temperaturausgleich verzögert (entspricht dem R in
  der RC-Schaltung)
- Es gibt die Außentemperatur (entspricht der "Ziel"-Spannung)

- Wenn alles IDEAL (ohne andere Einflüsse) abläuft, läuft die
  Temperaturangleichung an die Außentemmperatur genau so ab,
  wie die Spannungsangleichung an die Zielspannung.

Man muss alles nur physikalisch passend ansetzen!

[Kolja L. (kolja82)]

Kolja L. schrieb:
> Nochmal Danke, versuche ich morgen.
Nachdem ich das:

Jacko schrieb:
> Man muss alles nur physikalisch passend ansetzen!

gelesen hatte, versuch ich es doch jetzt nochmal:

$$U_{t} = U \cdot e^{ \frac{ -t }{ R \cdot C } }$$

$$\frac{ U_{t} }{ U } = e^{ \frac{ -t }{ R \cdot C } }$$

$$\frac{ U }{ U_{t} } = e^{ \frac{ t }{ R \cdot C } }$$

$$ln(\frac{ U }{ U_{t} }) = \frac{ t }{ R \cdot C }$$

$$R \cdot C \cdot ln(\frac{ U }{ U_{t} }) = t$$

$$R = \frac{ t }{ C \cdot ln(\frac{ U }{ U_{t} }) }$$

Aber die Einheiten passen so auch nicht:

$$[W/K] \neq \frac{ h }{ Wh \cdot ln(\frac{ K }{ K }) }$$

ich gehe doch besser schlafen...

[Christian K. (1337_pl)]

ich glaueb dir fehlen ein paar konstanten. eventuell boltzmann 
konstante. ist schon länger her.....

[Christian K. (1337_pl)]

wärme kapazität ist J/K = Wh/K

[2aggressive (Gast)]

Kolja L. schrieb:
> die Wärmekapazität des Gebäudes und die Dauer der
> Abkühlung.
>
> Als mathematischen Zusammenhang muss doch die Formel zur Entladung eines
> Kondensaors unser Problem korrekt abbilden.
Wenn (das tun sie nicht) die Wände an jeder Stelle die gleiche 
Temperatur (Spannung) hätten.

[Christian K. (1337_pl)]

und wärmewiderstand ist K/W damit passt es

[Heizer (Gast)]

Wärmedurchgangleistung durch eine Wand mit der Stoffkonstante ( bei 
Dämm-
material z.B. die Angabe WLG035 ) Lamda:

P = ( Lamba / d )* A * dT

[W] = ([w/mK] / m) * [m^2] *[K]

[Kolja L. (kolja82)]

Christian K. schrieb:
> wärme kapazität ist J/K = Wh/K
Danke, hatte ich (warum auch immer) mit der Starttemperatur 
multipliziert.
Damit war die Angabe der Einheit richtig, aber der Rest falsch...
Noch "fälscher" war der Wert selbst, es sind 8.838Wh/k und nicht 8,838 
Wh/K.

2aggressive schrieb:
> Wenn (das tun sie nicht) die Wände an jeder Stelle die gleiche
> Temperatur (Spannung) hätten.
Das stimmt natürlich, wobei unsere Innentemperatur auch nur die 
Raumlufttemperatur ist.
Genauigkeit siehe unten...

Christian K. schrieb:
> und wärmewiderstand ist K/W damit passt es
Und damit der Kehrwert des HT also des Leitwertes, den wir zum Vergleich 
haben.


Somit sieht die Formel jetzt so aus:

$$R = \frac{ t }{ C \cdot ln(\frac{ U }{ U_{t} }) }$$

Bezogen auf meine Analogie so:

$$\frac{ 1 }{ HT } = \frac{ t }{ C_{wirk} \cdot ln(\frac{ \Delta T_{Start}}{ \Delta T_{Ende} }) }$$

mit diesen Einheiten:

$$[K/W] = \frac{ h }{ Wh/K \cdot ln(\frac{ K }{ K }) }$$

Die Berechnung ist auch angepasst:

T_au          =  7  # °C
T_in_Start    =  20 # °C
T_in_Ende     =  13 # °C
dT_in_Start   =  T_in_Start - T_au # K
dT_in_Ende    =  T_in_Ende - T_au  # K
t             =  60   # h
c_wirk        =  8838 # Wh/K 
HT            =  1 / ( t / c_wirk * np.log(dT_in_Start/dT_in_Ende)) # W/K

Das gemessene Ergebnis "passt" jetzt auch zu der Angabe aus der 
Bauteilberechnung:

$$HT_{Messung} = 190 W/K$$

$$HT_{Bauteilberechnung} = 67 W/K$$

Nur wirklich aussagekräftig ist so eine Messung nicht, sofern die 
anschließende Berechnung jetzt korrekt ist.

Danke für eure Unterstützung und bitte noch ein letzes Mal 
drüberschauen.