Quadratischer Temperaturkoeffizient berechnen

Lüdenberger Markus schrieb:
> ich habe einen Widerstand bei 3 T_1 = 0°C, T_2 = 50°C und T_3 = 100°C
> vermessen.

Suchst du eine mathematisch formschöne Beschreibung oder reicht auch 
eine simple nummerische Lösung?

Hoffe so passt es :D

$$\beta = \frac{\Delta T_{31}*[T_1*(R_3-R_2)+T_2*(R_1-R_3)+T_3*(R_2-R_1)]}{\Delta T_{31}*[T_1*(R_3-R_2)+T_2*(R_1-R_3)+T_3*(R_2-R_1)]+T_1^2*(R_2-R_3)+T_2^2 *(R_3-R_1)+T_3^2*(R_1-R_2)}$$

Wolfgang schrieb:
> Suchst du eine mathematisch formschöne Beschreibung oder reicht auch
> eine simple nummerische Lösung?

Ich hätte die Beziehung eigentlich analytisch aus der Taylorreihe der 
Temperaturabhängigkeit von Widerständen hergeleitet, die nach dem 
quadratischen Term abgebrochen wurde.

Aus
R(T) = R1*(1+a*(T-T1)+b*(T-T1)^2)

hätte ich ein Gleichungssystem mit T1,T2, T3 und den zugehörigen 
Widerstandswerten, dann nach alpha und beta aufgelöst. Aber eine 
numerische Lösung würde ich auch nicht ausschlagen :)

Markus L schrieb:

> Ich hätte die Beziehung eigentlich analytisch aus der
> Taylorreihe der Temperaturabhängigkeit von Widerständen
> hergeleitet, die nach dem quadratischen Term abgebrochen
> wurde.
>
> Aus
> R(T) = R1*(1+a*(T-T1)+b*(T-T1)^2)
>
> hätte ich ein Gleichungssystem mit T1,T2, T3 und den
> zugehörigen Widerstandswerten, dann nach alpha und beta
> aufgelöst. Aber eine numerische Lösung würde ich auch
> nicht ausschlagen :)

Das gibt für mich keinen Sinn, weil das m.E. doppelt
gemoppelt ist.

ENTWEDER Du hast schon eine analytische Beschreibung
der Abhängigkeit R(T), dann kannst Du Dir einen
Entwicklungspunkt suchen (bei Dir ist vermutlich T2 am
sinnvollsten) und über die TAYLOR-Reihe alpha und beta
bestimmen -- ODER Du hast die drei Messpunkte und
interpolierst die mit einer Parabel und einem 3x3-LGS,
so wie von Dir angegeben.

Bei beiden Methoden werden unterschiedliche Koeffizienten
herauskommen, weil das eine eben eine Approximation im
quadratischen Mittel ist und das andere eine Interpolation.
Letztere trifft die Stützstellen exakt, wenn Du richtig
gerechnet hast.

Stichwort: Steinhart-Hart-Gleichung

Egon D. schrieb:
> Bei beiden Methoden werden unterschiedliche Koeffizienten
> herauskommen, weil das eine eben eine Approximation im
> quadratischen Mittel ist und das andere eine Interpolation.
> Letztere trifft die Stützstellen exakt, wenn Du richtig
> gerechnet hast.

Bei 3 Messpunkten und einer Funktion 2. Ordnung gibt es da nicht viele 
Möglichkeiten für verschiedene Lösungen - durch zwei Punkte wird eine 
Gerade eindeutig definiert, durch drei eine Parabel.

Wolfgang schrieb:
> Bei 3 Messpunkten und einer Funktion 2. Ordnung gibt es da nicht viele
> Möglichkeiten für verschiedene Lösungen

Genau genommen gibt es nur eine...

Das Ganze ist ja ansich nicht so schwer und nur ein Gleichungssystem aus 
drei Gleichungen und drei unbekannten.

$$R(T) = \alpha T^2 + \beta T + \gamma$$

Da setzt man jetzt seine drei Punkte ein:

$$R_1 = \alpha T_1^2 + \beta T_1 + \gamma$$

$$R_2 = \alpha T_2^2 + \beta T_2 + \gamma$$

$$R_3 = \alpha T_3^2 + \beta T_3 + \gamma$$

Das System kann man jetzt auf verschiedenen Wegen lösen. Eine Methode 
ist die Cramersche Regel:

$$\underline{\underline{A}} = \begin{pmatrix} T_1^2 & T_1 & 1\\ T_2^2 & T_2 & 1\\ T_3^2 & T_3 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\underline{\underline{A}}_\alpha = \begin{pmatrix} R_1 & T_1 & 1\\ R_2 & T_2 & 1\\ R_3 & T_3 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\underline{\underline{A}}_\beta = \begin{pmatrix} T_1^2 & R_1 & 1\\ T_2^2 & R_2 & 1\\ T_3^2 & R_3 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\underline{\underline{A}}_\gamma = \begin{pmatrix} T_1^2 & T_1 & R_1\\ T_2^2 & T_2 & R_2\\ T_3^2 & T_3 & R_3 \end{pmatrix}$$

Die Koeffizienten berechnen sich dann zu

$$\alpha = \frac{\det\left(\underline{\underline{A}}_\alpha\right)}{\det\left(\underline{\underline{A}}\right)}$$

$$\beta= \frac{\det\left(\underline{\underline{A}}_\beta\right)}{\det\left(\underline{\underline{A}}\right)}$$

$$\gamma= \frac{\det\left(\underline{\underline{A}}_\gamma\right)}{\det\left(\underline{\underline{A}}\right)}$$

Die Determinanten kann man in dieser Form jetzt einmal ziehen (Da hatte 
ich keine Lust drauf). Das macht entweder die Sarrus-Regel oder 
Wolfram-Alpha für dich.