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Moin! Ich beschäftige mich mit Penrose Parkettierungen und würde in dem Zusammenhang gerne wissen, ob es möglich ist, dass ein Drucker oder eine Häkelmaschine oder sonst ein Gerät ein endloses Muster erzeugt, ohne dass es sich wiederholt (Rapport) und ohne dass man vorher genau weiß, wie es gleich weitergeht? Man müsste doch "nur" ein Programm schreiben, das den Drucker ständig mit neuen Informationen füttert, oder? Es gibt also keine vorbereitete fertige Datei. Ich glaube, dass darin großes Potential steckt und dass sich das Penrose-Muster, bzw. das Prinzip der aperiodischen Parkettierung hierzu gut eignet. Ich denke an Stoffballen, Teppiche, Tapeten, Akustikpaneele, Lärmschutzwände, etc., die sowohl optisch ansprechend als auch physikalisch günstig sind. Ich habe von einem Patent für Reflektoren gelesen, die auf Penrose-Mustern basieren, da somit das Licht gleichmäßiger gebrochen wird. Was sind Eure Gedanken? Ich bin gespannt, was Ihr davon haltet. Viele Grüße Frank
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Hmm... Tapeten... Die Wand ist 2.5m hoch und die Rolle ist 70cm breit. Das muss irgendwie vernünftig ansetzt werden können. Bei sich nicht wiederholenden Mustern dürfte das schwierig werden.
Frank schrieb: > Moin! > > Ich beschäftige mich mit Penrose Parkettierungen und würde in dem > Zusammenhang gerne wissen, ob es möglich ist, dass ein Drucker oder eine > Häkelmaschine oder sonst ein Gerät ein endloses Muster erzeugt, ohne > dass es sich wiederholt (Rapport) und ohne dass man vorher genau weiß, > wie es gleich weitergeht? Damals in den 80ern gab es Drucker mit Endlospapier. OK, waren nur 2000 Seiten, aber das ist schon sehr lang. Vielleicht gibt es noch welche bei Ebay. Und als Muster einfach den aktuellen Dax Kurs ausgeben. Da wiederholt sich nichts, und man weiss nie, wie es weiter geht. Ich war früher mal im Textildruck Bereich. Und da werden die Muster über Druckwalzen gedruckt. Ein Rapport ist da zwingend notwendig. Bei Tapeten war es ähnlich.
Frank schrieb: > Man müsste doch "nur" ein Programm schreiben, > das den Drucker ständig mit neuen Informationen füttert, oder? Es gibt > also keine vorbereitete fertige Datei. So ist es. Klingt jetzt nicht nach Raketenwissenschaft. Allerdings wird es für jede Anwendung eine Länge geben, ab der rein praktisch eine Wiederholung dann doch keine Rolle mehr spielt. Ob es daher für den jeweilig Anwendungsfall nicht doch besser ist, das Muster erst komplett zu berechnen, oder in Echtzeit während der Ausgabe zu erzeugen, kommt halt darauf an. Oliver
PittyJ schrieb: > OK, waren nur 2000 > Seiten, aber das ist schon sehr lang Das ist ja nur eine Frage des Vorratsbehälters, man könnte auch tonnenschwere Papierrollen in den Drucker füttern. Hält man den Drucker an, kann man weiteres Papier ankleben. Aber das gilt ja nur für eine Richtung, quer dazu ist es nur die Breite des Druckwerks. Es hindert aber niemand den TO eine zweite Bahn auf die gleiche Weise zu drucken, die man seitlich dran kleben kann, usw. das ist ja nur eine Frage der Software. Unendlich gibt es in der Technik nicht, aber eben so gross wie man es zu brauchen glaubt. Im voraus berechnen ist völlig unnötig. Georg
Frank schrieb: > Ich beschäftige mich mit Penrose Parkettierungen und würde in dem > Zusammenhang gerne wissen, ob es möglich ist, dass ein Drucker oder eine > Häkelmaschine oder sonst ein Gerät ein endloses Muster erzeugt, ohne > dass es sich wiederholt (Rapport) und ohne dass man vorher genau weiß, > wie es gleich weitergeht? Man müsste doch "nur" ein Programm schreiben, > das den Drucker ständig mit neuen Informationen füttert, oder? Es gibt > also keine vorbereitete fertige Datei. Tschuldigung, der kommt flach: In der Tat es gibt (gab es mal) so "ein Gerät (dass) ein endloses Muster erzeugt, ohne dass es sich wiederholt (...) und ohne dass man vorher genau weiß, wie es gleich weitergeht". Das Gerät, an das ich mich vage erinnere, war ein ziemlicher Klotz in netter Holzverkleidung. Mein Eltern hatten sogar eine von den Kisten im Wohnzimmer stehen. Gegen Mitternacht hat das Gerät, nachdem es ein Muster zeigte, das man als Schriftzug "Sendeschluss" interpretieren konnte, so ich damals schon hätte lesen können, und das genau dies tat, ein endloses Muster erzeugen, ohne dass es sich wiederholt und ohne dass man vorher genau weiß, wie es gleich weitergeht. Okay, und jetzt ernster, soweit ich dazu beitragen kann. War vor vielen Jahren mal im Reich der Kristallsymmetrien unterwegs. In diesem Sinne, mir ist bewusst, dass im Folgenden manches unscharf oder bewusst vereinfacht dargestellt ist bzw. ich vielleicht nicht die aktuellste Darstellung wähle. Falls die Penrose Referenz nicht nur ein Trigger war, dann hast du dich möglicherweise auf dem Weg (periodisch-)kristallin - quasikristallin - amorph verlaufen. Jetzt mal auf Flatland bezogen. Amorph entspricht "ohne dass es sich wiederholt und ohne dass man vorher genau weiß, wie es gleich weitergeht" (dein Zitat). Es mag zwar eine gewisse Nahordung existieren, also eine gewisse Wahrscheinlichkeit, wie es gleich weitergeht, aber halt nur eine Wahrscheinlichkeit. Jede Kachel ist unterschiedlich. Info über Long Range Null. Penrose Parkettierung gehört in das Reich quasikristallin, und ist nicht gleich(=) amorph bzw. ist nicht gleich(=) (das war klar) periodisch-kristallin. Aber es gibt eine definierte Nahordnung (= eine ziemlich begrenzte Zahl von unterschiedlichen Kacheln) bzw. der Fliesenleger weiß genau nach welchen Regeln er die nächsten Fliesen, welche und wo anzulegen hat. Es gibt auch eine Long Range Ordnung, aber die ist nicht periodisch (was vermutlich den ästhetischen Reiz der arabischen Fliesenmuster ausmacht, zusätzliche zu den zusätzlich möglichen lokalen Symmetrien). Periodisch in dem Zusammenhang heißt, es gibt einen Satz von Symmetrieelementen, Translation, Rotation (kleiner Subset) und Spiegelung (in 3D kommt noch die Inversion dazu) mit denen sich die Ebene (unendlich) parkettieren läßt. Liebhaber der Gruppentheorie können lange verschüttetes Gelerntes wieder auffrischen. D.h. deine Ideen führen primär mal nicht zu einer Penrose Parkettierung. Klar sind deine Ideen möglich, (z.B. zufällige Punktwolke und dann Tesselation, sollte sich machen lassen) aber wie gesagt es wird amorph. Ob die von dir gefundenen Vorteile dann auch noch greifen, kann ich nicht sagen. Ohne dass ich eine Ahnung habe, ich würde vermuten, dass die "nicht Long Range Periodizität" technische Vorteile bringt z.B. bei der Wechselwirkung mit Wellenphänomenen, aber halt auch vermuten, dass eine aus einer handvoll gleicher Bausteinen zusammengestellte nichtperiodische Struktur produktionstechnisch einfacher zu umzusetzen ist, als na ja, du weißt schon. Und wenn du auf der Suche nach einer Regel bist, such doch mal bei GIF nach "Theorie der Approximanten in Quasikristallen", ab Kapitel 3 geht's in etwa um deine Frage, nicht dass ich ein Wort davon verstehe, oder sagen wir so, ich woaß, dass i kannt, wann i wollt. Aber in jedem Fall sieht es wie ein brauchbarer Einstieg aus. Have fun! -th-
yesitsme schrieb: > Das muss irgendwie vernünftig ansetzt werden können Muss man nicht - man kann ja die Bahn daneben mit der Penrose-Parkettierung passend ausdrucken, nur muss man eben jede Bahn extra drucken. Technisch kein Problem, weisse Tapete und ein Fotodrucker mit Rolleneinzug genügen. Kann man auch bei einem Dienstleister drucken lassen. Georg
Georg schrieb: > Im voraus berechnen ist völlig unnötig. Frank schrieb: > Ich habe von einem Patent für Reflektoren > gelesen, die auf Penrose-Mustern basieren, da somit das Licht > gleichmäßiger gebrochen wird. Wäre ich Hersteller solcher Reflektoren, dann würde ich die aber ganz bestimmt im voraus berechnen. Oliver
yesitsme schrieb: > Hmm... Tapeten... Die Wand ist 2.5m hoch und die Rolle ist 70cm breit. > Das muss irgendwie vernünftig ansetzt werden können. Bei sich nicht > wiederholenden Mustern dürfte das schwierig werden. Im Prinzip richtig, allerdings wäre das ja leicht lösbar, wenn ich zunächst als eine Bedingung die Höhe des Raums (plus x Puffer) definiere, und dann die nächste Bahn anhand der vorherigen weiterberechnen lasse. Die Bahnen werden durchnummeriert, so wie jede beliebige Fototapete mit Sonnenuntergang.
Du hast höchstwahrscheinlich recht. Wäre aus meiner Sicht aber trotzdem interessant, da selbst bei weiterer Verarbeitung des bedruckten Rohmaterials immer Unikate entstehen.
Oliver S. schrieb: > Allerdings wird es für jede Anwendung eine Länge geben, ab der rein > praktisch eine Wiederholung dann doch keine Rolle mehr spielt. Ob es > daher für den jeweilig Anwendungsfall nicht doch besser ist, das Muster > erst komplett zu berechnen, oder in Echtzeit während der Ausgabe zu > erzeugen, kommt halt darauf an. > > Oliver Sorry, Oliver. Das eben war in Bezug auf Deine Bemerkung.
thomas schrieb: > Und wenn du auf der Suche nach einer Regel bist, such doch mal bei GIF > nach "Theorie der Approximanten in Quasikristallen", ab Kapitel 3 geht's > in etwa um deine Frage, nicht dass ich ein Wort davon verstehe, oder > sagen wir so, ich woaß, dass i kannt, wann i wollt. Aber in jedem Fall > sieht es wie ein brauchbarer Einstieg aus. Mein Lieblingswort daraus: Phasonenflips. Klingt irgendwie lecker. Ich finde die Bezüge zu Kristallen bzw. Quasikristallen ungeheuer spannend. Dass da etwas existiert, von dem man glaubte, das könne es gar nicht geben - und dann findet man sogar natürliche Vorkommen von Quasikristallen in Meteoriten. Unfassbar. Was lässt sich damit anstellen? Ich erzähle einfach mal, was ich hier eigentlich so treibe. Ich bin eher auf der Makroebene unterwegs - bezogen auf Kristallstrukturen. Ich bin von Haus aus Gestalter und Künstler mit Affinität zu Geometrie und arbeite momentan an einer Umsetzung eines adaptierten Penrose-Musters als Wandverkleidung, sozusagen als Kachelrelief. Die Anlegeregeln sind dabei in Form eines Höhenprofils kodiert, basierend auf Ammann-Linien. Das alles geht nur in Handarbeit, aber ich brauche natürlich größere Stückzahlen in größtmöglicher Perfektion. Bei der Suche nach geeignetem Material und Verfahren habe ich mittlerweile schon häufig von Firmen gehört, das geht so nicht. Ich will aber, dass es geht, weil ich es mir vorstellen kann - also muss auch eine praktische Umsetzung möglich sein. Ich habe angefangen mit CAD-Zeichnungen und 3D-Druck, allerdings ist das immer noch so ungenau und enttäuschend im Vergleich zu meiner Vorstellung. Dazu kommt, dass PETG zu grob ist, und das feinere Harz aufgrund chemischer Wechselwirkung verhindert, dass das Silikon, mit dem ich die Form abgießen möchte, vernetzt. Dann habe ich das 3D-Teil lackiert, aber der Lack hat zu dick aufgetragen, weil eine Mindestschichtstärke als Sperrschicht erreicht werden muss. Es ist wie verhext. Der nächste Schritt ist jetzt aus Alu eine Urform zu fräsen. Auch da muss ich Kompromisse eingehen, weil es sonst "nicht geht", sagt der Werkzeugmacher. Momentan ist es mir allerdings auch zu teuer - 1000€ für einen Prototypen. Meine eingangs formulierte Frage bezüglich eines Programms, das aperiodische Muster berechnet und an den Drucker schickt, stellt für mich eine Fortführung der Nachforschungen dar. Es muss natürlich kein Penrose-Muster sein, es kann wie vorgeschlagen etwas anderes, fortlaufend "amorphes" sein. Aber die Idee oder der Gedanke ist trotzdem derselbe. Seitdem ich soz. über das Penrose-Parkett gestolpert bin, ist es wie eine fixe Idee, und ich gebe nicht auf. Vielen Dank für Eure Gedanken und Beiträge. Viele Grüße Frank
Frank schrieb: > fortlaufend "amorphes" Wie berechnet man sowas eigentlich? Für eine technische Anwendung wäre es praktisch (oder sogar notwendig?), einen bestimmten Abschnitt aus dem Muster ausgeben zu können. Ist das machbar, oder müsste das Programm dann immer von einem definierten Startpunkt aus das gesamte Muster bis zum gewünschten Abschnitt durchrechnen?
Das könntest du auch mit einem Jacquardwebstuhl machen. Dein Rechner und deine Fräse produzieren die Lochkarten schneller als der Webstuhl die Karten durchzieht.
Frank schrieb: > Meine eingangs formulierte Frage bezüglich eines Programms, das > aperiodische Muster berechnet und an den Drucker schickt, stellt für > mich eine Fortführung der Nachforschungen dar. Das ist dieselbe Aufgabe wie eine Fototapete aus mehreren Teilen zu drucken, Forschung ist dafür nicht nötig, das kann jeder Dienstleister für Fotodruck. Was Penrose angeht: auch diese Parkettierungen bestehen aus einer oder mehreren "Elementarzellen", die sind nur nicht regelmässig aneinandergesetzt. Man kann durchaus für jede einen Druckstempel erzeugen und damit an die richtige Stelle drucken. Thomas schrieb: > Ist das > machbar, oder müsste das Programm dann immer von einem definierten > Startpunkt aus das gesamte Muster bis zum gewünschten Abschnitt > durchrechnen? Wenn das Muster dadurch definiert ist, wie die nächste Zelle an die vorhandenen angelegt wird, muss man das. Irgendeinen Nullpunkt braucht man schliesslich. Naheliegend wären die Koordinaten 0,0. Verschieben kann man ja immer, nur wozu? Georg
Vielleicht wird es für dich einfacher, wenn du dich von dem Begriff "endlos" freimachst. Es gibt nun mal keine unendlich grossen Zimmer, die man tapezieren müsste. Georg
Suche nach "m c escher generator" findet auch ein paar hübsche Muster. "Seamless Pattern Generator" heißt eine Fundstelle
Georg schrieb: > Vielleicht wird es für dich einfacher, wenn du dich von dem > Begriff > "endlos" freimachst. Es gibt nun mal keine unendlich grossen Zimmer, die > man tapezieren müsste. > > Georg Nun höre doch mal auf dich permanent in den Vordergrund zu spielen. Das ist ja langsam nicht mehr auszuhalten.
Ganz ehrlich, ich hatte wirklich auf hilfreiche Antworten gehofft und ihr trollt alle nur rum. Muss das sein? Viele Grüße Frank
Georg schrieb: > Vielleicht wird es für dich einfacher, wenn du dich von dem Begriff > "endlos" freimachst. Es gibt nun mal keine unendlich grossen Zimmer, die > man tapezieren müsste. Frank schrieb: > Ganz ehrlich, ich hatte wirklich auf hilfreiche Antworten gehofft und > ihr trollt alle nur rum. Muss das sein? > > Viele Grüße > Frank Ich kann mit den Beiträgen durchaus was anfangen, auch mit jenen, die weniger Optimismus versprühen. Was ich allerdings gar nicht nachvollziehen kann, ist, warum jemand vorgibt, ich zu sein, s. Beitrag #7305584. Offensichtlich geht es in diesem Forum nicht allein um Inhalte und Sachthemen. Naja, wer's braucht. Vielen Dank trotzdem an alle, die sich mit dem Thema auseinandersetzen und zur Diskussion beitragen.
Noch ein Kommentar schrieb: > Das könntest du auch mit einem Jacquardwebstuhl machen. Das ist ein guter Hinweis. Ich stelle mir gerade vor, wie so ein Webstuhl den DAX-Kursverlauf in ein Teppichmuster webt.
Die Idee endlose Muster zu realisieren, und auch die Idee einen Plotter/Drucker mit dynamischem, statt statischen Inhalt zu füttern kann man durchaus nachvollziehen. Aber die Muster sind halt nur endlos, solange sie unendlich dargestellt werden können. Vermutlich ist die folgende Analogie nicht gut gewählt^^ Aber wenn du das Muster druckst formulierst du reale Grenzen dran. Änlich wie bei einer FFT reale Grenzen an das Signal gelegt werden müssen um es auswerten zu können.
InterWebz schrieb: > Aber wenn du das Muster druckst, formulierst du reale Grenzen dran. Gute Beobachtung! Ich produziere aber immer auch ein Narrativ, nämlich die Vorstellung, dass das Muster endlos weiter gehen "könnte" und sich dabei nicht regelmäßig wiederholt. Das ist der besondere Reiz für mich.
Frank schrieb: > Ich produziere aber immer auch ein Narrativ, nämlich > die Vorstellung, dass das Muster endlos weiter gehen "könnte" und sich > dabei nicht regelmäßig wiederholt. Das ist der besondere Reiz für mich. Problem: Solche aperiodischen Parkettierungen haben nicht-lokale Eigenschaften, siehe z.B. hier in einer Vorlesung ovn Penrose an der Royal Institution (ab Minute 29): https://youtu.be/th3YMEamzmw&t=29m Selbst wenn man lokal alle Regeln der Parkettierung befolgt, können sich Parkettierungen ergeben, die sich nicht ad infimum fortsetzen lassen. Von daher dürfte der solideste Ansatz Top-Down sein. Penrose erklärt das zu Beginn der Vorlesung, wobei die gesamte Vorlesung lehrreich und sehr unterhaltsam ist. Es gibt auch Konstruktionen, die einen 2D-Schnitt durch ein höherdimensionales, periodisches Gitter legen. Dadurch ergeben sich dann auch "funktionierende" quasiperiodische Parkettierungen, die sich fortsetzen lassen ohne einen "Crash" zu generieren wie im obigen Video. Die nicht-lokalen Eigenheiten waren auch der Grund, warum die Entdeckung von Quasikristallen so überraschend war.
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Bearbeitet durch User
> Aber wenn du das Muster druckst, formulierst du reale Grenzen dran.
Kommt auf die Transformation an.
Du könntest dir ein paar Anregungen beim Penrose-Diagramm holen. Du
skalierst das Muster so, dass du den Rand der Leinwand erst nach
unendlicher Zeit erreichst.
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240 KB
Die Betonung hier liegt auf dem "aperiodischen", damit unterscheidet es sich vermutlich von allen M.C.Escher-Parkettierungen. Die variiert er zwar meistens über die Bildbreite, aber eigentlich ist es eine regelmäßige Struktur. In der Anfangszeit der Computergrafik war die Berechnung einer Mandelbrot-Menge ein sehr beliebtes Problem, leicht als Programm zu realisieren https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge Da wird was von Chaostheorie geschrieben, also nicht regelmäßig, aber "abgeschlossen", auf eine bestimmte Fläche begrenzt. Damit etwas aperiodisch wird, muss vermutlich eine Irrationalzahl im Spiel sein. Wikipedia nennt hier den Goldenen Schnitt, dessen Wurzel aus 5 ist eine Irrationalzahl: https://de.wikipedia.org/wiki/Penrose-Parkettierung da ist ein Windows-Programm verlinkt https://stephencollins.net/penrose/
> Damit etwas aperiodisch wird, muss vermutlich eine Irrationalzahl im > Spiel sein. Daraus ergibt sich unmittelbar die Antwort auf die ursprüngliche Frage. "ob es möglich ist ... ein endloses Muster ... ohne dass es sich wiederholt" In Computern haben wir nur ganze Zahlen begrenzter Größe, die wir als Festkomma- oder Gleitkommazahlen verwendenden können. Also rationale Zahlen in der Art x/(2^64). Wir können uns auch Libraries für größere rationale Zahlen basteln. Nur durch den Speicherplatz begrenzt. Aber es sind immer noch rationale Zahlen der Art x/(2^1000000000). Irgendwann wird sich das Muster wiederholen.
Man kann aber die irrationale Zahl Pi auf zehn hoch x Stellen berechnen, das gilt wohl auch für den Goldenen Schnitt. Mir fiel noch ein, dass ein bekannter Computerkünstler letztes Jahr gestorben ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Herbert_W._Franke Einige seiner Arbeiten: http://www.herbert-w-franke.de/WsFr5Korr.htm
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Bearbeitet durch User
Christoph db1uq K. schrieb: > Mir fiel noch ein, dass ein bekannter Computerkünstler letztes Jahr > gestorben ist: > https://de.wikipedia.org/wiki/Herbert_W._Franke > Einige seiner Arbeiten: > http://www.herbert-w-franke.de/WsFr5Korr.htm Heutige NFTs sehen nicht selten aus, als stammten sie aus den frühen Tagen des Heim-PCs. Irgendwie reimt sich die Geschichte doch. Jedenfalls ein faszinierender, vielseits begabter und interessierter Mensch!
Smith schrieb: > http://bit-player.org/2017/sir-roger-penroses-toilet-paper Das kannte ich auch schon - sehr amüsant! Wie mir scheint, versteht Herr Penrose wohl keinen Spaß, wenn es um "sein" Muster geht. Gut, dass das Patent heute längst abgelaufen ist und von der Seite her kein Ungemach mehr droht. Im Patent beschreibt er zwei konkrete Anwendungsfälle. Erstens als Kinderspielzeug, zweitens als Dekoration. Von Klopapier war hier jedenfalls nie die Rede. Ich würde schon ganz gerne rauskriegen, ob es nicht besondere physikalische Vorteile gibt, die diesem oder vergleichbaren Mustern eignen. Wie ich oben geschrieben habe, denke ich, dass eine Wand mit so einem aperiodischen Relief bestimmt günstige akustische Eigenschaften hat, aber ich weiß es nicht. Sicherlich ein Fall fürs Fraunhofer Institut.
Frank schrieb: > denke ich, dass eine Wand mit so > einem aperiodischen Relief bestimmt günstige akustische Eigenschaften > hat Die Vermutung ist wohl, dass ein Penrosemuster keine Symmetrie hat, aber das stimmt so nicht - Kristallanalysen zeigen eine 5strahlige Symmetrie, was es von normalen Kristallen unterscheidet. Generell wird in diesem Thread alles mögliche durcheinandergeworfen, vieles ist keine Parkettierung und hat mit Penrose garnichts zu tun, z.B. nicht die Nachkommastellen irrationaler Zahlen. Penrose-Parkettierungen sind eben nicht rein zufällig. Georg
> z.B. nicht die Nachkommastellen irrationaler Zahlen.
Da würde mich deine Begründung interessieren.
Soweit ich die Sache verstehe, basiert die Penrose Parketierung auf
einer irrationalen Zahl. Unendlich viele Nachkommastellen, die sich
nicht wiederholen.
Wenn wir den selben Trick wie das Penrose Diagramm benutzen, können wir
ein unendlich großes Parkett auf einer endlichen Fläche unterbringen.
Aber in unseren Computern können wir irrationale Zahlen nur durch
rationale Zahlen mit einer begrenzten Anzahl von Nachkommastellen
darstellen. Somit können wir nur einen endlichen Ausschnitt der
Paketierung berechnen.
Wo liegt mein Denkfehler, warum spielen die Nachkommastellen keine
Rolle?
Eine Frage schrieb: > Somit können wir nur einen endlichen Ausschnitt der > Paketierung berechnen. Das war ja auch die Frage: Wie berechne ich einen endlichen Ausschnitt z.B. eines Penrose-Tilings, d.h. einer Parkettierung, die sich prinzipiell zu einem die ganze Ebene überdeckenden Quasi-Kristall ergänzen lässt. Also ohne, dass das Muster irgendwann einen Widerspruch erzeugt, wie etwa in der oben verlinkten Vorlesung dargestelt. > Soweit ich die Sache verstehe, basiert die Penrose Parketierung auf > einer irrationalen Zahl. Unendlich viele Nachkommastellen, die sich > nicht wiederholen. [...] > Aber in unseren Computern können wir irrationale Zahlen nur durch > rationale Zahlen mit einer begrenzten Anzahl von Nachkommastellen > darstellen. Wo liegt mein Denkfehler, warum spielen die > Nachkommastellen keine Rolle? Mit rationalen Zahlen kann man exakt rechnen, indem man sie als Brüche zweier ganzer Zahlen darstellt. Einschränkung ist dann wie groß Nenner und Zähler werden dürfen. Üblicherweise ist der verfügbare Speicherplatz (RAM, Festplatte, etc.) der begrenzende Faktor, entsprechende Software wie GMP vorausgesetzt. Analog kann man mit algebraischen Zahlen exakt rechnen, etwa mit sqrt(2) oder dem Goldenen Schnitt, die ja algebraische Zahlen sind. Dabei stellt man die Zahlen natürlich nicht als Floating- oder Fixed-Point dar (was ja nur näherungsweise geht), sondern als Elemente eines algebraischen Zahlkörpers, d.h. als Vektoren eines endlichdimensionalen Vektorraumes über Q, so dass die Darstellung exakt ist und Arithmetik exakt bleibt (aber die Dimension des Vektorraums erhöhhen kann, z.B. beim Wurzelziehen). Aber selbst wenn man Floating-point nimmt und damit "nur" einen endlichen Bereich von der Größe des beobachtbaren Universums abdeckt, dürfte das für alle praktischen Anwendungen auf Tapete, Fliesen, Parkett oder Klopapier genügen.
Johann L. schrieb: > Analog kann man mit algebraischen Zahlen exakt rechnen, etwa mit sqrt(2) > oder dem Goldenen Schnitt, die ja algebraische Zahlen sind. Dabei > stellt man die Zahlen natürlich nicht als Floating- oder Fixed-Point > dar (was ja nur näherungsweise geht), sondern als Elemente eines > algebraischen Zahlkörpers, d.h. als Vektoren eines endlichdimensionalen > Vektorraumes über Q, so dass die Darstellung exakt ist und Arithmetik > exakt bleibt (aber die Dimension des Vektorraums erhöhhen kann, z.B. > beim Wurzelziehen). Funktioniert so nicht auch ein CAD-Programm? Möglicherweise schneidet der nach einer bestimmten Nachkommastelle ab, aber für mich sieht es jedenfalls so aus, als wäre ein bestimmter Punkt im Raum, der von verschiedenen Linien oder Körpern geschnitten wird, immer derselbe Punkt. "Vektor" ist hier das Stichwort, das ich auch als "Kurve" kenne und mir so vorstelle. Jedenfalls ein toller, fundierter Beitrag von Dir, Johann. Vielen Dank! :) Gruß Frank
>hat mit Penrose garnichts zu tun Das war ein Vorschlag von mir. Irgendeinen "Zufall" braucht man um eine Aperiodizität zu bekommen. Irrationalzahlen war ein Beispiel aus der Mathematik, dann gibt es noch die Chaostheorie, von der ich nur das berühmte Beispiel Schmetterling/Wirbelsturm kenne. >Penrose-Parkettierungen sind eben nicht rein zufällig. ja was dann ? Zu dem Windows-Programm gibt es auch den Quelltext, vielleicht hilft der weiter, um eine Tapete zu drucken.
Angehängte Dateien:
Hier gibt es eine tolle Sammlung von kleinen Programmen zu dem Thema, die ich gerade gefunden habe. Die jeweilige Vorschau in dem kleinen Fensterchen scheint endlos durchzulaufen: https://www.gregegan.net/APPLETS/Applets.html (Die angehängte Grafik ist eine schnelle Skizze von mir.) Viele Grüße Frank
Christoph db1uq K. schrieb: > Georg schrieb: >> Penrose-Parkettierungen sind eben nicht rein zufällig. > ja was dann? Sie sind quasi-periodisch, was mehr ist als zufällig. Zum Beispiel findet sich jeder endlich große Ausschnitt unendlich oft wieder unter Verschiebung, dito wenn man den Ausschnitt zusätzlich um 1/5, 2/5, 3/5 oder 4/5 des Vollwinkels dreht (bei (annähernd) 5-zähliger Symmetrie). Dass quasiperiodische Muster nicht rein zufällig sind, sieht man z.B. an einer in Wikipedia beschriebenen Konstruktion: > Es gibt eine Beziehung zwischen periodischen und quasiperiodischen > Mustern. Jedes quasiperiodische Muster aus Punkten kann aus einem > periodischen Muster einer höheren Dimension geformt werden: > Um zum Beispiel einen dreidimensionalen Quasikristall zu erzeugen, > kann man mit einer periodischen Anordnung von Punkten in einem > sechsdimensionalen Raum beginnen. Der dreidimensionale Raum sei ein > linearer Unterraum, der den sechsdimensionalen Raum in einem bestimmten > Winkel durchdringt. Wenn man jeden Punkt des sechsdimensionalen Raumes, > der sich innerhalb eines bestimmten Abstandes zum dreidimensionalen > Unterraum befindet, auf den Unterraum projiziert und der Winkel eine > irrationale Zahl darstellt, wie zum Beispiel der Goldene Schnitt, > dann entsteht ein quasiperiodisches Muster. > > Jedes quasiperiodische Muster kann auf diese Weise erzeugt werden. > Jedes Muster, das man auf diese Weise erhält, ist entweder periodisch > oder quasiperiodisch. https://de.wikipedia.org/wiki/Quasikristall
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Bearbeitet durch User
Danke für die Erklärung. Ja im sechsdimensionalen Raum - da kenne ich
mich natürlich nicht aus. Aber mit
>...der Winkel eine irrationale Zahl darstellt, wie zum Beispiel der Goldene
Schnitt...
lag ich nicht völlig daneben. Immerhin.
Hier eine weitere Online Implementierung (Projektionsmethode): https://gglouser.github.io/cut-and-project-tiling/ https://github.com/gglouser/cut-and-project-tiling Drag verschiebt das Muster und Scroll Up/Down skaliert.
Gerade auf der Titelseite von Wikipedia gesehen: https://de.wikipedia.org/wiki/Einstein-Problem_der_Diskreten_Geometrie "Das Problem galt lange als ungelöst. 2023 wurde erstmals eine Lösung vorgeschlagen." https://www.spektrum.de/news/hobby-mathematiker-findet-lang-ersehnte-einstein-kachel/2124963
Frank schrieb: > Was sind Eure Gedanken? Ich bin gespannt, was Ihr davon haltet. Kalter Kaffee. Schau dir ne Moschee in Mittelasien an, die haben schon Penrose einegsetzt ohne ihn Penrose zu nennen. * https://de.wikipedia.org/wiki/Girih-Kacheln * https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/numerator-moschee-baumeister-waren-westlichen-mathematikern-500-jahre-voraus-a-468108.html * https://www.westend61.de/de/imageView/RHPLF13875/grosse-moschee-von-herat-afghanistan-asien * https://www.telepolis.de/features/Moderne-Mathematik-im-Mittelalter-3410260.html Ansonsten schau mal unter Selbstähnlichkeit und Fraktale, das haben wir schon damals auf unseren C64 hinbekommen: https://www.c64-wiki.de/wiki/Mandelbrot-Construction-Set
Christoph db1uq K. schrieb: > Gerade auf der Titelseite von Wikipedia gesehen: > https://de.wikipedia.org/wiki/Einstein-Problem_der_Diskreten_Geometrie > > "Das Problem galt lange als ungelöst. 2023 wurde erstmals eine Lösung > vorgeschlagen." Die "Lösung" ist jedoch nicht eine einzige (Proto-)Kachel, die rotiert und verschoben ausschließlich nicht-periodische Parkettierungen erlaubt, sondern besteht aus einer Kachel und ihrem Spiegelbild. Aperiodische Parkettierung mit nur einer einzigen Proto-Kachel sind m.W. immer noch ein ungelöstet Problem. DSGV-Violator schrieb: > Kalter Kaffee. Schau dir ne Moschee in Mittelasien an, die haben schon > Penrose einegsetzt ohne ihn Penrose zu nennen. > > * https://de.wikipedia.org/wiki/Girih-Kacheln Nicht wirklich. Penrose-Parkettierung(en) sind aperiodisch, was dedeutet, das mit den Kacheln ausschließlich nicht-periodische Muster gelegt werden können. Sowas zu beweisen braucht etwas mehr Hirnschmalz als einfach hübsche Muster zu legen. Girih-Kacheln zum Beispiel erlauben periodische Kachelungen, etwa indem man nur den Rhombus verwendet. Dabei ist zu beachten, dass Penrose-Tiles nur in bestimmter Weise aneinander gelegt werden können; das wird z.B. durch Farbmarkierungen sichergestellt oder durch Noppen + Einbuchtungen wie bei Puzzles.
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