Forum: PC-Programmierung Aperiodische Parkettierung ENDLOS drucken?


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von Frank (Gast)



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Moin!

Ich beschäftige mich mit Penrose Parkettierungen und würde in dem 
Zusammenhang gerne wissen, ob es möglich ist, dass ein Drucker oder eine 
Häkelmaschine oder sonst ein Gerät ein endloses Muster erzeugt, ohne 
dass es sich wiederholt (Rapport) und ohne dass man vorher genau weiß, 
wie es gleich weitergeht? Man müsste doch "nur" ein Programm schreiben, 
das den Drucker ständig mit neuen Informationen füttert, oder? Es gibt 
also keine vorbereitete fertige Datei.

Ich glaube, dass darin großes Potential steckt und dass sich das 
Penrose-Muster, bzw. das Prinzip der aperiodischen Parkettierung hierzu 
gut eignet.
Ich denke an Stoffballen, Teppiche, Tapeten, Akustikpaneele, 
Lärmschutzwände, etc., die sowohl optisch ansprechend als auch 
physikalisch günstig sind. Ich habe von einem Patent für Reflektoren 
gelesen, die auf Penrose-Mustern basieren, da somit das Licht 
gleichmäßiger gebrochen wird.

Was sind Eure Gedanken? Ich bin gespannt, was Ihr davon haltet.

Viele Grüße
Frank

von yesitsme (Gast)


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Hmm... Tapeten... Die Wand ist 2.5m hoch und die Rolle ist 70cm breit. 
Das muss irgendwie vernünftig ansetzt werden können. Bei sich nicht 
wiederholenden Mustern dürfte das schwierig werden.

von PittyJ (Gast)


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Frank schrieb:
> Moin!
>
> Ich beschäftige mich mit Penrose Parkettierungen und würde in dem
> Zusammenhang gerne wissen, ob es möglich ist, dass ein Drucker oder eine
> Häkelmaschine oder sonst ein Gerät ein endloses Muster erzeugt, ohne
> dass es sich wiederholt (Rapport) und ohne dass man vorher genau weiß,
> wie es gleich weitergeht?

Damals in den 80ern gab es Drucker mit Endlospapier. OK, waren nur 2000 
Seiten, aber das ist schon sehr lang. Vielleicht gibt es noch welche bei 
Ebay.
Und als Muster einfach den aktuellen Dax Kurs ausgeben. Da wiederholt 
sich nichts, und man weiss nie, wie es weiter geht.

Ich war früher mal im Textildruck Bereich. Und da werden die Muster über 
Druckwalzen gedruckt. Ein Rapport ist da zwingend notwendig.
Bei Tapeten war es ähnlich.

von Oliver S. (oliverso)


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Frank schrieb:
> Man müsste doch "nur" ein Programm schreiben,
> das den Drucker ständig mit neuen Informationen füttert, oder? Es gibt
> also keine vorbereitete fertige Datei.

So ist es. Klingt jetzt nicht nach Raketenwissenschaft.

Allerdings wird es für jede Anwendung eine Länge geben, ab der rein 
praktisch eine Wiederholung dann doch keine Rolle mehr spielt. Ob es 
daher für den jeweilig Anwendungsfall nicht doch besser ist, das Muster 
erst komplett zu berechnen, oder in Echtzeit während der Ausgabe zu 
erzeugen, kommt halt darauf an.

Oliver

von Georg (Gast)


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PittyJ schrieb:
> OK, waren nur 2000
> Seiten, aber das ist schon sehr lang

Das ist ja nur eine Frage des Vorratsbehälters, man könnte auch 
tonnenschwere Papierrollen in den Drucker füttern. Hält man den Drucker 
an, kann man weiteres Papier ankleben. Aber das gilt ja nur für eine 
Richtung, quer dazu ist es nur die Breite des Druckwerks. Es hindert 
aber niemand den TO eine zweite Bahn auf die gleiche Weise zu drucken, 
die man seitlich dran kleben kann, usw. das ist ja nur eine Frage der 
Software.

Unendlich gibt es in der Technik nicht, aber eben so gross wie man es zu 
brauchen glaubt. Im voraus berechnen ist völlig unnötig.

Georg

von thomas (Gast)


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Frank schrieb:
> Ich beschäftige mich mit Penrose Parkettierungen und würde in dem
> Zusammenhang gerne wissen, ob es möglich ist, dass ein Drucker oder eine
> Häkelmaschine oder sonst ein Gerät ein endloses Muster erzeugt, ohne
> dass es sich wiederholt (Rapport) und ohne dass man vorher genau weiß,
> wie es gleich weitergeht? Man müsste doch "nur" ein Programm schreiben,
> das den Drucker ständig mit neuen Informationen füttert, oder? Es gibt
> also keine vorbereitete fertige Datei.

Tschuldigung, der kommt flach: In der Tat es gibt (gab es mal) so "ein 
Gerät (dass) ein endloses Muster erzeugt, ohne dass es sich wiederholt 
(...) und ohne dass man vorher genau weiß, wie es gleich weitergeht". 
Das Gerät, an das ich mich vage erinnere, war ein ziemlicher Klotz in 
netter Holzverkleidung. Mein Eltern hatten sogar eine von den Kisten im 
Wohnzimmer stehen. Gegen Mitternacht hat das Gerät, nachdem es ein 
Muster zeigte, das man als Schriftzug "Sendeschluss" interpretieren 
konnte, so ich damals schon hätte lesen können, und das genau dies tat, 
ein endloses Muster erzeugen, ohne dass es sich wiederholt und ohne dass 
man vorher genau weiß, wie es gleich weitergeht.

Okay, und jetzt ernster, soweit ich dazu beitragen kann. War vor vielen 
Jahren mal im Reich der Kristallsymmetrien unterwegs. In diesem Sinne, 
mir ist bewusst, dass im Folgenden manches unscharf oder bewusst 
vereinfacht dargestellt ist bzw. ich vielleicht nicht die aktuellste 
Darstellung wähle.

Falls die Penrose Referenz nicht nur ein Trigger war, dann hast du dich 
möglicherweise auf dem Weg (periodisch-)kristallin - quasikristallin - 
amorph verlaufen. Jetzt mal auf Flatland bezogen.

Amorph entspricht "ohne dass es sich wiederholt und ohne dass man vorher 
genau weiß, wie es gleich weitergeht" (dein Zitat). Es mag zwar eine 
gewisse Nahordung existieren, also eine gewisse Wahrscheinlichkeit, wie 
es gleich weitergeht, aber halt nur eine Wahrscheinlichkeit. Jede Kachel 
ist unterschiedlich. Info über Long Range Null.

Penrose Parkettierung gehört in das Reich quasikristallin, und ist nicht 
gleich(=) amorph bzw. ist nicht gleich(=) (das war klar) 
periodisch-kristallin. Aber es gibt eine definierte Nahordnung (= eine 
ziemlich begrenzte Zahl von unterschiedlichen Kacheln) bzw. der 
Fliesenleger weiß genau nach welchen Regeln er die nächsten Fliesen, 
welche und wo anzulegen hat. Es gibt auch eine Long Range Ordnung, aber 
die ist nicht periodisch (was vermutlich den ästhetischen Reiz der 
arabischen Fliesenmuster ausmacht, zusätzliche zu den zusätzlich 
möglichen lokalen Symmetrien).

Periodisch in dem Zusammenhang heißt, es gibt einen Satz von 
Symmetrieelementen, Translation, Rotation (kleiner Subset) und 
Spiegelung (in 3D kommt noch die Inversion dazu) mit denen sich die 
Ebene (unendlich) parkettieren läßt. Liebhaber der Gruppentheorie können 
lange verschüttetes Gelerntes wieder auffrischen.

D.h. deine Ideen führen primär mal nicht zu einer Penrose Parkettierung. 
Klar sind deine Ideen möglich, (z.B. zufällige Punktwolke und dann 
Tesselation, sollte sich machen lassen) aber wie gesagt es wird amorph. 
Ob die von dir gefundenen Vorteile dann auch noch greifen, kann ich 
nicht sagen. Ohne dass ich eine Ahnung habe, ich würde vermuten, dass 
die "nicht Long Range Periodizität" technische Vorteile bringt z.B. bei 
der Wechselwirkung mit Wellenphänomenen, aber halt auch vermuten, dass 
eine aus einer handvoll gleicher Bausteinen zusammengestellte 
nichtperiodische Struktur produktionstechnisch einfacher zu umzusetzen 
ist, als na ja, du weißt schon.

Und wenn du auf der Suche nach einer Regel bist, such doch mal bei GIF 
nach "Theorie der Approximanten in Quasikristallen", ab Kapitel 3 geht's 
in etwa um deine Frage, nicht dass ich ein Wort davon verstehe, oder 
sagen wir so, ich woaß, dass i kannt, wann i wollt. Aber in jedem Fall 
sieht es wie ein brauchbarer Einstieg aus.

Have fun!
 -th-

von Georg (Gast)


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yesitsme schrieb:
> Das muss irgendwie vernünftig ansetzt werden können

Muss man nicht - man kann ja die Bahn daneben mit der 
Penrose-Parkettierung passend ausdrucken, nur muss man eben jede Bahn 
extra drucken. Technisch kein Problem, weisse Tapete und ein Fotodrucker 
mit Rolleneinzug genügen. Kann man auch bei einem Dienstleister drucken 
lassen.

Georg

von Oliver S. (oliverso)


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Georg schrieb:
> Im voraus berechnen ist völlig unnötig.

Frank schrieb:
> Ich habe von einem Patent für Reflektoren
> gelesen, die auf Penrose-Mustern basieren, da somit das Licht
> gleichmäßiger gebrochen wird.

Wäre ich Hersteller solcher Reflektoren, dann würde ich die aber ganz 
bestimmt im voraus berechnen.

Oliver

von Frank (Gast)


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yesitsme schrieb:
> Hmm... Tapeten... Die Wand ist 2.5m hoch und die Rolle ist 70cm breit.
> Das muss irgendwie vernünftig ansetzt werden können. Bei sich nicht
> wiederholenden Mustern dürfte das schwierig werden.

Im Prinzip richtig, allerdings wäre das ja leicht lösbar, wenn ich 
zunächst als eine Bedingung die Höhe des Raums (plus x Puffer) 
definiere, und dann die nächste Bahn anhand der vorherigen 
weiterberechnen lasse. Die Bahnen werden durchnummeriert, so wie jede 
beliebige Fototapete mit Sonnenuntergang.

von Frank (Gast)


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Du hast höchstwahrscheinlich recht. Wäre aus meiner Sicht aber trotzdem 
interessant, da selbst bei weiterer Verarbeitung des bedruckten 
Rohmaterials immer Unikate entstehen.

von Frank (Gast)


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Oliver S. schrieb:
> Allerdings wird es für jede Anwendung eine Länge geben, ab der rein
> praktisch eine Wiederholung dann doch keine Rolle mehr spielt. Ob es
> daher für den jeweilig Anwendungsfall nicht doch besser ist, das Muster
> erst komplett zu berechnen, oder in Echtzeit während der Ausgabe zu
> erzeugen, kommt halt darauf an.
>
> Oliver

Sorry, Oliver. Das eben war in Bezug auf Deine Bemerkung.

von Frank (Gast)


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thomas schrieb:
> Und wenn du auf der Suche nach einer Regel bist, such doch mal bei GIF
> nach "Theorie der Approximanten in Quasikristallen", ab Kapitel 3 geht's
> in etwa um deine Frage, nicht dass ich ein Wort davon verstehe, oder
> sagen wir so, ich woaß, dass i kannt, wann i wollt. Aber in jedem Fall
> sieht es wie ein brauchbarer Einstieg aus.

Mein Lieblingswort daraus: Phasonenflips. Klingt irgendwie lecker.

Ich finde die Bezüge zu Kristallen bzw. Quasikristallen ungeheuer 
spannend. Dass da etwas existiert, von dem man glaubte, das könne es gar 
nicht geben - und dann findet man sogar natürliche Vorkommen von 
Quasikristallen in Meteoriten. Unfassbar.

Was lässt sich damit anstellen? Ich erzähle einfach mal, was ich hier 
eigentlich so treibe. Ich bin eher auf der Makroebene unterwegs - 
bezogen auf Kristallstrukturen. Ich bin von Haus aus Gestalter und 
Künstler mit Affinität zu Geometrie und arbeite momentan an einer 
Umsetzung eines adaptierten Penrose-Musters als Wandverkleidung, 
sozusagen als Kachelrelief. Die Anlegeregeln sind dabei in Form eines 
Höhenprofils kodiert, basierend auf Ammann-Linien. Das alles geht nur in 
Handarbeit, aber ich brauche natürlich größere Stückzahlen in 
größtmöglicher Perfektion. Bei der Suche nach geeignetem Material und 
Verfahren habe ich mittlerweile schon häufig von Firmen gehört, das geht 
so nicht. Ich will aber, dass es geht, weil ich es mir vorstellen kann - 
also muss auch eine praktische Umsetzung möglich sein.

Ich habe angefangen mit CAD-Zeichnungen und 3D-Druck, allerdings ist das 
immer noch so ungenau und enttäuschend im Vergleich zu meiner 
Vorstellung. Dazu kommt, dass PETG zu grob ist, und das feinere Harz 
aufgrund chemischer Wechselwirkung verhindert, dass das Silikon, mit dem 
ich die Form abgießen möchte, vernetzt. Dann habe ich das 3D-Teil 
lackiert, aber der Lack hat zu dick aufgetragen, weil eine 
Mindestschichtstärke als Sperrschicht erreicht werden muss. Es ist wie 
verhext.

Der nächste Schritt ist jetzt aus Alu eine Urform zu fräsen. Auch da 
muss ich Kompromisse eingehen, weil es sonst "nicht geht", sagt der 
Werkzeugmacher. Momentan ist es mir allerdings auch zu teuer - 1000€ für 
einen Prototypen.

Meine eingangs formulierte Frage bezüglich eines Programms, das 
aperiodische Muster berechnet und an den Drucker schickt, stellt für 
mich eine Fortführung der Nachforschungen dar. Es muss natürlich kein 
Penrose-Muster sein, es kann wie vorgeschlagen etwas anderes, 
fortlaufend "amorphes" sein. Aber die Idee oder der Gedanke ist trotzdem 
derselbe.

Seitdem ich soz. über das Penrose-Parkett gestolpert bin, ist es wie 
eine fixe Idee, und ich gebe nicht auf. Vielen Dank für Eure Gedanken 
und Beiträge.

Viele Grüße
Frank

von Thomas (Gast)


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Frank schrieb:
> fortlaufend "amorphes"

Wie berechnet man sowas eigentlich?
Für eine technische Anwendung wäre es praktisch (oder sogar notwendig?), 
einen bestimmten Abschnitt aus dem Muster ausgeben zu können. Ist das 
machbar, oder müsste das Programm dann immer von einem definierten 
Startpunkt aus das gesamte Muster bis zum gewünschten Abschnitt 
durchrechnen?

von Noch ein Kommentar (Gast)


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Das könntest du auch mit einem Jacquardwebstuhl machen.

Dein Rechner und deine Fräse produzieren die Lochkarten schneller als 
der Webstuhl die Karten durchzieht.

von Georg (Gast)


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Frank schrieb:
> Meine eingangs formulierte Frage bezüglich eines Programms, das
> aperiodische Muster berechnet und an den Drucker schickt, stellt für
> mich eine Fortführung der Nachforschungen dar.

Das ist dieselbe Aufgabe wie eine Fototapete aus mehreren Teilen zu 
drucken, Forschung ist dafür nicht nötig, das kann jeder Dienstleister 
für Fotodruck.

Was Penrose angeht: auch diese Parkettierungen bestehen aus einer oder 
mehreren "Elementarzellen", die sind nur nicht regelmässig 
aneinandergesetzt. Man kann durchaus für jede einen Druckstempel 
erzeugen und damit an die richtige Stelle drucken.

Thomas schrieb:
> Ist das
> machbar, oder müsste das Programm dann immer von einem definierten
> Startpunkt aus das gesamte Muster bis zum gewünschten Abschnitt
> durchrechnen?

Wenn das Muster dadurch definiert ist, wie die nächste Zelle an die 
vorhandenen angelegt wird, muss man das. Irgendeinen Nullpunkt braucht 
man schliesslich. Naheliegend wären die Koordinaten 0,0. Verschieben 
kann man ja immer, nur wozu?

Georg

von Georg (Gast)


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Vielleicht wird es für dich einfacher, wenn du dich von dem Begriff 
"endlos" freimachst. Es gibt nun mal keine unendlich grossen Zimmer, die 
man tapezieren müsste.

Georg

von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


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Suche nach "m c escher generator" findet auch ein paar hübsche Muster.
"Seamless Pattern Generator" heißt eine Fundstelle

von Thomas (Gast)


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Georg schrieb:
> Vielleicht wird es für dich einfacher, wenn du dich von dem
> Begriff
> "endlos" freimachst. Es gibt nun mal keine unendlich grossen Zimmer, die
> man tapezieren müsste.
>
> Georg

Nun höre doch mal auf dich permanent in den Vordergrund zu spielen. Das 
ist ja langsam nicht mehr auszuhalten.

von Frank (Gast)


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Ganz ehrlich, ich hatte wirklich auf hilfreiche Antworten gehofft und 
ihr trollt alle nur rum. Muss das sein?

Viele Grüße
Frank

von Frank (Gast)


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Georg schrieb:
> Vielleicht wird es für dich einfacher, wenn du dich von dem Begriff
> "endlos" freimachst. Es gibt nun mal keine unendlich grossen Zimmer, die
> man tapezieren müsste.

Frank schrieb:
> Ganz ehrlich, ich hatte wirklich auf hilfreiche Antworten gehofft und
> ihr trollt alle nur rum. Muss das sein?
>
> Viele Grüße
> Frank

Ich kann mit den Beiträgen durchaus was anfangen, auch mit jenen, die 
weniger Optimismus versprühen. Was ich allerdings gar nicht 
nachvollziehen kann, ist, warum jemand vorgibt, ich zu sein, s. Beitrag 
#7305584. Offensichtlich geht es in diesem Forum nicht allein um Inhalte 
und Sachthemen. Naja, wer's braucht.

Vielen Dank trotzdem an alle, die sich mit dem Thema auseinandersetzen 
und zur Diskussion beitragen.

von Frank (Gast)


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Noch ein Kommentar schrieb:
> Das könntest du auch mit einem Jacquardwebstuhl machen.

Das ist ein guter Hinweis. Ich stelle mir gerade vor, wie so ein 
Webstuhl den DAX-Kursverlauf in ein Teppichmuster webt.

von InterWebz (Gast)


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Die Idee endlose Muster zu realisieren, und auch die Idee einen 
Plotter/Drucker mit dynamischem, statt statischen Inhalt zu füttern kann 
man durchaus nachvollziehen.

Aber die Muster sind halt nur endlos, solange sie unendlich dargestellt 
werden können.
Vermutlich ist die folgende Analogie nicht gut gewählt^^
Aber wenn du das Muster druckst formulierst du reale Grenzen dran.
Änlich wie bei einer FFT reale Grenzen an das Signal gelegt werden 
müssen um es auswerten zu können.

von Frank (Gast)


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InterWebz schrieb:
> Aber wenn du das Muster druckst, formulierst du reale Grenzen dran.

Gute Beobachtung! Ich produziere aber immer auch ein Narrativ, nämlich 
die Vorstellung, dass das Muster endlos weiter gehen "könnte" und sich 
dabei nicht regelmäßig wiederholt. Das ist der besondere Reiz für mich.

von Johann L. (gjlayde) Benutzerseite


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Frank schrieb:
> Ich produziere aber immer auch ein Narrativ, nämlich
> die Vorstellung, dass das Muster endlos weiter gehen "könnte" und sich
> dabei nicht regelmäßig wiederholt. Das ist der besondere Reiz für mich.

Problem: Solche aperiodischen Parkettierungen haben nicht-lokale 
Eigenschaften, siehe z.B. hier in einer Vorlesung ovn Penrose an der 
Royal Institution (ab Minute 29):

https://youtu.be/th3YMEamzmw&t=29m

Selbst wenn man lokal alle Regeln der Parkettierung befolgt, können sich 
Parkettierungen ergeben, die sich nicht ad infimum fortsetzen lassen.

Von daher dürfte der solideste Ansatz Top-Down sein.  Penrose erklärt 
das zu Beginn der Vorlesung, wobei die gesamte Vorlesung lehrreich und 
sehr unterhaltsam ist.

Es gibt auch Konstruktionen, die einen 2D-Schnitt durch ein 
höherdimensionales, periodisches Gitter legen.  Dadurch ergeben sich 
dann auch "funktionierende" quasiperiodische Parkettierungen, die sich 
fortsetzen lassen ohne einen "Crash" zu generieren wie im obigen Video.

Die nicht-lokalen Eigenheiten waren auch der Grund, warum die Entdeckung 
von Quasikristallen so überraschend war.

: Bearbeitet durch User
von Smith (Gast)


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von Noch ein Kommentar (Gast)


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> Aber wenn du das Muster druckst, formulierst du reale Grenzen dran.

Kommt auf die Transformation an.

Du könntest dir ein paar Anregungen beim Penrose-Diagramm holen. Du 
skalierst das Muster so, dass du den Rand der Leinwand erst nach 
unendlicher Zeit erreichst.

von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


Angehängte Dateien:

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Die Betonung hier liegt auf dem "aperiodischen", damit unterscheidet es 
sich vermutlich von allen M.C.Escher-Parkettierungen. Die variiert er 
zwar meistens über die Bildbreite, aber eigentlich ist es eine 
regelmäßige Struktur.

In der Anfangszeit der Computergrafik war die Berechnung einer 
Mandelbrot-Menge ein sehr beliebtes Problem, leicht als Programm zu 
realisieren
https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge
Da wird was von Chaostheorie geschrieben, also nicht regelmäßig, aber 
"abgeschlossen", auf eine bestimmte Fläche begrenzt.

Damit etwas aperiodisch wird, muss vermutlich eine Irrationalzahl im 
Spiel sein. Wikipedia nennt hier den Goldenen Schnitt, dessen Wurzel aus 
5 ist eine Irrationalzahl:
https://de.wikipedia.org/wiki/Penrose-Parkettierung
da ist ein Windows-Programm verlinkt
https://stephencollins.net/penrose/

von Die endgültige Antwort (Gast)


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> Damit etwas aperiodisch wird, muss vermutlich eine Irrationalzahl im
> Spiel sein.

Daraus ergibt sich unmittelbar die Antwort auf die ursprüngliche Frage.
"ob es möglich ist ... ein endloses Muster ... ohne dass es sich 
wiederholt"

In Computern haben wir nur ganze Zahlen begrenzter Größe, die wir als 
Festkomma- oder Gleitkommazahlen verwendenden können.

Also rationale Zahlen in der Art x/(2^64). Wir können uns auch Libraries 
für größere rationale Zahlen basteln. Nur durch den Speicherplatz 
begrenzt. Aber es sind immer noch rationale Zahlen der Art 
x/(2^1000000000).

Irgendwann wird sich das Muster wiederholen.

von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


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Man kann aber die irrationale Zahl Pi auf zehn hoch x Stellen berechnen, 
das gilt wohl auch für den Goldenen Schnitt.

Mir fiel noch ein, dass ein bekannter Computerkünstler letztes Jahr 
gestorben ist:
https://de.wikipedia.org/wiki/Herbert_W._Franke
Einige seiner Arbeiten:
http://www.herbert-w-franke.de/WsFr5Korr.htm

: Bearbeitet durch User
von Frank (Gast)


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Christoph db1uq K. schrieb:
> Mir fiel noch ein, dass ein bekannter Computerkünstler letztes Jahr
> gestorben ist:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Herbert_W._Franke
> Einige seiner Arbeiten:
> http://www.herbert-w-franke.de/WsFr5Korr.htm

Heutige NFTs sehen nicht selten aus, als stammten sie aus den frühen 
Tagen des Heim-PCs. Irgendwie reimt sich die Geschichte doch. Jedenfalls 
ein faszinierender, vielseits begabter und interessierter Mensch!

von Frank (Gast)


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Smith schrieb:
> http://bit-player.org/2017/sir-roger-penroses-toilet-paper

Das kannte ich auch schon - sehr amüsant! Wie mir scheint, versteht Herr 
Penrose wohl keinen Spaß, wenn es um "sein" Muster geht. Gut, dass das 
Patent heute längst abgelaufen ist und von der Seite her kein Ungemach 
mehr droht.

Im Patent beschreibt er zwei konkrete Anwendungsfälle. Erstens als 
Kinderspielzeug, zweitens als Dekoration. Von Klopapier war hier 
jedenfalls nie die Rede.

Ich würde schon ganz gerne rauskriegen, ob es nicht besondere 
physikalische Vorteile gibt, die diesem oder vergleichbaren Mustern 
eignen. Wie ich oben geschrieben habe, denke ich, dass eine Wand mit so 
einem aperiodischen Relief bestimmt günstige akustische Eigenschaften 
hat, aber ich weiß es nicht. Sicherlich ein Fall fürs Fraunhofer 
Institut.

von Georg (Gast)


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Frank schrieb:
> denke ich, dass eine Wand mit so
> einem aperiodischen Relief bestimmt günstige akustische Eigenschaften
> hat

Die Vermutung ist wohl, dass ein Penrosemuster keine Symmetrie hat, aber 
das stimmt so nicht - Kristallanalysen zeigen eine 5strahlige Symmetrie, 
was es von normalen Kristallen unterscheidet.

Generell wird in diesem Thread alles mögliche durcheinandergeworfen, 
vieles ist keine Parkettierung und hat mit Penrose garnichts zu tun, 
z.B. nicht die Nachkommastellen irrationaler Zahlen. 
Penrose-Parkettierungen sind eben nicht rein zufällig.

Georg

von Eine Frage (Gast)


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> z.B. nicht die Nachkommastellen irrationaler Zahlen.

Da würde mich deine Begründung interessieren.

Soweit ich die Sache verstehe, basiert die Penrose Parketierung auf 
einer irrationalen Zahl. Unendlich viele Nachkommastellen, die sich 
nicht wiederholen.

Wenn wir den selben Trick wie das Penrose Diagramm benutzen, können wir 
ein unendlich großes Parkett auf einer endlichen Fläche unterbringen.

Aber in unseren Computern können wir irrationale Zahlen nur durch 
rationale Zahlen mit einer begrenzten Anzahl von Nachkommastellen 
darstellen. Somit können wir nur einen endlichen Ausschnitt der 
Paketierung berechnen.

Wo liegt mein Denkfehler, warum spielen die Nachkommastellen keine 
Rolle?

von Johann L. (gjlayde) Benutzerseite


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Eine Frage schrieb:
> Somit können wir nur einen endlichen Ausschnitt der
> Paketierung berechnen.

Das war ja auch die Frage:

Wie berechne ich einen endlichen Ausschnitt z.B. eines Penrose-Tilings, 
d.h. einer Parkettierung, die sich prinzipiell zu einem die ganze Ebene 
überdeckenden Quasi-Kristall ergänzen lässt. Also ohne, dass das Muster 
irgendwann einen Widerspruch erzeugt, wie etwa in der oben verlinkten 
Vorlesung dargestelt.

> Soweit ich die Sache verstehe, basiert die Penrose Parketierung auf
> einer irrationalen Zahl. Unendlich viele Nachkommastellen, die sich
> nicht wiederholen. [...]
> Aber in unseren Computern können wir irrationale Zahlen nur durch
> rationale Zahlen mit einer begrenzten Anzahl von Nachkommastellen
> darstellen.  Wo liegt mein Denkfehler, warum spielen die
> Nachkommastellen keine Rolle?

Mit rationalen Zahlen kann man exakt rechnen, indem man sie als Brüche 
zweier ganzer Zahlen darstellt.  Einschränkung ist dann wie groß Nenner 
und Zähler werden dürfen.  Üblicherweise ist der verfügbare 
Speicherplatz (RAM, Festplatte, etc.) der begrenzende Faktor, 
entsprechende Software wie GMP vorausgesetzt.

Analog kann man mit algebraischen Zahlen exakt rechnen, etwa mit sqrt(2) 
oder dem Goldenen Schnitt, die ja algebraische Zahlen sind.  Dabei 
stellt man die Zahlen natürlich nicht als Floating- oder Fixed-Point 
dar (was ja nur näherungsweise geht), sondern als Elemente eines 
algebraischen Zahlkörpers, d.h. als Vektoren eines endlichdimensionalen 
Vektorraumes über Q, so dass die Darstellung exakt ist und Arithmetik 
exakt bleibt (aber die Dimension des Vektorraums erhöhhen kann, z.B. 
beim Wurzelziehen).

Aber selbst wenn man Floating-point nimmt und damit "nur" einen 
endlichen Bereich von der Größe des beobachtbaren Universums abdeckt, 
dürfte das für alle praktischen Anwendungen auf Tapete, Fliesen, Parkett 
oder Klopapier genügen.

von Frank (Gast)


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Johann L. schrieb:
> Analog kann man mit algebraischen Zahlen exakt rechnen, etwa mit sqrt(2)
> oder dem Goldenen Schnitt, die ja algebraische Zahlen sind.  Dabei
> stellt man die Zahlen natürlich nicht als Floating- oder Fixed-Point
> dar (was ja nur näherungsweise geht), sondern als Elemente eines
> algebraischen Zahlkörpers, d.h. als Vektoren eines endlichdimensionalen
> Vektorraumes über Q, so dass die Darstellung exakt ist und Arithmetik
> exakt bleibt (aber die Dimension des Vektorraums erhöhhen kann, z.B.
> beim Wurzelziehen).

Funktioniert so nicht auch ein CAD-Programm? Möglicherweise schneidet 
der nach einer bestimmten Nachkommastelle ab, aber für mich sieht es 
jedenfalls so aus, als wäre ein bestimmter Punkt im Raum, der von 
verschiedenen Linien oder Körpern geschnitten wird, immer derselbe 
Punkt. "Vektor" ist hier das Stichwort, das ich auch als "Kurve" kenne 
und mir so vorstelle.

Jedenfalls ein toller, fundierter Beitrag von Dir, Johann. Vielen Dank! 
:)

Gruß Frank

von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


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>hat mit Penrose garnichts zu tun
Das war ein Vorschlag von mir. Irgendeinen "Zufall" braucht man um eine 
Aperiodizität zu bekommen. Irrationalzahlen war ein Beispiel aus der 
Mathematik, dann gibt es noch die Chaostheorie, von der ich nur das 
berühmte Beispiel Schmetterling/Wirbelsturm kenne.

>Penrose-Parkettierungen sind eben nicht rein zufällig.
ja was dann ?

Zu dem Windows-Programm gibt es auch den Quelltext, vielleicht hilft der 
weiter, um eine Tapete zu drucken.

von Frank (Gast)


Angehängte Dateien:

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Hier gibt es eine tolle Sammlung von kleinen Programmen zu dem Thema, 
die ich gerade gefunden habe. Die jeweilige Vorschau in dem kleinen 
Fensterchen scheint endlos durchzulaufen:

https://www.gregegan.net/APPLETS/Applets.html

(Die angehängte Grafik ist eine schnelle Skizze von mir.)

Viele Grüße
Frank

von Johann L. (gjlayde) Benutzerseite


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Christoph db1uq K. schrieb:
> Georg schrieb:
>> Penrose-Parkettierungen sind eben nicht rein zufällig.
> ja was dann?

Sie sind quasi-periodisch, was mehr ist als zufällig.

Zum Beispiel findet sich jeder endlich große Ausschnitt unendlich oft 
wieder unter Verschiebung, dito wenn man den Ausschnitt zusätzlich um 
1/5, 2/5, 3/5 oder 4/5 des Vollwinkels dreht (bei (annähernd) 5-zähliger 
Symmetrie).

Dass quasiperiodische Muster nicht rein zufällig sind, sieht man z.B. an 
einer in Wikipedia beschriebenen Konstruktion:

> Es gibt eine Beziehung zwischen periodischen und quasiperiodischen
> Mustern. Jedes quasiperiodische Muster aus Punkten kann aus einem
> periodischen Muster einer höheren Dimension geformt werden:
> Um zum Beispiel einen dreidimensionalen Quasikristall zu erzeugen,
> kann man mit einer periodischen Anordnung von Punkten in einem
> sechsdimensionalen Raum beginnen. Der dreidimensionale Raum sei ein
> linearer Unterraum, der den sechsdimensionalen Raum in einem bestimmten
> Winkel durchdringt. Wenn man jeden Punkt des sechsdimensionalen Raumes,
> der sich innerhalb eines bestimmten Abstandes zum dreidimensionalen
> Unterraum befindet, auf den Unterraum projiziert und der Winkel eine
> irrationale Zahl darstellt, wie zum Beispiel der Goldene Schnitt,
> dann entsteht ein quasiperiodisches Muster.
>
> Jedes quasiperiodische Muster kann auf diese Weise erzeugt werden.
> Jedes Muster, das man auf diese Weise erhält, ist entweder periodisch
> oder quasiperiodisch.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quasikristall

: Bearbeitet durch User
von Christoph db1uq K. (christoph_kessler)


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Danke für die Erklärung. Ja im sechsdimensionalen Raum - da kenne ich 
mich natürlich nicht aus. Aber mit
>...der Winkel eine irrationale Zahl darstellt, wie zum Beispiel der Goldene 
Schnitt...

lag ich nicht völlig daneben. Immerhin.

von Johann L. (gjlayde) Benutzerseite


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Hier eine weitere Online Implementierung (Projektionsmethode):

https://gglouser.github.io/cut-and-project-tiling/

https://github.com/gglouser/cut-and-project-tiling

Drag verschiebt das Muster und Scroll Up/Down skaliert.

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