Gleichungssystem lösen, ich komm nicht weiter

[Rolf R. (dankobum)]

Ich möchte ein Gleichungssystem lösen, komme an einer Stelle aber nicht 
weiter.

Kann mir jemand helfen, wie ich am Ende nach h = irgendwas auflösen 
kann?

Siehe angehängtes Foto.

[Rolf R. (dankobum)]

Ich habe es glaube ich rausgefunden. Siehe angehängtes Bild.

Ist das richtig so?

[🕵︎ Joachim L. (Gast)]

Am besten ueberpruefst du das selbst. Werkzeug zum Umforme(l)n:

https://octave.org/

[Rolf R. (dankobum)]

🕵︎ Joachim L. schrieb:
> Am besten ueberpruefst du das selbst. Werkzeug zum Umforme(l)n:
>
> https://octave.org/

Danke für den Hinweis.

Ich habe mir octave auf meinem Linux-Notebook installiert. Auch habe ich 
mir einige Einführungsvideos auf youtube angeschaut. Leider wurde dort 
nirgendwo erklärt, wie man ein Gleichungssystem löst.

Gibt es eventuell jemanden, der das kann und der hier eine octave-Datei 
mit der Lösung hochladen kann?

[Sinus T. (micha_micha)]

Ich habs mal mit Mathematica überprüft, leider stimmt deine Lösung 
nicht.

Ich habe zuerst c und d eleminiert:

Eliminate[
 a^2 + b^2 == c^2 && d^2 + h^2 == b^2 && (c - d)^2 + h^2 == a^2, {c, 
 d}]

a^2 (b^2 - h^2) == b^2 h^2

Dann nach h  auflösen lassen:

Solve[a^2 (b^2 - h^2) == b^2 h^2, h]

{{h -> -((a b)/Sqrt[a^2 + b^2])}, {h -> (a b)/Sqrt[a^2 + b^2]}}

Ich kenne zwar Octave nicht, aber so ähnlich wird es dort wohl auch 
funktionieren

[Joachim B. (jar)]

Rolf R. schrieb:
> komme an einer Stelle aber nicht
> weiter

vielleicht helfen dir Übungen von Magda weiter
https://www.youtube.com/@magdaliebtmathe/videos

ist immer mal gut nicht ganz zu verkalken!

[Rolf R. (dankobum)]

Sinus T. schrieb:
> Ich habs mal mit Mathematica überprüft, leider stimmt deine Lösung
> nicht.
>
> Ich habe zuerst c und d eleminiert:
>

> Eliminate[
>  a^2 + b^2 == c^2 && d^2 + h^2 == b^2 && (c - d)^2 + h^2 == a^2, {c,
>  d}]
> 
> a^2 (b^2 - h^2) == b^2 h^2
>

>
> Dann nach h  auflösen lassen:
>

> Solve[a^2 (b^2 - h^2) == b^2 h^2, h]
> 
> {{h -> -((a b)/Sqrt[a^2 + b^2])}, {h -> (a b)/Sqrt[a^2 + b^2]}}
>

>
> Ich kenne zwar Octave nicht, aber so ähnlich wird es dort wohl auch
> funktionieren

Ich habe es gerade nochmals durchgerechnet und bekomme dein Ergebnis 
raus.

Vielen Dank.

[Rolf R. (dankobum)]

Meine erste Rechnung stimmte übrigens auch. Ich habe nur nicht genug 
vereinfacht. Mit weiteren Umformungen wird der Ausdruck noch einfacher 
und stimmt dann mit Mathematika überein.

[Sinus T. (micha_micha)]

Rolf R. schrieb:
> Meine erste Rechnung stimmte übrigens auch.

Ja, stimmt, du hast racht. Nach ein paar Umformungen kommt man auch 
dahin

[Alexander S. (alesi)]

Hallo,

wenn man $c^2$ aus der 1. Glg. und $d^2$ aus der 2. Glg. in den Term 
$(c-d)^2$ der 3. Glg. einsetzt, kommt man in wenigen Schritten zum Ziel.
[math]
(c-d)^2 = a^2 - h^2 \\
a^2 + b^2 - 2 \sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 - h^2)} + b^2 - h^2 = a^2 - h^2 \\
b^2 = \sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 - h^2)} \\
b^4 = (a^2 + b^2)(b^2 - h^2) = (a^2 + b^2)b^2 - (a^2 + b^2)h^2 \\
h^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}
[\math]

Dafür braucht man noch kein Computer-Algebra-System (CAS).

[Rolf R. (dankobum)]

Ich habe den Mathematica-Code mit ChatGPT nach Octave umwandeln lassen:

syms a b c d h
eq1 = a^2 + b^2 - c^2;
eq2 = d^2 + h^2 - b^2;
eq3 = (c - d)^2 + h^2 - a^2;
result = solve(eq1, eq2, eq3, c, d);
eliminated_result = simplify(result.c)

Und dann:

syms a b h
eq = a^2 * (b^2 - h^2) - b^2 * h^2;
result = solve(eq, h);

Aber ich bekomme Fehler:

>> syms a b c d h
Symbolic pkg v3.1.1: Python communication link active, SymPy v1.11.1.
>> eq1 = a^2 + b^2 - c^2;
>> eq2 = d^2 + h^2 - b^2;
>> eq3 = (c - d)^2 + h^2 - a^2;
>> result = solve(eq1, eq2, eq3, c, d);
>> eliminated_result = simplify(result.c)
error: cell cannot be indexed with .

Die Fehlermeldung habe ich ChatGPT gezeigt, die Lösungsvorschläge haben 
aber zu nichts gebracht.

Weiss jemand, was falsch ist?

[Alexander S. (alesi)]

Hallo,

wenn man $c^2$ aus der 1. Glg. und $d^2$ aus der 2. Glg. in den Term
$(c-d)^2$ der 3. Glg. einsetzt, kommt man in wenigen Schritten zum Ziel.

$$(c-d)^2 = a^2 - h^2 \\ a^2 + b^2 - 2 \sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 - h^2)} + b^2 - h^2 = a^2 - h^2 \\ b^2 = \sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 - h^2)} \\ b^4 = (a^2 + b^2)(b^2 - h^2) = (a^2 + b^2)b^2 - (a^2 + b^2)h^2 \\ h^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$$

Dafür braucht man noch kein Computer-Algebra-System (CAS).

P.S. Leider ist mir Rolf R. dazwischen gekommen, so dass ich den [\math] 
Fehler oben nicht mehr korrigieren konnte.

[Alexander S. (alesi)]

Rolf R. schrieb:
> Weiss jemand, was falsch ist?

Versuche es einmal mit dieser Syntax.

https://octave.sourceforge.io/symbolic/function/@sym/solve.html

[Rolf R. (dankobum)]

Rolf R. schrieb:
> Und dann:
> syms a b h
> eq = a^2 * (b^2 - h^2) - b^2 * h^2;
> result = solve(eq, h);

Dieser Vorschlag von ChatGPT hat funktioniert. Er gibt das richtige 
Ergebnis für h aus.

Nur der erste Teil will nicht klappen.

>> syms a b h

eq = a^2 * (b^2 - h^2) - b^2 * h^2;

result = solve(eq, h);
>> syms a b h

eq = a^2 * (b^2 - h^2) - b^2 * h^2;

result = solve(eq, h)
result = (sym 2×1 matrix)

  ⎡          _________⎤
  ⎢         ╱    1    ⎥
  ⎢-a⋅b⋅   ╱  ─────── ⎥
  ⎢       ╱    2    2 ⎥
  ⎢     ╲╱    a  + b  ⎥
  ⎢                   ⎥
  ⎢         _________ ⎥
  ⎢        ╱    1     ⎥
  ⎢a⋅b⋅   ╱  ───────  ⎥
  ⎢      ╱    2    2  ⎥
  ⎣    ╲╱    a  + b   ⎦

[Manfred L. (egonotto)]

Hallo,

du hast aber trotzdem Fehler in der Rechnung, weil z, B. aus c*c = a*a + 
b*b nicht notwendig c >= 0 sein muss. Du hast also die negative Lösung 
vergessen.

MfG
egonotto

[Rolf R. (dankobum)]

Rolf R. schrieb:
> Nur der erste Teil will nicht klappen.

Hat vielleicht jemand ChatGPT4, der den ersten Mathematica-Teil 
umwandeln kann in Octave-Code?

Ich habe nur den kostenlosen Zugang zu ChatGPT.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

zumindest die Lösungen gibt es auch mit dem kostenlosen WolframAlpha.
https://www.wolframalpha.com/input?i=a%5E2%2Bb%5E2+%3D+c%5E2%3B+d%5E2%2Bh%5E2%3Db%5E2%3B+%28c-d%29%5E2%2Bh%5E2%3Da%5E2

Just my 2 cents.

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Rolf R. (dankobum)]

Guido C. schrieb:
> zumindest die Lösungen gibt es auch mit dem kostenlosen WolframAlpha.

Vielen Dank für diesen Beitrag.

Ist das die Online-Version der Software, die beim Raspian mit dabei war?

[Alexander S. (alesi)]

Rolf R. schrieb:
> Ist das die Online-Version der Software, die beim Raspian mit dabei war?

Bei Raspian ist Mathematica dabei und WolframAlpha basiert auf 
Mathematica, ist aber nicht das selbe.
https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha

[Dieter D. (Firma: Hobbytheoretiker) (dieter_1234)]

Du kannst auch (wx)maxima verwenden. Das löst symbolisch Gleichungen ist 
frei verfügbar.

https://maxima.sourceforge.io/download.html

[Alexander S. (alesi)]

Dieter D. schrieb:
> Du kannst auch (wx)maxima verwenden.

Oder Reduce http://www.reduce-algebra.com/index.php oder dessen online 
Version http://www.reduce-algebra.com/web-reduce/

oder eines der anderen CAS (Axiom, Derive, ...).

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_algebra_systems

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Auch die Differenz von (III) und (II) könnte interessant sein, um (das 
h^2 zu eliminieren und) diese Differenz -Gleichung nach

$$d \ = \ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

 umzustellen. Dies kann dann immer noch mal in (II) eingesetzt werden, 
um das gewünschte "h" zu finden.

[Alexander S. (alesi)]

Manfred L. schrieb:
> Du hast also die negative Lösung vergessen.

Rolf R. hat nichts zum Hintergrund und Definitionsbereich der Zahlen 
gesagt, aber ich bin mir sicher, dass es darum geht die Höhe in einem 
rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, und da sind alles Längen > 0.
Siehe Bild im Anhang (q durch d ersetzen).

[Arno H. (arno_h)]

Wenn man es als Dreieck betrachten darf, ist zumindest die Kontrolle 
einfacher:

h=b*(sin(arctan a/b))

Arno

[Rolf R. (dankobum)]

Alexander S. schrieb:
> aber ich bin mir sicher, dass es darum geht die Höhe in einem
> rechtwinkligen Dreieck zu berechnen

Ja genau, das war die Aufgabe.

[Alexander S. (alesi)]

Alexander S. schrieb:
> Dafür braucht man noch kein Computer-Algebra-System (CAS).

Alexander S. schrieb:
> Oder Reduce http://www.reduce-algebra.com/index.php oder dessen online
> Version http://www.reduce-algebra.com/web-reduce/
>
> oder eines der anderen CAS (Axiom, Derive, ...).

Hallo,

kleiner Nachtrag. Auch wenn man dafür eigentlich kein CAS braucht,
so geht es mit web-reduce:
http://www.reduce-algebra.com/web-reduce/

solve({a^2+b^2=c^2,d^2+h^2=b^2,(c-d)^2+h^2=a^2},{c,d,h});

und so mit Maxima on line:
http://maxima.cesga.es/

solve([a^2+b^2=c^2,d^2+h^2=b^2,(c-d)^2+h^2=a^2],[c,d,h]);

Siehe auch die Bilder im Anhang.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Danke für 19.05.2023 12:05 zuvor.
Huch, da fehlte in 22.04.2023 01:28 noch das hoch 2 im Zähler, es sollte

$$d \ = \ \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

 sein.