Iterative Lösung nichtlinearer gleichungen

Nix genaues weiß man nicht.

Ist die Funktion über R definiert? Über R^n? Über Z? Stetig? Differenzierbar?

Erste Methode ist Newton-Raphson Iteration für ƒ(x) = g(x) - x:

1. Startwert für Iteration raten oder ausarbeiten

2. Iterieren bis zur gewünschten Genauigkeit:

$$x\mapsto x-\frac{f(x)}{f'(x)} = x-\frac{g(x)-x}{g'(x)-1} = \frac{xg'(x)-g(x)}{g'(x)-1}$$

• Funktioniert gut (quadratische Konvergenz) für einfache Nullstellen falls man die Iteration mit guter[tm] Näherung startet.

• Schlechtere Konvergenz (linear) bei mehrfacher Nullstelle.

• Es gibt Startwerte, für welche die Iteration nicht konvergiert, und diese können eine Menge von vollem Maß bilden.

Entweder solver selber schreiben, oder z.b. boost oder eigen3 nehmen.

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Für a≠0 hat die Funktion keine reellen Nullstellen.

Yalu X. schrieb:

Für a≠0 hat die Funktion keine reellen Nullstellen.

Es geht nicht um die Nullstellen von g(x) sondern von x-g(x), da wird es schon Nullstelle(n) geben.

Yalu X. schrieb:

Für a≠0 hat die Funktion keine reellen Nullstellen.

Es geht nicht um die Nullstellen von g(x) sondern von x-g(x), da wird es schon Nullstelle(n) geben.

Upps, das hatte ich übersehen. Ja du hast recht, dann gibt es natürlich (mindestens) eine reelle Lösung.

Da die Funktion fest vorgegeben ist, kann man das mit Newton lösen, allerdings ist dann die Festlegung des Startwerts nicht ganz trivial. Dasselbe Problem hat man auch mit der Regula falsi.

Man kann die Gleichung aber auch in eine algebraische Gleichung in √x umformen. Dafür gibt es Algorithmen, die ohne die Vorgabe eines Startwerts sämtliche Lösungen liefern, bspw. den PolynomSolver in eigen3/unsupported. Das sieht dann etwa so aus:

solve.cpp:

1

#include <iostream>

2

#include <cstdlib>

3

#include <eigen3/unsupported/Eigen/Polynomials>

4

5

int main(int argc, char *argv[]) {

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  const int degree = 5;

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  const double a = strtod(argv[1], NULL);

8

  Eigen::Vector<double, degree+1> coeffs(a, 4*a, 6*a-1, 4*a-4, a-6, -4);

9

  Eigen::PolynomialSolver<double, degree> solver;

10

  solver.compute(coeffs);

11

  const auto roots = solver.roots();

12

  for (auto c: roots) {

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    const auto realpart = c.real();

14

    if (c.imag() == 0 && realpart > 0) {

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      const auto solution = realpart * realpart;

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      std::cout << solution << '\n';

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    }

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  }

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}

Anwendungsbeispiel:

1

$ solve 4.2  # a = 4.2

2

5.54664

Gegenprobe:

1

4.2 * 1 / (1 - (1 + sqrt(1 / 5.54664))**-4) = 5.54664

Neben der Eigen-Bibliothek gibt es noch jede Menge anderer Bibliotheken, die eine ähnliche Funktion bereitstellen. Am besten suchst du einfach nach Polynomial Solver.

Carol Z. schrieb:

Moment es geht darum nach x zu lösen

Das hat Yalu doch gemacht? a = 4.2 => x ≈ 5.54664