Anwendbarkeit von Divergenz

[B-Feld (Gast)]

Ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch bezüglich der Divergenz.
In meinem Mathe Skript wird die Divergenz wie folgt "definiert":

f : IR^n → IR, x = (x1, ..., xn) ∈ IR^n

∇ · f(x) = Summe(i=1, bis n) (∂f_i/∂x_i)(x)

Nun habe ich aber in einem Physikbuch gelesen, dass die Divergenz nur 
auf Vektoren angewendet werden darf.
Darf ich dann überhaupt wie oben definiert auf eine Funktion die ins 
IR^1 geht die Divergenz bilden?

Sorry für diese Formatierung, aber der Latex-Editor auf dieser Website 
funktioniert überhaupt nicht.

[Walter T. (nicolas)]

Klar. Bei einem Skalarfeld wird aus der Divergenz einfach eine 
Ableitung.

Aber: Hier handelt es sich um eine vektorwertige Skalarfunktion. IR^n -> 
IR

[B-Feld (Gast)]

Hier steht auch,dass man es angeblich nicht darf:

https://www.matheboard.de/archive/547699/thread.html

[Mario H. (rf-messkopf)]

B-Feld schrieb:
> Ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch bezüglich der Divergenz.
> In meinem Mathe Skript wird die Divergenz wie folgt "definiert":
>
> f : IR^n → IR, x = (x1, ..., xn) ∈ IR^n
>
> ∇ · f(x) = Summe(i=1, bis n) (∂f_i/∂x_i)(x)

Sicher, dass das da steht? Die übliche Definition ist: Sei

$$f:\mathbb R^n\longrightarrow\mathbb R^n$$

ein differenzierbares Vektorfeld. Dann ist die Divergenz von f an der 
Stelle x gegeben durch

$$(\mathop{\rm div}f)(x)=(\nabla\cdot f)(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f(x)}{\partial x_n},\quad x\in\mathbb R^n.$$

Es braucht also ein Vektorfeld, d.h. eine Abbildung von R^n nach R^n.

[Walter T. (nicolas)]

B-Feld schrieb:
> Hier steht auch,dass man es angeblich nicht darf:

Ja. Ist aber falsch. Das Skalarprodukt ist für ein Skalarfeld 
wohldefiniert. Eine Rotation ist undefiniert.

Aber: Ich kenne keine Anwendung. Die Anwendung ist also zwar definiert, 
aber wahrscheinlich falsch.

[Mario H. (rf-messkopf)]

Mario H. schrieb:
> ein differenzierbares Vektorfeld. Dann ist die Divergenz von f an der
> Stelle x gegeben durch

Das muss natürlich

$$(\mathop{\rm div}f)(x)=(\nabla\cdot f)(x)=\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f_n(x)}{\partial x_n},\quad x\in\mathbb R^n.$$

 heißen. Mit f=(f_1,...,f_n) den Komponentenfunktionen von f.

[B-Feld (Gast)]

Ja mir ist nur ein kleiner Fehler unterlaufen dort steht statt 
(∂f_i/∂x_i)(x) -> (∂f/∂x_i)(x).

Jetzt nochmal eine Beispiel zum Verständnis

wenn f eine Funktion vom R^3 ins R^1 ist und wie folgt definiert ist:
f(x,y,z) = x + y + z

Ist dann div(f) erlaubt oder nicht?
Anscheinend nicht, das es ja nicht vom R^n in den R^n geht oder?

Eine Funktion vom R^1 -> R^1 wäre es dann doch erlaubt aber wäre dann ja 
die "ganz normale Ableitung" oder?

(Übrigens, genau so wie du die Divergenz definierst ist es auch in 
meinem Physikbuch auch definiert.)

[Mario H. (rf-messkopf)]

Walter T. schrieb:
>> Hier steht auch,dass man es angeblich nicht darf:
>
> Ja. Ist aber falsch. Das Skalarprodukt ist für ein Skalarfeld
> wohldefiniert. Eine Rotation ist undefiniert.

Der Begriff Divergenz erfordert per Definitionem ein Vektorfeld, d.h. 
eine Abbildung f:R^n --> R^n.

Sicher kann man für f:R^n --> R etwas wie

$$\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}$$

definieren. Das hat mit der Divergenz eines Vektorfeldes aber nichts 
mehr zu tun. Insbesondere hat eine solche Größe nicht die Eigenschaften 
einer Divergenz, wie z.B. dass der Gaußsche Satz gilt.

Ebenso sollte man sich klar machen, dass

$$(\mathop{\rm div}f)(x)=\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f_n(x)}{\partial x_n},\quad x\in\mathbb R^n.$$

nur eine Darstellung der Divergenz ist, namentlich in kartesischen 
Koordinaten. Das zugrundeliegende Konzept ist aber davon unabhängig. 
Mathematiker bevorzugen daher koordinatenfreie Formulierungen, z.B. als 
Differentialform.

B-Feld schrieb:
> wenn f eine Funktion vom R^3 ins R^1 ist und wie folgt definiert ist:
> f(x,y,z) = x + y + z
>
> Ist dann div(f) erlaubt oder nicht?

Siehe oben.

B-Feld schrieb:
> Eine Funktion vom R^1 -> R^1 wäre es dann doch erlaubt aber wäre dann ja
> die "ganz normale Ableitung" oder?

Formal ja. Da würde man aber eher nicht von Divergenz sprechen.