Formel zur Berechnung eines Kondensatornetzwerks

[Lukas W. (lukas_w338)]

Hallo zusammen

Ich bräuchte für eine Simulation eine Formel, bei der ich die Spannungen 
UC1, UC2 und UC3 abhängig von US1, US2 und der Zeit bestimmen kann 
(theoretische Schaltung siehe Anhang).

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank.

[Elliot (Gast)]

Lukas W. schrieb:
> Kann mir da jemand weiterhelfen?

Helmut S. hätte es wohl gekonnt, der Dergute W. sicher auch. Ich kann 
dir nur die Lösung meines Simulators für ein etwas einfacheres Netzwerk 
geben (der Simu hat sich geweigert mit 2 Quellen zu rechnen), aber schon 
die sollte dir zeigen, daß die Sache nicht so einfach ist.

[Fast track to /dev/null (Gast)]

Da was theoretisches:
https://www.eit.hs-karlsruhe.de/hertz/teil-c-wechselstromtechnik/konstruktion-von-massstaeblichen-zeigerdiagrammen.html

wenn Dir der Kopf darüber platzt ist es nicht meine Schuld.

[Mario H. (Gast)]

Um das Prinzip zu demonstrieren und die Mathematik mit weniger 
Tipparbeit in den Griff zu bekommen, betrachte man die etwas 
vereinfachte Schaltung auf dem Bild im Anhang.

Dann gilt für den Knoten oben in der Mitte:

$$i_C=i_{R_1}+i_{R_2}=\frac{u_1}{R_1}+\frac{u_2}{R_2}-u_C\Bigl(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\Bigr),$$

wobei die beiden Maschengleichungen

$$\begin{align*} u_1&=u_{R_1}+u_c\\ u_2&=u_{R_2}+u_c \end{align*}$$

verwendet wurden. Die Notation sollte selbsterklärend sein (u_R_1 ist 
die Spannung über R_1, etc.). Mit

$$\dot u_C=\frac1Ci_C$$

gilt dann

$$\dot u_C+\frac{R_1+R_2}{CR_1R_2}u_C=\frac{1}{CR_1}u_1+\frac{1}{CR_2}u_2.$$

Der Punkt bezeichnet, wie üblich, die Zeitableitung. Das schreibt man 
als

$$\dot u_C(t)+\alpha u_C(t)=g(t),$$

mit den Abkürzungen

$$\alpha=\frac{R_1+R_2}{CR_1R_2},\quad g(t)=\frac{1}{CR_1}u_1(t)+\frac{1}{CR_2}u_2(t).$$

Wie man sieht, hat man so eine lineare inhomogene gewöhnliche 
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten erster Ordnung für 
u_C erhalten.

Eine allgemeine Lösung erhält man als Spezialfall des Verfahrens der 
Variation der Konstanten à la Lagrange. Man bekommt als allgemeine 
Lösung

$$u_C(t)=\Bigl(\int_0^tg(s)\mathord{\rm e}^{\alpha t}\,\mathord{\rm d}s+C\Bigr)\mathord{\rm e}^{-\alpha t}\quad\text{für}\ t\geq0.$$

Dabei ist die Integrationskonstante C aus der Anfangsbedingung

$$u_C(0)=C$$

zu bestimmen.

Expliziter kann man die Lösung nicht hinschreiben, ohne den Verlauf von 
u_1 und u_2 (und damit der Funktion g) zu kennen. Das liegt daran, dass 
die Schaltung aufgrund des Kondensators ein Gedächtnis hat. Sind die 
Spannungen als Funktion der Zeit gegeben, kann man das Integral lösen 
und u_C mit der angegebenen Formel und der Anfangsbedingung C berechnen.

Die Schaltung des TO lässt sich im Prinzip genauso beackern, nur dass 
die Analyse der Knoten und Maschen etwas komplexer wird.

[gbu235 (Gast)]

Lukas W. schrieb:
> UC1, UC2 und UC3 abhängig von US1, US2 und der Zeit
Sollen sich  US1 und/oder US2 im Lauf der Zeit ändern?
Wenn nein, dann ist die Funktion nur abhängig von der Differenz der 
beiden Werte.
Es wird aber ohnehin spätestens nach zwei bis drei Stufen "kompliziert". 
Ich hatte das 2016 einmal hier im Forum analysiert, finde aber meinen 
Beitrag nicht mehr. Vermutlich wird eine Simulation dein Problem 
einfacher lösen.
> Ich bräuchte für eine Simulation eine Formel
HäHä

[gbu235 (Gast)]

gbu235 schrieb:

> Ich hatte das 2016 einmal hier im Forum analysiert
Eigentlich dachte ich, daß ich die entsprechenden Dateien angehängt 
hätte.

[Arno (Gast)]

Alternativ kann man das vermutlich für den eingeschwungenen Zustand mit 
sinusförmigen Signalen auch mit komplexer Wechselstromrechnung (anstelle 
der DGLs) lösen (was grundlegend nur eine andere Notation der bereits 
vorgeschlagenen Zeigerdiagramme ist). Ich hab das lange nicht mehr 
angewendet, kann es deshalb um diese Uhrzeit nicht spontan aus dem Ärmel 
schütteln.

Oder doch, für Marios Beispiel:

$$U_C = I_C * \frac{1}{j \omega C}$$

 und

$$I_C = I_{R,1} + I_{R,2}$$

 und

$$I_{R,i} = \frac{U_i - U_C}{R_i}$$

Ich glaube allerdings mich zu erinnern, dass man damit (ebenso wie mit 
Zeigerdiagrammen) nur rechnen kann, wenn beide Eingangssignale die 
gleiche Frequenz haben. Phasenverschub zwischen den Eingangssignalen 
kann man durch Multiplikation mit

$$(cos(\phi) + j sin(\phi))$$

darstellen. Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, ich bin kein 
Elektroingenieur.

MfG, Arno

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

Elliot schrieb:
> Helmut S. hätte es wohl gekonnt, der Dergute W. sicher auch.

Es geht mir ausgezeichnet, ich wuerde gerne etwas spazieren gehen ;-)

Ist halt eine unangenehme Rechnerei mit vielen belasteten 
Spannungteilern.
Freiwillig wuerd' ich sowas nicht von Hand rechnen wollen.
Aber wenn ich muesst', wuerd' ich's per Ueberlagerungsmethode machen.
also z.b. erst die Us2 durch einen Kurzschlussbuegel ersetzen und die 
interessanten Spannungen berechnen, danach Us1 durch einen Kurzschluss 
ersetzen und die interessanten Spannungen berechnen. Die Summe aus 
beiden Faellen ist's dann. Gilt fuer alle Kurvenformen und Frequenzen 
der Spannungsquellen.

Gruss
WK

[Klaus R. (klara)]

Lukas W. schrieb:
> Ich bräuchte für eine Simulation eine Formel

Für LTspice brauchst Du keine Formel.
mfg Klaus

[Lukas W. (lukas_w338)]

Hallo zusammen

Vielen Dank euch allen für eure wertvollen Beiträge. Dass das Thema 
nicht ganz einfach ist, war mir bewusst. Deshalb wollte ich ja auch die 
Profis fragen. :-)
Ich werde nun die einzelnen Lösungsvorschläge studieren und schauen, was 
für mein Problem am besten angewendet werden kann.

Nochmals vielen Dank euch allen.

Eine frohe Weihnachtszeit und bleibt gesund,
Lukas