Amplitudenmodulation (AM) - Frage bzgl. Spektrum

[Leander S. (leanderbw)]

Hallo zusammen,
ich stecke gerade seit mehreren Stunden an einem Verständnisproblem 
fest.
Beispiel:

Man habe eine Trägerfrequenz (sin(.)) von 1MHz.
Multipliziert wird darauf ein Nutzsignal, welches aus einem Audiosignal 
von 0 bis 20kHz (Hörschwelle) besteht.

Transformiert man die gewichtete Sinusfunktion dann ins Frequenzspektrum 
ergibt sich definitiv ein Dirac Impuls bei der Trägerfrequenz 1MHz. 
Soweit so klar. Schaue ich mir dann mal bspw. einen niederfrequenten 
Sinus mit 20Hz als Nutzsignal, multipliziert mit dem obigen 1MHz Träger 
an, sollten sich nach Fourier einmal die 1MHz zeigen, und die Frequenz 
der Hüllkurve (hier: 20Hz).

Wenn ihr euch jetzt einmal die angehängte Skizze meiner Vorlesung 
anseht, sieht man ganz oben lediglich das Spektrum des Nutzsignals im 
Koordinatenursprung. Direkt darunter zeigt sich dann der Dirac bei der 
Trägerfrequenz. Als letztes wird das Spektrum des Nutzsignals, um die 
Trägerfrequenz nach rechts verschoben gezeigt. Genau hier liegt mein 
Verständnisproblem:
Warum liegen die Frequenzen der Seitenbänder, welche imho ja exakt die 
Frequenzen der Hüllkurve, und damit des Nutzsignals abbilden, auf einmal 
im Bereich um das hochfrequente Trägersignal?
Ich hätte (sofern ich die AM richtig verstanden habe) erwartet, dass 
sich die Frequenzen des Nutzsignals exakt so in der Hüllkurve zeigen 
sollten, und diese Seitenbänder dann ja unverändert immer noch im 
Koordinatenursprung liegen dürften...?

Ich hoffe sehr dass ihr versteht, woran ich gerade scheitere. Das lässt 
mich einfach gar nicht in Ruhe - schon seit gestern Nachmittag nicht!

Viele Grüße
Leander

[Rath Geber (Gast)]

Leander S. schrieb:
> ergibt sich definitiv ein Dirac Impuls bei der Trägerfrequenz 1MHz.

Nein. Ein Dirac Impuls ist ein Signal im Zeitbereich und hat
erst mal nichts mit einer Frequenz zu tun.

Die Transformation eines Dirac Impulses (der per Definition die
Länge Null hat) in den Frequenzbereich ergibt ein unendlich
breites (Frequenz-)Spektrum.

[Achim H. (anymouse)]

Grundsätzlich: Die Wirkung der Modulation ist es ja eben, das Nutzsignal 
komplett in den Bereich der Trägerfrequenz zu verschieben.

Über die Additions- und Produkttheoreme kann man herleiten, dass das 
Produkt von "Trägerfunktion" und "Nutzfunktion" (wie man die AM auch 
darstellen kann) identisch ist zur Summe zweier Funktionen, die um 
jeweils die Nutzfrequenz zur Trägerfrequenz verschoben sind.

[Achim H. (anymouse)]

@Rath Geber:

Nein, die mathematische Definition eines Dirac-Impulses ist erstmal 
unabhängig von Frequenz-, Zeit- oder sonstigen Modellen. Insofern kann 
man auch einen Dirac-Impulses im Frequenzbereich als 
Fouriertransformierte einer unendlich ausgedehnten Sinusschwingung im 
Zeitbereich definieren.
Um unendliche Werte zu vermeiden, beschränkt man üblicherweise auf ein 
beschränktes Intervall, häufig eine Periode.

[Versuch macht kluch (Gast)]

Leander S. schrieb:
> Warum liegen die Frequenzen der Seitenbänder, welche imho ja exakt die
> Frequenzen der Hüllkurve, und damit des Nutzsignals abbilden, auf einmal
> im Bereich um das hochfrequente Trägersignal?

Interessant, vielleicht ist das Ja nur die halbe Wahrheit.

Mach doch mal ein Experiment und schicke das AM-Signal über einen 
Hochpass mit Grenzfrequenz knapp oberhalb der NF. Falls tatsächlichd das 
Spektrum komplett verschoben wurde, sollte diese Hochpassfilterung keine 
Auswirkungen zeigen.
Anderfalls, hättest Du die geglättete HF und die Modulation wäre futsch.

[Lukas (Gast)]

Leander S. schrieb:
> Transformiert man die gewichtete Sinusfunktion dann ins Frequenzspektrum
> ergibt sich definitiv ein Dirac Impuls bei der Trägerfrequenz 1MHz.
> Soweit so klar. Schaue ich mir dann mal bspw. einen niederfrequenten
> Sinus mit 20Hz als Nutzsignal, multipliziert mit dem obigen 1MHz Träger
> an, sollten sich nach Fourier einmal die 1MHz zeigen, und die Frequenz
> der Hüllkurve (hier: 20Hz).

Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im 
Frequenzbereich. Und eine Faltung mit einem Dirac-Impuls ist eine 
Verschiebung.

[Versuch macht kluch (Gast)]

Leander S. schrieb:
> Ich hätte (sofern ich die AM richtig verstanden habe)

Eben, du hast die Amplitudenmosulation nicht richtig verstanden, weil Du 
Signaladdidtion mit Signal-überlagerung verwechselst.

Wenn du eine NF und eine HF 'addierst' (wie für eine Fourierreihe aus 
Harmonischen) bekommst du im Zeitbereich keine 'umhüllte' HF 
(AM-Mosulation), sonder ein bänderförmige HF.

Einfach mal die jeweiligen Signal per Handgeführten Stift auf ein Blatt 
Papier zeichnen und dabei aufs Handgelenk achten. Beim Zeichnen einer AM 
ändert sich die 'Wackelfrequenz' im Handgelenk kaum.

[W.S. (Gast)]

Leander S. schrieb:
> Transformiert man die gewichtete Sinusfunktion dann ins Frequenzspektrum
> ergibt sich definitiv ein Dirac Impuls bei der Trägerfrequenz 1MHz.
> Soweit so klar. Schaue ich mir dann mal bspw. einen niederfrequenten
> Sinus mit 20Hz als Nutzsignal, multipliziert mit dem obigen 1MHz Träger
> an, sollten sich nach Fourier einmal die 1MHz zeigen, und die Frequenz
> der Hüllkurve (hier: 20Hz).

Bleibe lieber zunächst auf dem realen Boden und mache deine 
Amplitudenmodulation mit der altbekannten Multiplikation. Und laß den 
Dirac-Impuls hier mal außen vor. Der ist nämlich eine Singularität und 
hier hast du es mit periodischen Signalen zu tun.

Ähem nochwas: wenn du nicht neben deiner Multiplikation auch noch eine 
Addition einer Konstanten in die Rechnung einführst, dann kriegst du 
eine Auslöschung des Trägers. Also nur die beiden Frequenzen HF+NF und 
HF-NF.

W.S.

[M. Н. (Gast)]

Hallo,

es gibt mehrere Ansätze das zu verstehen.
Das Trägersignal mit der Ffrequenz f_lo

$$x_{lo}(t) = \sin(\omega_0t)$$

wird mit dem "Nutzsignal" mit der Frequenz f_n

$$x_n(t) = \sin(\omega_nt)$$

amplitudenmoduliert.
Das Ergebnis sieht im Zeitbereich dann so aus:

$$x_{mod}(t) = (1+x_n(t))\cdot x_{lo}(t) = \sin(\omega_0t) + \sin(\omega_nt) \cdot \sin(\omega_0t)$$

Wenn man jetzt in der Formelsammlung/im Hirn nachsieht, stellt man fest, 
dass man die Multiplikation der zwei Sinus-Signale umformen kann mittels

$$\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) - \cos (x+y)\Big)$$

Das Ergebnis ist:

$$x_{mod}(t) = \sin(\omega_0t) + \frac{1}{2}\Big(\cos \left((\omega_0-\omega_n)t\right) - \cos \left((\omega_0+\omega_n)t\right)\Big)$$

Hier siehst du es jetzt. Die Trägerfrequenz bleibt im ersten Term 
vollständig erhalten, wie du bereits im Spektrum gesehen hast. Das 
Nutzsignal hat sich nun bei den Frequenzen f_lo-f_n und f_lo+f_n 
angesiedelt und somit ins Trägerband hochgemischt.


Eine andere Herangehensweise ist es, sich zu überlegen, was die 
Multiplikation im Zeitbereich im Frequenzbereich anstellt. Eine 
Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im 
Frequenzbereich.
Somit faltet man den Dirac-Puls bei der Trägerfrequenz mit dem 
Nutzsignal, was dazu führt, dass das Nutzsignal im Resultat dort im 
Frequenzbereich liegt, wo auch der Träger liegt. Vermutlich hilft diese 
Sichtweise aber nicht besonders viel, wenn man mit der 
Fouriertransformation noch nicht sattelfest ist.