Über die Irrationalität der Wurzel von Zwei

[T. E. (Gast)]

Wir wissen, dass die Gleichung

c²=a²+b²

zwei Lösungen für c hat.
Kanonisch lauten diese

±c=±√(a²+b²)

und sind im Allgemeinen irrational.
Rational ist allerdings vielmehr die Akzeptanz eines Paares

(c₁+c₂)/2=√(a²+b²)

mit c₁=c-dx und c₂=c+dx wobei c und dx ∈ ℝ, dagegen a, b, c₁ und c₂ ∈ ℚ.

Welches dx erfüllt diese Kriterien?

Zur Veranschaulichung sei ein Quadrat 4x4

xxxx
xxxx
xxxx
xxxx

entlang der Diagonale durchschnitten.

xxx x
xx xx
x xxx
 xxxx

Im Gegensatz zu einem pythagoräischen Rechteck 3x4,

xxxx
xxxx
xxxx

ebenso behandelt,

xxx x
xx xx
x xxx

ergeben sich zwei unterschiedlich große Körper. Ein schönes Beispiel zur 
Veranschaulichung dessen, dass die Frage nach der Diagonale eines 
Quadrates tatsächlich nicht rational ist.

Euer T. E.

[J. S. (engineer)]

T. E. schrieb:
> entlang der Diagonale durchschnitten.

Deine Veranschaulichung hinkt etwas, denn SO hast du das nicht in der 
Mitte diagonal geteilt. Du müsstest in der Mitte der diagonal liegenden 
Sterne teilen und nicht von vorn herein einen davon in das Dreieck re-un 
einordnen und dann später den anderen Stern li-oben ignorieren.

T. E. schrieb:
> Im Gegensatz zu einem pythagoräischen Rechteck 3x4,
Das ist ebenso falsch gemalt, weil du einen 45°-Winkel durchziehst, 
statt die korrekte Steigung 3/4.

Du malst also nur irrational :-)

[T. E. (Gast)]

Jürgen S. schrieb:
> T. E. schrieb:
>> entlang der Diagonale durchschnitten.
>
> Deine Veranschaulichung hinkt etwas, denn SO hast du das nicht in der
> Mitte diagonal geteilt. Du müsstest in der Mitte der diagonal liegenden
> Sterne teilen und nicht von vorn herein einen davon in das Dreieck re-un
> einordnen und dann später den anderen Stern li-oben ignorieren.

Du vermeidest den Begriff Punkte, wenn auch wohl unbewusst.

Am Beispiel eines dünnen Bleches wird das Problem ersichtlich. Für 
unsere Blechscheren sind Atome immernoch unteilbar, Späne fallen auch 
keine an. Es wären also c₁ und c₂ die Hypotenusen der resultierenden 
Dreiecke, c dagegen die Diagonale des ursprünglichen Quadrats.

Jürgen S. schrieb:
> T. E. schrieb:
>> Im Gegensatz zu einem pythagoräischen Rechteck 3x4,
> Das ist ebenso falsch gemalt, weil du einen 45°-Winkel durchziehst,
> statt die korrekte Steigung 3/4.

Dem muss ich entschieden widersprechen, da dieser Eindruck allein der 
Kompaktheit der Darstellung geschuldet ist. Größer gezeichnet wäre das 
eher zu ersehen, hier habe ich mich jedoch für die leichtere 
Abzählbarkeit entschieden
und bitte das zu berücksichtigen. Dazu muss auch noch angemerkt werden, 
dass es die selbe Problemstellung auch mit Blick auf die Winkel gibt – 
was hier zwar zur Geltung kommt – jedoch zu weit führen würde.

[Rezy (Gast)]

Interessanter Ansatz. Das gilt aber tatsächlich nur, wenn - wie du schon 
geschrieben hast - a, b rational sind. Nimmt man für das Quadrat auch 
mögliche reelle Kantenlängen an, gilt dieser Satz aber genau genommen 
nicht mehr:

T. E. schrieb:
> Ein schönes Beispiel zur
> Veranschaulichung dessen, dass die Frage nach der Diagonale eines
> Quadrates tatsächlich nicht rational ist.

Trotzdem, schönes Beispiel.

[Thomas F. (Gast)]

Darf man fragen, wozu das nutzbar sein soll? Was ist die Intention hier 
diesem Ansatz?

[Heiner (Gast)]

Thomas F. schrieb:
> Darf man fragen, wozu das nutzbar sein soll? Was ist die Intention hier
> diesem Ansatz?

Dies ist ein sogenannter Troll-Ansatz. die Intention ist, dass Leute 
darauf eingehen und nicht merken, dass sie veräppelt werden.

lg. Heiner

[rbx (Gast)]

Heiner schrieb:
> Dies ist ein sogenannter Troll-Ansatz. die Intention ist, dass Leute
> darauf eingehen und nicht merken, dass sie veräppelt werden.

Manchmal kann man aber auch Fachidiotie annehmen..

https://praxistipps.chip.de/word-so-bekommen-sie-karierte-blaetter_32803

Oder eben was auf Karopapier aufmalen und dann scannen, oder 
fotografieren. Soll heutzutage auch nicht unmöglich sein.

[Dieter (Gast)]

Thomas F. schrieb:
> Was ist die Intention hier diesem Ansatz?

Quadrat kann beliebig gross werden, trotzdem geht es nie auf.

[Achim H. (anymouse)]

T. E. schrieb:
> Rational ist allerdings vielmehr die Akzeptanz eines Paares
> (c₁+c₂)/2=√(a²+b²)
> mit c₁=c-dx und c₂=c+dx wobei c und dx ∈ ℝ, dagegen a, b, c₁ und c₂ ∈ ℚ.

Das funktioniert nicht immer, und ist daher falsch.

Gegenbeispiel:
a = b = 2
√( 2^2 + 2^2 ) = 2 * √2

Gesucht wäre dann also ein Paar (c₁, c₂), dessen Summe √2 ist.
Da aber ℚ als Gruppe abgeschlossen ist, ist die Summe von c₁ und c₂ auch 
immer in ℚ. Es würde also ein Wert in ℚ gesucht, dessen Quadrat 2 ist. 
Dies ist bekanntermaßen nicht erfüllbar.