Laplace Transformation

[Watashi (Gast)]

Ich suche eine nicht triviale Funktion deren Laplace Transformation die 
Funktion selber ergibt. Mit nicht trivial meine ich es soll nicht die 
Null Funktion sein.

[Mr. z (Gast)]

Wie soll das gehen? Eine zeitabhängige Funktion ist nach der 
Laplace-Transformation von s abhängig.

[Watashi (Gast)]

Mr. z schrieb:
> Wie soll das gehen? Eine zeitabhängige Funktion ist nach der
> Laplace-Transformation von s abhängig.

Sie soll nur so aussehen!
Also ich habe irgendeine Funktion im Zeitbereich, irgendwo einen 
"Kringel".
Jetzt mache ich davon eine Laplace Transformation und bekomme einen 
anderen "Kringel", jetzt von s abhängig. Aber ich suche jetzt eine 
Funktion oder alle Funktionen, bei denen die "Kringel" vorher und 
nachher gleich aussehen. Bei f(t)=0 klappt das, aber das ist trivial.

[Pandur S. (jetztnicht)]

Das waere dann eine Eigenfunktion.

 L(f) = a * f

mit a dem eigenwert

Fuer die Fouriertransformation waere die Eigenfunktion die 
Gaussfunktion.

f(x) = exp(-x^2)

Bedeutet fuer die Laplace passt die sicher auch. Allenfalls gibt es noch 
mehrere

[Mr. z (Gast)]

Nee, die passt nicht:

L{e−t2}

=∫∞0e−t2−st dt

=∫∞0e−(t2+st) dt

=∫∞0e−(t2+st+s24−s24) dt

=es24∫∞0e−(t+s2)2 dt

=es24∫∞s2e−t2 dt

=π−−√2es24 erfc(s2)

[Watashi (Gast)]

Pandur S. schrieb:
> Fuer die Fouriertransformation waere die Eigenfunktion die
> Gaussfunktion.
> f(x) = exp(-x^2)
> Bedeutet fuer die Laplace passt die sicher auch.

Bin nicht sicher ob's für die Laplace auch passt. Die Laplace ist, so 
glaube ich, 0 für X < 0

Aber die Gaussfunktion hilft mir jetzt enorm weiter. Danke!

[Watashi (Gast)]

Mr. z schrieb:
> Nee, die passt nicht:
> L{e−t2}
> =∫∞0e−t2−st dt
> =∫∞0e−(t2+st) dt
> =∫∞0e−(t2+st+s24−s24) dt
> =es24∫∞0e−(t+s2)2 dt
> =es24∫∞s2e−t2 dt
> =π−−√2es24 erfc(s2)

Danke!
Ich muss mir diese erst mal Grafisch anschauen, ob da etwas für mich 
dabei ist. Vielleicht hast du diese ja auch als Grafik vorliegen?

[Watashi (Gast)]

Ich habe auf einer langen Autofahrt darüber nachgedacht und ein Beispiel 
gefunden:

Im Zeitbereich eine Folge von Dirac Impulsen, jede Sekunde einer bis 
unendlich.
Müsste doch im Frequenzbereich genauso aussehen, jedes Hertz eine Linie. 
Hab ich damit recht, oder bin ich auf dem Holzweg?

[Mr. z (Gast)]

Nein. Ein Dirac-Impuls hat ein flaches Spektrum (weisses Rauschen).

[Watashi (Gast)]

Mr. z schrieb:
> Nein. Ein Dirac-Impuls hat ein flaches Spektrum (weisses
> Rauschen).

Ne, liegst du falsch. Hast du im Zeitbereich EINEN Dirac-Impuls fangen 
alle überlagern Schwingungen bei 0° an, der cos(0°) = 1.
Die Transformierte im Frequenzbereich ist konstant 1.

Aber das ist KEIN weißes Rauschen. Beim weißen Rauschen sind die Phasen 
der ganzen Frequenzen zufallsverteilt.

Ich habe von einer äquidistanten Folge von Dirac-Impulsen gesprochen, 
die 1 Sekunde auseinander liegen.

[Mario H. (Gast)]

Ich kenne das folgende Beispiel:

Notation: Für eine Funktion f sei Ff seine Laplace-Transformation, also

$$(Lf)(s)=\int_0^\infty\mathord{\rm e}^{sx}f(x)\,\mathord{\rm d}x,\qquad s\in\mathbb C,\ \mathop{\rm Re}(s)>a$$

für ein geeignetes reelles a. Nun gilt bekanntlich (siehe auch 
einschlägige Tabellen)

$$(Lx^p)(s)=\Gamma(p+1)s^{-p-1}\quad\text{für}\mathop{\rm Re}(p)>-1.$$

Damit folgt

$$\begin{align*} L(x^{-p})(s)&=\Gamma(-p-1)s^{p-1}, &\mathop{\rm Re}(p)&<1,\\ L(x^{p-1})(s)&=\Gamma(p)s^{-p}, &\mathop{\rm Re}(p)&>0. \end{align*}$$

Definiere nun

$$f(x)=\sqrt{\Gamma(p)}x^{-p}+\sqrt{\Gamma(1-p)}x^{p-1}$$

für ein komplexes p. Wenn nun 0 < Re(p) < 1, dann folgt mit obigem, dass

$$\begin{align*} (Lf)(s)&=\sqrt{\Gamma(p)}\Gamma(-p-1)s^{p-1}+\sqrt{\Gamma(1-p)}\Gamma(p)s^{-p}\\ &=\sqrt{\Gamma(p)\Gamma(1-p)}\bigl(\sqrt{\Gamma(p)}s^{-p}+\sqrt{\Gamma(1-p)}s^{p-1}\bigr)\\ &=\sqrt{\Gamma(p)\Gamma(1-p)}f(s). \end{align*}$$

Nun muss man zeigen, dass man ein komplexes p mit 0 < Re(p) < 1 wählen 
kann, so dass Γ(p)Γ(1-p) = 1. Die Gamma-Funktion hat die Eigenschaft

$$\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin(\pi p)},$$

und das aufgelöst nach p ist

$$p=\frac{\arcsin(\pi)}{\pi}.$$

Für die komplexe arcussinus-Funktion gilt für den Hauptwert

$$\arcsin(z)=\mathord{\rm i}\cdot\log(\sqrt{1-z^2}-\mathord{\rm i}z).$$

Also

$$\begin{align*} \arcsin(\pi)&=\mathord{\rm i}\cdot\log\left(\sqrt{1-\pi^2}-\mathord{\rm i}\pi\right)\\ &=\mathord{\rm i}\cdot\log\left(\mathord{\rm i}\sqrt{\pi^2-1}-\mathord{\rm i}\pi\right)\\ &=\mathord{\rm i}\left(\log\left(\sqrt{\pi^2-1}-\pi\right)-\mathord{\rm i}\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}+\mathord{\rm i}\cdot\log\left(\sqrt{\pi^2-1}-\pi\right), \end{align*}$$

wobei der Hauptwert des komplexen Logarithmus verwendet wurde:

$$\log(\xi)=\log(\lvert\xi\rvert)+\mathord{\rm i}\arg(\xi),\quad\xi\in\mathbb C.$$

Mit der obigen Definition von p ist dann

$$p=\frac12+\frac{\mathord{\rm i}}{\pi}\log(\sqrt{\pi^2-1}-\pi),$$

und damit Re(p)=1/2, was zu zeigen war.

Das ist eigentlich ein bekanntes Beispiel. Siehe auch hier:
https://math.stackexchange.com/questions/150390/laplace-transform-identity

[Mario H. (Gast)]

Mario H. schrieb:
> Für die komplexe arcussinus-Funktion gilt für den Hauptwert
> [...]

Vorzeichenfehler. Man muss

$$\arcsin(z)=-\mathord{\rm i}\cdot\log(\sqrt{1-z^2}+\mathord{\rm i}z).$$

nehmen, dann folgt

$$\begin{align*} \arcsin(\pi)&=-\mathord{\rm i}\cdot\log\left(\sqrt{1-\pi^2}+\mathord{\rm i}\pi\right)\\ &=-\mathord{\rm i}\cdot\log\left(\mathord{\rm i}\sqrt{\pi^2-1}+\mathord{\rm i}\pi\right)\\ &=-\mathord{\rm i}\left(\log\left(\sqrt{\pi^2-1}+\pi\right)+\mathord{\rm i}\frac{\pi}{2}\right)\\ &=+\frac{\pi}{2}-\mathord{\rm i}\cdot\log\left(\sqrt{\pi^2-1}+\pi\right), \end{align*}$$

und die Sache passt.

[Carlo (Gast)]

Watashi schrieb:
> Vielleicht hast du diese ja auch als Grafik vorliegen?

:-)

https://www.analog.com/en/technical-articles/model-transfer-functions-by-applying-the-laplace-transform-in-ltspice.html