Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP / Machine Learning Frage zu Regelungstechnik


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von Phil M. (nove_antrax)


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Hallo,

ich würde nur gerne wissen, ob eine Übertragungsfunktion mit zwei 
komplexen Polen, also die Nenner Nullstellen sind imaginär, noch 
grenzstabil oder instabil ist?

Als Beispiel: G(s) = 1/(s^2 + 2)

Liefert die Pole s1/2 = +- i*sqrt(2)

Wenn hingegen zusätzlich zu den beiden imgaginären NST's eine reale NST 
auf der linken Halbebene existiert, dann sollte der Regelkreis auf jeden 
Fall stabil sein.

Ich habe ein ähnliches Beispiel, wie oben mit nur zwei imaginären 
Nullstellen mal spaßeshalber, per Laplace-Transformation in den 
Zeitbereich transformiert, mittels Wolframalpha und die Funktion ist 
dort konvergiert, mit g(t) -> 0 für t -> oo.

Das irritiert mich, da ich im Skript auf einen Wiederspruch komme, dort 
steht, dass nur eine Nullstelle auf der imaginären Achse liegen darf, 
bei Re(0).

Würde mich über eine kurze Erklärung freuen, Danke und viele Grüße!

Edit: eigentlich sollte der Beitrag ins Forum "offtopic" weiß jetzt 
nicht wie das passieren konnte, vermutlich weil ich noch einen Tab offen 
hatte, evtl. kann das ein Mod. verschieben?

: Bearbeitet durch User
von ich (Gast)


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Der Bug wurde bei WA scheinbar schnell gefixed. Verhält sich wie zu 
erwarten.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=transfer+function+1%2F%28s%5E2%2B2%29

von Thomas B. (thomas2)


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> Wenn hingegen zusätzlich zu den beiden imgaginären NST's eine reale NST
> auf der linken Halbebene existiert, dann sollte der Regelkreis auf jeden
> Fall stabil sein.

Nein, stabil ist das System nur, wenn ALLE Pole in der offenen linken 
Halbebene liegen.

von Phil M. (nove_antrax)


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Thomas B. schrieb:
>> Wenn hingegen zusätzlich zu den beiden imgaginären NST's eine reale NST
>> auf der linken Halbebene existiert, dann sollte der Regelkreis auf jeden
>> Fall stabil sein.
>
> Nein, stabil ist das System nur, wenn ALLE Pole in der offenen linken
> Halbebene liegen.

Danke, was wird mit "offen" gemeint, heißt das egal ob real oder 
imaginär, Hauptsache auf der linken Seite?


ich schrieb:
> Der Bug wurde bei WA scheinbar schnell gefixed. Verhält sich wie zu
> erwarten.
>
> https://www.wolframalpha.com/input/?i=transfer+function+1%2F%28s%5E2%2B2%29

Also ist die Übertragungsfunktion G(s)= 1/(s^2+2) Grenzstabil? Ich tue 
mir mit dem Sonderfall "nur imaginäre Pole auf der linken Halbebene oder 
auf der i - Achse" etwas schwer.

:)

: Bearbeitet durch User
von Dieter H. (kyblord)


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Woher hast du den Begriff Grenzstabilität? Der ist eigentlich nur für 
die Zustandsraumdarstellung sinnvoll definiert. Die Stabilität der 
Übertragungsfunktion wird normalerweise über die 
E/A-Stabilität/BIBO-Stabilität definiert. Wenn du einfache Pole auf der 
imaginären Achse hast haut dir die Sprungantwort immer gegen unendlich 
ab. Das System ist nicht E/A-stabil. Die Impulsantwort ist je nachdem 
eine Konstante (einfacher Pol im Urpsprung), harmonische Schwingung 
(einfaches Polpaar auf der Imaginären Achse).

Der Begriff Zustandssatbilität macht bei Übertragungsfunktionen wenig 
Sinn, da die Zustandsraumdarstellung womöglich keine Minimalrealisierung 
darstellt und es dann beim Aufstellen der Übertragungsfunktion zu 
Pol-/Nullstellenkürzungen kommt und gewisse instabile Eigenmoden 
verschwinden.

von ich (Gast)


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Grenzstabilität ist z.B. durch ein Feder-Masse-System mit 0 Reibung 
gegeben. Es schwingt bis zur Unendlichkeit. Mit Reibung wird es stabil.

von Phil M. (nove_antrax)


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Dieter H. schrieb:
> Woher hast du den Begriff Grenzstabilität? Der ist eigentlich nur für
> die Zustandsraumdarstellung sinnvoll definiert.

Steht so im Skript und habe ich auch so schon in Regeltechnik Büchern 
gelesen.

> Die Stabilität der Übertragungsfunktion wird normalerweise über die
> E/A-Stabilität/BIBO-Stabilität definiert.

Die Phasendiagramme kenne ich auch, du meinst unter anderem das 
Nyquist-Kriterium, kann das sein?

> Wenn du einfache Pole auf der imaginären Achse hast haut dir die
> Sprungantwort immer gegen unendlich

Wie bekommt man einfache Pole auf der imaginär Achse? Ein Beispiel 
bitte.

> ab. Das System ist nicht E/A-stabil. Die Impulsantwort ist je nachdem
> eine Konstante (einfacher Pol im Urpsprung), harmonische Schwingung
> (einfaches Polpaar auf der Imaginären Achse).

Ok, das kann ich nachvollziehen.


> Der Begriff Zustandssatbilität macht bei Übertragungsfunktionen wenig
> Sinn, da die Zustandsraumdarstellung womöglich keine Minimalrealisierung
> darstellt und es dann beim Aufstellen der Übertragungsfunktion zu
> Pol-/Nullstellenkürzungen kommt und gewisse instabile Eigenmoden
> verschwinden.

Danke für die Info, das hatte ich noch nicht auf dem Schrim, wir rechnen 
das nur ein wenig theoretisch durch an weniger komplizierten Systemen.

von Thomas B. (thomas2)


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Phil M. schrieb:
>> Nein, stabil ist das System nur, wenn ALLE Pole in der offenen linken
>> Halbebene liegen.
>
> Danke, was wird mit "offen" gemeint,

"Offene linke Halbebene" heißt, dass die imaginäre Achse diese Halbebene 
zwar begrenzt, aber selbst nicht mit dazugehört. Die Pole müssen links 
von der imaginären Achse liegen, damit das System stabil ist.

> heißt das egal ob real oder imaginär, Hauptsache auf der linken Seite?

Ja. Wobei reelle Polstellen Zeitkonstanten sind, und konjugiert komplexe 
Polpaare abklingende Schwingungen.

von Phil M. (nove_antrax)


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Thomas B. schrieb:
> Phil M. schrieb:
>>> Nein, stabil ist das System nur, wenn ALLE Pole in der offenen linken
>>> Halbebene liegen.
>>
>> Danke, was wird mit "offen" gemeint,
>
> "Offene linke Halbebene" heißt, dass die imaginäre Achse diese Halbebene
> zwar begrenzt, aber selbst nicht mit dazugehört. Die Pole müssen links
> von der imaginären Achse liegen, damit das System stabil ist.
>
>> heißt das egal ob real oder imaginär, Hauptsache auf der linken Seite?
>
> Ja. Wobei reelle Polstellen Zeitkonstanten sind, und konjugiert komplexe
> Polpaare abklingende Schwingungen.

Ok hab es kapiert denke ich, danke vielmals!

von Bechtl (Gast)


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ich schrieb:
> renzstabilität ist z.B. durch ein Feder-Masse-System mit 0 Reibung
> gegeben. Es schwingt bis zur Unendlichkeit. Mit Reibung wird es stabil.

Das System ist ohne Anregung auch massefrei stabil und umgekehrt auch 
ohne Masse im Einzelfall instabil, wenn die Anregung ungünstig ist. So 
einfach ist das nicht zu bewerten.

von Walter L. (charly2)


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Deine Ü-fkt. stammt von einer Dgl. bei der der Koeff. der ersten 
Ableitung Null ist, d.b., die Dämpfung ist Null. Damit ist das ein 
Sinusgenerator, einmal angestoßen, schwingt er ewig. Das nennt man 
grenzstab. System.

von Walter L. (charly2)


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Einen Pol auf der Im.-Achse gibt es nicht. Kann man nicht erzeugen.

von Phil M. (nove_antrax)


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Walter L. schrieb:
> Einen Pol auf der Im.-Achse gibt es nicht. Kann man nicht erzeugen.

Ah stimmt, du hast recht ... die Frage wäre dann geklärt, mit zwei 
imaginären Polstellen bekomme ich ein Grenzstabiles System. Das mit dem 
Sinus hatte ich auch mit Wolframalpha herausbekommen, Danke!

: Bearbeitet durch User
von Phil M. (nove_antrax)


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Evtl. kann der Thread noch nach Offtopic verschoben werden, hatte diesen 
versehentlich in die falsche Kategorie gepostet.^^

von MaWin der erste (Gast)


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Phil M. schrieb:
> Evtl. kann der Thread noch nach Offtopic verschoben werden, hatte
> diesen
> versehentlich in die falsche Kategorie gepostet.^^

Wieso und warum?

von Phil M. (nove_antrax)


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MaWin der erste schrieb:
> Phil M. schrieb:
>> Evtl. kann der Thread noch nach Offtopic verschoben werden, hatte
>> diesen
>> versehentlich in die falsche Kategorie gepostet.^^
>
> Wieso und warum?

Ich dachte, ich wäre mit dem Thema hier in der Kategorie "Machine 
Learning" irgendwie falsch  :)

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