Ich frage mich, ob es Zahlen aus N gibt, die bei der Division nicht
periodische endlos Zahlenfolgen liefern. 1/7 z.B. scheidet aus, die
Zahlenfolgen wiederholt sich nach 7 Ziffern.
Bei 20/19 weiß ich es nicht, mein Taschenrechner hat zuwenig Ziffern,
siehe Bild
Einfach mal anhand einfacher Beispiele die schriftliche Division mit
Komma anschauen. Irgendwann landet man immer bei einem "Rest", der schon
mal durch N geteilt wurde (Periodisch) oder bei Null und das Ergebnis
ist Rational.
LostInMusic schrieb:>>Ich frage mich, ob es Zahlen aus N gibt, die bei der Division nicht>>periodische endlos Zahlenfolgen liefern.>> Die Antwort lautet "nein".
N sind doch alle "natürlichen Zahlen" oder?
Also auch 1 und 1.
Und wenn ich 1 durch 1 dividiere dann erhalte ich 1 und keinen Rest oder
keine Nachkommastellen.
Oder verstehe ich da was falsch?
Helmut Berger schrieb:> Ich frage mich, ob es Zahlen aus N gibt, die bei der Division nicht> periodische endlos Zahlenfolgen liefern.
Und ich frage mich, was man heute so in der Grundschule lernt. Ich
lernte dort vor 4,5 Jahrzehnten, dass es bei m/n für m und n elemtent N
genau drei Möglichkeiten gibt:
1. Division geht (evtl erst nach dem Komma) auf (Beisp.: 1,25)
2. Reinperiode (Beisp.: 1,3333333...)
3. Gemischtperiode (Beisp.: 1,166666...)
Anmerkung: Grundschule geht bei uns in Berlin bis zur 6. Klasse. Also
ist meine Bemerkung zu lesen als 'was man heute so bis zur einschl. 6.
Klasse lernt...'.
;)
Helmut Berger schrieb:> Bei 20/19 weiß ich es nicht, mein Taschenrechner hat zuwenig Ziffern,> siehe Bild
20:19= mit 200 Stellen nach dem Komma.
Die Ziffernfolge wiederholt sich nach 18 Stellen.
1.
052631578947368421
052631578947368421
052631578947368421
052631578947368421
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052631578947368421
05
Helmut Berger schrieb:> Ich frage mich, ob es Zahlen aus N gibt, die bei der Division nicht> periodische endlos Zahlenfolgen liefern.
Du meinst keine Zahlenfolgen, sondern eine irrationale Zahl (als
Ergebnis).
Und m/n (mit m, n aus N, n!=0) wäre ein Bruch (eine rationale!) Zahl.
> mit 200 Stellen
200 ist fuer Sparbroetchen!
Hier mal die ersten 1000 Stellen.
Bei Bedarf kann ich weitere 999000 Stellen nachreichen!
$ bc -l
scale=1000
20/19
1.052631578947368421052631578947368421052631578947368421052631578947\
36842105263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157\
89473684210526315789473684210526315789473684210526315789473684210526\
31578947368421052631578947368421052631578947368421052631578947368421\
05263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157894736\
84210526315789473684210526315789473684210526315789473684210526315789\
47368421052631578947368421052631578947368421052631578947368421052631\
57894736842105263157894736842105263157894736842105263157894736842105\
26315789473684210526315789473684210526315789473684210526315789473684\
21052631578947368421052631578947368421052631578947368421052631578947\
36842105263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157\
89473684210526315789473684210526315789473684210526315789473684210526\
31578947368421052631578947368421052631578947368421052631578947368421\
05263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157894736\
84210526315789473684210526315789473684210526315789
Jörg R. schrieb:> Die Ziffernfolge wiederholt sich nach 18 Stellen.
Thank you very much.
Gibt's vielleicht ein
N/(N-1)
oder ein
N/M
bei der es noch länger dauert, bis die Ziffernfolge sich wiederholt?
Vielleicht so erst nach 100 Stellen?
einige Quotienten zweier Primzahlen
>Ich frage mich,
Gerade das tust du nicht weil du die Frage in ein öffentliches Forum
gepostet hast. Offensichtlich hast Du promleme selbst Deine Probleme zu
lösen, wahrscheinlicj schreibste auch in der Schule ab.
Der Kehrwert 1/802787 der Primzahl 802787 benötigt im Dualsystem mindestens 802786 Bits und im Dezimalsystem mindestens 401393 Ziffern – zu viele, um sie hier anzuzeigen.
Sollten die beiden Zahlen (Anzahl der Bits und Ziffern) nicht um den
Faktor
1
ln(10)/ln(2) = 3.3219280950…
auseinander liegen oder mache ich hier einen Denkfehler?
Helmut Berger schrieb:> bei der es noch länger dauert, bis die Ziffernfolge sich wiederholt?> Vielleicht so erst nach 100 Stellen?
riecht irgendwie nach elliptischen Kurven / Krypto.
Moin,
Irgendwann mal - koennt' vielleicht auch so 5..6 Klasse gewsesen sein -
hab' ich, mein' ich, auch mal vom Herrn Lehrer vermittelt bekommen, dass
wenn da was periodisches bei der Division 2er Ganzzahlen rauskommt, die
Periode nicht laenger sein kann als der Divisor gross ist. Fuer einen
mathematischen Beweis waren wir aber sicherlich noch zu klein.
Gruss
WK
Moin,
Norbert schrieb:> auseinander liegen oder mache ich hier einen Denkfehler?
In anderen Zahlensystemen sind andere Brueche periodisch.
Im Zweiersystem ist z.b. 0.1 (dezimal ja "voellig harmlos") periodisch
"...1100110011...". Da koennte ich mir vorstellen, dass dann deine
Umrechnung nicht passt.
Gruss
WK
>> bei der es noch länger dauert, bis die Ziffernfolge sich wiederholt?>> Vielleicht so erst nach 100 Stellen?> riecht irgendwie nach elliptischen Kurven / Krypto.
Von einem Nichtmathematiker wie mir:
Der erste Kasus gehoert zum Zahlenraum der rationalen Zahlen.
Elliptische Kurven stuetzen sich auf den wesentlich maechtigeren
reellen Zahlenraum.
Nur der endlichen Genauigkeit wegen mag es dabei nach
rationalen Zahlen aussehen...
>Und wenn ich 1 durch 1 dividiere dann erhalte ich 1 und keinen Rest oder>keine Nachkommastellen.
Ja, natürlich. Das dürfte dem TO aber ohnehin klar gewesen sein. Deshalb
nahm ich an, dass er eigentlich etwas anderes wissen möchte, nämlich, ob
ein Quotient m/n mit natürlichen Zahlen m, n eine Zahl sein kann, die in
ihrer Dezimaldarstellung sowohl nichtabbrechend als auch nichtperiodisch
ist. Alles andere ergibt kaum Sinn. Aber zugegeben: Man könnte es als
Uminterpretation der Frage des TO bezeichnen. Hätte vllt schreiben
sollen: "Wenn Deine Frage so gemeint ist [...Erläuterung im obigen
Sinn...], dann lautet die Antwort "nein".
Dergute W. schrieb:> In anderen Zahlensystemen sind andere Brueche periodisch.> Im Zweiersystem ist z.b. 0.1 (dezimal ja "voellig harmlos") periodisch> "...1100110011...". Da koennte ich mir vorstellen, dass dann deine> Umrechnung nicht passt.
Das ist ein interessanter Gedanke, muss ich mal testen.
Helmut Berger schrieb:> Ich frage mich, ob es Zahlen aus N gibt, die bei der Division nicht> periodische endlos Zahlenfolgen liefern
Nein, Zahlen der Form a/b mit (a und b als natürliche Zahlen), sind
rationale Zahlen, und die sind immer periodisch.
Was Du suchst sind irrationale Zahlen. Die haben keine periodische
Ziffernfolge, aber haben dafür unendlich viele Nachkommastellen.
Weil aber irrationale Zahlen unendlich viele Stellen ohne Periode haben,
können sie eben nicht durch einen Bruch aus natürlichen Zahlen
dargestellt werden.
Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind z.b. Pi, e, oder die
Wurzel aus 2. Diese Zahlen liegen in den "Zwischenräumen" von rationalen
Zahlen, auch wenn es unendlich viele rationalen Zahlen gibt und diese
"Zwischenräume" demzufolge sozusagen unendlich klein sind. Und trotzdem
ist dort Platz für diese irrationalen Biester.
Spannend, oder?
Ich vermute auch, dass bei allen Operationen der vier Grundrechenarten
immer nur rationale Zahlen herauskommen. Für Wurzel und andere höhere
Funktionen gilt das nicht mehr. Pi e und Wurzel2 wurden genannt, der
Goldene Schnitt ist auch eine Wurzel.
https://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Wurzel 5
Dat kann man doch nicht unabhängig vom Zahlensystem resp. dessen Basis
betrachten. schom im Binärsystem, in dem man bekanntlich auch Natürliche
Zahlen wie deren Quotienten darstellen kann, kommt man zu nicht
periodischen Fliesskommazahlen.
> Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind z.b. Pi, e, oder die> Wurzel aus 2.
Irrational und oder transzedente Zahl ?
https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl
--
BTW:
es ist bewiesen das die summe aller Reziproke der Fermat-Zahlen
irrational ist (Solomon W. Golomb, 1963).
Da sich diese Summe auch als Quotient zweier natürlicher Zahlen
darstellen lässt wäre das schonmal ein gegenbeispiel für die These des
TO.
Norbert schrieb:> Alois schrieb:>> https://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl#Dezimalbruchentwicklung (!)>> liefert dir nochmals die Antwort.>> Ich klicke ja gerne mal auf Verweise wenn sie auf Wikipedia zeigen.> Diesmal musste ich aber das hier finden:> Der Kehrwert 1/802787 der> Primzahl 802787 benötigt im Dualsystem mindestens 802786 Bits und im> Dezimalsystem mindestens 401393 Ziffern – zu viele, um sie hier> anzuzeigen.
Hat damit nichts zu tun. Ob und wie Du das darstellen willst ist
zweitrangig. Im 2er- oder 10er-System kann die Darstellung durchaus
sportlich werden, dagegen wird dies im 802787er-System ziemlich einfach.
Aber egal wie, ein Bruch führt immer auf eine rationale Zahl. Bei
irrationalen Zahlen sieht das anders aus. Dieser kleine aber feine
Unterschied erklärt aber auch die Eingangs-Frage des TO...
Christoph db1uq K. schrieb:> Ich vermute auch, dass bei allen Operationen der vier> Grundrechenarten
Das hat nicht nur was mit der Rechenart zu tun, sondern auch mit den
verwendeten Zahlen.
Pi ist das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreise.
Das wird durch Division (eine der vier Grundrechenarten) gemacht.
M.A. S. schrieb:> Anmerkung: Grundschule geht bei uns in Berlin bis zur 6. Klasse. Also> ist meine Bemerkung zu lesen als 'was man heute so bis zur einschl. 6.> Klasse lernt...'.
Ja nur könnt ihr nach 6 Jahren Grundschule nicht mal das was man in BW
nach 4 Jahren kann. Und den 6. Klässler will ich sehen der irgendwas
davon versteht was du hier als Grundschulstoff postulierst. Und falls es
den gibt, kommt der sicher nicht aus Berlin.
>Diese Zahlen liegen in den "Zwischenräumen" von rationalen Zahlen
Wobei das keinesfalls so verstanden werden darf, dass man eine Abfolge
der Art
... rationale Zahl, irrationale Z., rationale Z., irrationale Z., ...
irgendwann auf dem Zahlenstrahl sehen könnte, nachdem man nur tief genug
in diesen hineingezoomt hätte. Eine solche Vorstellung wäre grundfalsch.
Richtig ist: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer
(mindestens) eine irrationale Zahl und auch umgekehrt. Noch richtiger
ist: Zwischen zwei voneinander verschiedenen (aber anstonsten völlig
beliebig wählbaren) Zahlen a, b liegen stets unendlich viele rationale
wie irrationale Zahlen - egal, wie weit oder eng a und b
beieinanderliegen. Der "Level der Ineinandervermischtheit" der
rationalen und irrationalen Zahlen ist auf jeder Zoomstufe identisch,
nämlich unendlich groß.
So weit so gut, aber der wirklich verrückte Aspekt kommt erst noch: Es
gibt beweisbar unendlich viel mehr irrationale als rationale Zahlen! Das
deshalb, weil die rationalen Zahlen abzählbar sind (N, Z und Q haben
dieselbe Mächtigkeit), die irrationalen aber überabzählbar. Das ist das
eigentlich Kontraintuitive an der Sache.
>Aber egal wie, ein Bruch führt immer auf eine rationale Zahl.
Zumindest ein Bruch mit rationalem Zähler und rationalem (plus von Null
verschiedenem) Nenner.
Cyblord -. schrieb:> Und den 6. Klässler will ich sehen der irgendwas> davon versteht was du hier als Grundschulstoff postulierst.
Da hast Du recht, man lernt in den frühen Schuljahren in Mathematik
vieles, das man nicht versteht. Das Verstehen kommt (wenn überhaupt)
später.
Ich schrieb von meiner mittlerweile vier Jahrzehnte zurückliegenden
Schulzeit. was heute genau abläuft, will ich nicht beurteilen.
Damals war es so, dass es schlechte aber auch verdammt gute Lehrer gab,
ich hatte das glück, einen von der letzteren Sorte zu erwischen. Und ja,
das in Berlin! Ich gehe davon aus, dass das heute genaus so ist (und
nein: nicht nur in Berlin).
Cyblord -. schrieb:> Und falls es den gibt, kommt der sicher nicht aus Berlin.
Die Schüler sind und waren verschieden, es gibt auch in Berlin sehr gute
(und mir Sicherheit woanders auch weniger gute).
Cyblord -. schrieb:> Ja nur könnt ihr nach 6 Jahren Grundschule nicht mal das was man in BW> nach 4 Jahren kann.
Die letzten beiden obenstehenden Behauptungen Deinerseits sind die Art
von Unverschämtheiten, wie man sie von Dir sehr oft liest und die man
nur entschieden zurückweisen kann.
Einen schönen Tag Dir!
Helmut Berger schrieb:> Ich frage mich, ob es Zahlen aus N gibt, die bei der Division nicht> periodische endlos Zahlenfolgen liefern.
Und wenn du die Lösung erfährst, geht dir dann einer ab?
Cyblord -. schrieb:> Und den 6. Klässler will ich sehen der irgendwas davon versteht was du> hier als Grundschulstoff postulierst.
Du weißt doch, wo Du hier bist und dass unsere alten Hasen auch alles
mühsam lernen mussten, aber selbständig und deutlich vor dem
Zahnwechsel.
M.A. S. schrieb:>> Ja nur könnt ihr nach 6 Jahren Grundschule nicht mal das was man in BW>> nach 4 Jahren kann.> Die letzten beiden obenstehenden Behauptungen Deinerseits sind die Art> von Unverschämtheiten, wie man sie von Dir sehr oft liest und die man> nur entschieden zurückweisen kann.
Willst du jetzt ernsthaft abstreiten dass die Schulabschlüsse überall im
Norden (der fängt bei uns ab inkl. Hessen an), der Witz mit Anlauf sind?
Schon mal die Aufgaben verglichen?
Cyblord -. schrieb:> Willst du jetzt ernsthaft abstreiten dass die Schulabschlüsse überall im> Norden (der fängt bei uns ab inkl. Hessen an), der Witz mit Anlauf sind?
Dann müssen zB die Niedersachsen extrem doof sein, denn die hatten 2020
eine Abiturientenquote von gut 11 %. BaWü lag mit 40,9 % ganz knapp vor
Bremen mit 40,8 %. Ist es das, was Du mitteilen möchtest?
Cyblord -. schrieb:> Die Quoten sagen gar nichts aus.
Ich habe den Eindruck, dass dies in der Pilitik deutlich anders gesehen
wird. Dort wird afair eine bundesweite Abiquote von 50 % angestrebt,
was wiederum die Exekutive aka Schulbehörden veranlassen könnte, die
Messlatte so lsnge tieger zu legen, bis die Quote erfüllt werden kann.
Mir ist weitgehend unverständlich, warum eine Bevölkerung angestrebt
wird, die mindestens zur Hälfte einen wesentlichen Zeit ihrer Jugend
darauf verwandt hat, eine Hochschulreife zu erlangen, von der ein großer
Teil niemals Gebrauch machen wird. MINT-Unterricht kann auch an
Berufsschulen abgehalten werden ...
Das Ergebnis sind seit langen Jahren verzweifelte Hochschullehrer, die
für Studienanfänger schamhaft "Einführungsversnstaltung" genannte
Propädeutiken anbieten, in denen zunächst einmal der Jahrgang auf
Abireife getrimmt werden soll. Eigentlich könnte man stattdessen gleich
eine zweite Oberstufe, diesmal an der Uni, einführen. Hauptsache, die
erwerbstätige Lebensarbeitszeit steigt nicht deutlich über 30 Jahre,
trotz Rente mit 75.
Dergute W. schrieb:> die> Periode nicht laenger sein kann als der Divisor gross ist. Fuer einen> mathematischen Beweis waren wir aber sicherlich noch zu klein.
Bei einer schriftlichen Division durch 19 hat man, sobald man die
Nachkommastellen erreicht, immer eine Zahl zwischen 0 und 180, die man
dann untersucht, wie oft die 19 reinpasst (0..9 Mal) und welcher Rest
bleibt (0..18)
Dieser Rest ist entweder 0 (dann ist man fertig) oder 1..18, dann, dann
geht es weiter mit einer neuen 0.
Es gibt also nur 18 verschiedene "Reste". Sobald ein Rest das zweite Mal
kommt, wiederholt sich die Periode. Nach spätestens 18 verschiedenen
Resten, wird der nächste eine Wiederholung sein.
Percy N. schrieb:> Ich habe den Eindruck, dass dies in der Pilitik deutlich anders gesehen> wird. Dort wird afair eine bundesweite Abiquote von 50 % angestrebt,
Ergänzung:
Die Studienanfängerquote liegt laut statista seit 2011 deutlich über 50
%, wobei sich diese Quote nicht etwa auf die
Hochschulzugangsberechtigten eines Jahrgangs bezieht, sondern alle
Angehörigen der Kohorte:
https://de.statista.com/statistik/daten/studie/72005/umfrage/entwicklung-der-studienanfaengerquote/
Wenn man davon ausgeht, dass ein Drittel davon noch vorxddm Abschluss
als Bachelor abbricht: wo sollen die absolvierenden 33 % eines jeden
Jahrgangs tätig werden, selbst wenn Berufe wie Erzieher, Krankenpfleger
oder MTA akademisiert werden?
Helmut Berger schrieb:> Jörg R. schrieb:> Gibt's vielleicht ein N/(N-1) oder ein N/M bei der es noch länger dauert,> bis die Ziffernfolge sich wiederholt?> Vielleicht so erst nach 100 Stellen?
Solche Zahlen kann man sich ganz einfach selber basteln:
hat im Stellenwertsystem zur Basis B offenbar periodische Darstellung
mit Periode n. Indem man q um n Stellen nach links schiebt und
davon q abzieht, erhält man eine Zahl mit abbrechender Entwicklung:
Daher hat
zur Basis B eine Darstellung mit Periode n. Zum Beispiel hat
1000/999 im Dezimalsystem Periode 3, und 100000/99999 hat Periode 5, und
Screenshot_20220329-223543.jpg
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