Operationsverstärker: Berechnung Verstärkung

#7401611
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Hallo,

gerne würde ich diese Schaltung hier nachbauen: https://obrazki.elektroda.pl/7712057800_1605181468.png

Sie ist hier ein bisschen beschrieben: https://www.elektroda.de/rtvforum/topic3746443.html

Ich möchte jetzt nicht darüber diskutieren, ob die Schaltung für den vorgesehenen Einsatz etwas taugt oder nicht und welche Schaltungen viel besser wären. Ich will nur verstehen, warum der Schaltplan so gemacht wurde wie er ist.

Hier also meine Fragen:

  1. Verstärkung Die berechnet sich bei diesem nicht invertierenden Verstärker doch so: V = 1 + (46k + 53k + 270) / 1k = 100,27 Warum ist am Ausgang des OP der Widerstand R5 mit 270 Ohm? Ohne die hätte man doch eine Verstärkung von genau 100, das wäre doch einfacher, oder?

  2. "Vorwiderstand" Am positiven Eingang des OPs ist ein Widerstand R6 mit 270 Ohm. Welchen Zweck hat der? Kann man den Eingang nicht als praktisch offen (unendlicher Widerstand) sehen? Da fallen die 270 Ohm dann doch nicht ins Gewicht, oder?

  3. Schutzschaltung Die Diode D1 soll den Eingang des Verstärkers schützen. Welche Diode würde man da nehmen? Verfälscht die nicht das Messergebnis bei kleinen Strömen? Was passiert, wenn man die Eingänge invertiert anschließt, so dass der Strom in die falsche Richtung fließt?

Wäre schön, wenn mir jemand diese Dinge erklären könnte. Vielen Dank! Grüße Joni

#7401618
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Joni schrieb:

Warum ist am Ausgang des OP der Widerstand R5 mit 270 Ohm? Ohne die hätte man doch eine Verstärkung von genau 100, das wäre doch einfacher, oder?

Um ihn bei Kurzschluss oder einem Kondensator am Ausgang vor Kurzschluss und Überlastung zu schützen.

Da dich das Signal an J4 interessiert, ist die Verstärkung genau 1. Dass der OpAmp dazu ein winziges bisschen höher aussteuern muss, ist irrelevant.

Joni schrieb:

Am positiven Eingang des OPs ist ein Widerstand R6 mit 270 Ohm. Welchen Zweck hat der?

Wenn die Eingangsspannung zu hoch wird, so dass D1 in die Begrenzung geht, darf der Strom über die Eingangsschutzdioden in V+ bzw. V- des OpAmps trotzdem nicht zu gross werden . Daher begrenzt er den Strom. Ob das alles richtig dimensioniert ist ... hab ich nicht geguckt. Hätte msn 1k genommen wäre der Schutz höher und man hätte dieselben 1k wie am anderen Eingang, so dass Gleichtakteingangsströme sich aufheben würden. Das machte aber früher bei bipolaren OpAmps mehr Sinn, ist heute eher überflüssig.

Joni schrieb:

Schutzschaltung Die Diode D1 soll den Eingang des Verstärkers schützen. Welche Diode würde man da nehmen? Verfälscht die nicht das Messergebnis bei kleinen Strömen

Ja, daher braucht man eine die innerhalb des Aussteuerungsbereichs noch nicht verfalscht, aber trotzdem stark begrenzt bevor was kaputt geht. Durch Verstärkung 1:100 liegt die relevante Eingangsspannung aber maximal bei 1/100 der Betriebsspannung. Selbst eine antiparallele Diode in Leitrichtung würde da noch nicht relevant verfälschen. Schon dar nicht bei 10 Ohm shunt-Widerstand, eher bei 10k.

#7401622
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Verlinkungen sind eine ganz blöde Idee, jeder muss immer wieder dahin. Binde die Bilder hier ein.

  1. Die Verstärkung ergibt sich "hinter" den 270R, dieser Widerstand geht nicht in die Berechnung der Verstärkung ein.

  2. Der Vorwiderstand schützt die internen Eingangsschutzdioden des OPV vor zu großem Strom.

  3. Die Dimensionierung der Schutzdide hängt von den Gegebenheiten ab, da kann man keine allgemeingültigen Angaben machen. Ob die das Meßergebnis verfälscht hängt von der Quelle ab. Bei umgekehrter Polarität des Eingangssignals ändert sich nichts, da die Diode bidirektional ist.

#7401655
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Arno R. schrieb:

  1. Die Verstärkung ergibt sich "hinter" den 270R, dieser Widerstand geht nicht in die Berechnung der Verstärkung ein.

Aber nur dann, wenn die offene Verstärkung als unendlich angenommen werden darf. Zumindest sollte man das wissen. Vereinfachungen/Vernachlässigungen sind wichtig und erlaubt - aber man muss wissen, wann und unter welchen Bedingungen diese nicht erlaubt sind.

#7401723
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Joni schrieb:

Oder nimmt man zwei anti-parallel geschaltete Z-Dioden mit einer Durchbruchspannung gerade unter der max. Eingangsspannung des OP?

Wenn schon, dann müssten die antiseriell geschaltet werden. Aber wenn ich die Spannungen so anschaue, dann ist der Vollausschlag bei 100mV am Eingang schon erreicht; also warum nicht einfach zwei normale Si-Dioden antiparallel? Denen müsste aber an der Leitung vom S2 noch ein Widerstand vorgeschaltet werden. Allerdings bin ich mir nicht sicher, egal welche Dioden da verwendet werden, ob sie den unteren nA-Bereich nicht doch kräftig verfälschen.

Beitrag #7401724 wurde von einem Moderator gelöscht.
Moderator (Firma: Titel) Persönliche Seite #7401726
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Arno R. schrieb:

dieser Widerstand geht nicht in die Berechnung der Verstärkung ein.

Weil ja die ausgangsspannung so definiert ist, dass sie hinter diesem Widerstand abgenommen wird. Natürlich ist die Ausgangsspannung des OP aber um den Faktor 1+270R/100kR höher als die am J4.

Oder andersrum: die Schaltung würde "im Prinzip" auch funktionieren wenn der R5 50k hätte. Allerdings muss dann die Ausgangsspannung am OP immer 1+(50k/100k) = 1,5 mal höher sein als die an J4.

Joni schrieb:

Wegen der Diode D1 muss ich nochmal nachhaken. Welchen Typ würde man da nehmen?

Gar nicht so einfach, diese Frage, denn die Antwort hängt von Vcc und Vneg ab. Aber wenn die z.B. bei +-10V liegen, dann funktioniert die Schaltung danke V=100 sowieso nur bis zu Eingangsspannungen von 0,1V. Da kann dann eine bidirektionale TVS-Diode mit wenig Leckstrom im Bereich um/unter 5V verwendet werden:

Moderator (Firma: Titel) Persönliche Seite #7401743
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Joni schrieb:

Oder nimmt man zwei anti-parallel geschaltete Z-Dioden mit einer Durchbruchspannung gerade unter der max. Eingangsspannung des OP?

Sieh dir mal die Leckströme solcher Dioden an und rechne aus, wie sehr die Messung verfälscht wird.

Denn immerhin macht sich der Schaltungsersteller ja auch den Aufwand mit der "Dreileitermessung" an den Shunts. Da wäre es ja schon lästig, wenn vom Messtrom noch 1µA durch die Z-Dioden fließen würde.

Ich würde die TVS-Diode übrigens hinter den 270R Widerstand machen. Denn dann kann sie den OP auch noch schützen, wenn da mal einer 40V anlegt. An der Position, wo sie gerade eingezeichnet ist, wird sie in diesem Fall nämlich einfach nur abfackeln und danach die 40V auf den OP durchlassen.

#7401932
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Danke auch für die Info zu den Schutzdioden. Jetzt habe ich einiges verstanden.

Ich würde aber dann doch einen andern OP nehmen, nämlich den im verlinkten Beitrag genannte MAX4239. Den habe ich nämlich schon hier.

Der hat eine Betriebsspannung von +5V (nur eine Spannung, kein +/-).

Wenn ich den mit einem einfachen Netzteil versorge, sieht man den Ripple vielleicht am Ausgang, oder? Nehme ich dann einen Linearregler zur Versorgung?

Oder wären Batterien (4xAA mit 4,8V) besser? Die haben keinen Ripple. Dafür nimmt die Spannung mit der Zeit ab. Würde das die Messwerte des OP verändern?

Wäre schön, wenn noch jemand war zur Spannungsversorgung sagen könnte. Besten Dank schon mal!

#7402170
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Lutz V. schrieb:

Arno R. schrieb:

  1. Die Verstärkung ergibt sich "hinter" den 270R, dieser Widerstand geht nicht in die Berechnung der Verstärkung ein.

Aber nur dann, wenn die offene Verstärkung als unendlich angenommen werden darf. Zumindest sollte man das wissen.

Das weiß ich. Meine Aussage bezog sich auf die erste Frage des TO:

Joni schrieb:

  1. Verstärkung Die berechnet sich bei diesem nicht invertierenden Verstärker doch so: V = 1 + (46k + 53k + 270) / 1k = 100,27 Warum ist am Ausgang des OP der Widerstand R5 mit 270 Ohm? Ohne die hätte man doch eine Verstärkung von genau 100

In diese Berechnung geht der 270R so nicht ein. Er hat natürlich einen gewissen Einfluß, genau wie die Ausgangsimpedanz des OPV auch, aber nicht so direkt wie es in der Gleichung des TO steht.

#7402196
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Joni schrieb:

Ich würde aber dann doch einen andern OP nehmen, nämlich den im verlinkten Beitrag genannte MAX4239. Den habe ich nämlich schon hier.

Der hat eine Betriebsspannung von +5V (nur eine Spannung, kein +/-).

Naja, du schaffst dann nur max. knapp 5V am Ausgang, also nur die Hälfte des Bereichs. Das sind dann 5µA bzw. 5mA. Und: bei geringer Last kommt er nur auf minimal 20mV Ausgangsspannung. Heißt, im nA-Messbereich kommt er nicht unter 20nA.

#7402225
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Klaus H. schrieb:

Arno R. schrieb:

Er hat natürlich einen gewissen Einfluß,

Ja, z.B. wird er dadurch kurzschlussfest. Außerdem muss (je nach Ausgangsstrom) der OPA höher aussteuern können bzw. das Ausgangssignal wird nur einen geringeren Pegel erreichen können.

Und außerdem erhöht er das Gewicht des Gerätes und dessen Kosten.

Du meine Güte, was soll denn das hier? Es ging dem TO und mir ausschließlich um den Einfluß des 270R auf die Verstärkung der Schaltung. All die anderen Aspekte sind hier irrelevant.

Wenn du unbedingt irgendwelche, die konkrete Fragestellung nicht betreffende, Dinge ansprechen willst, dann bitte nicht mittels eines aus dem Zusammenhang gerissenen Teilzitats eines Satzes. Im Übrigen sind die von dir genannten Wirkungen gestern bereits genannt worden, sie zu wiederholen war also überflüssig.

#7402287
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Joni schrieb:

  1. Verstärkung Die berechnet sich bei diesem nicht invertierenden Verstärker doch so: V = 1 + (46k + 53k + 270) / 1k = 100,27

Nö, korrekt ist: V = 1 + (46k + 53k ) / 1k = 100

weil der 270R nix an der Verstärkung beiträgt da ausserhalb der Loop.

Warum ist am Ausgang des OP der Widerstand R5 mit 270 Ohm?

Er dient der Entkopplung von kapazitiver Last am Ausgang. und bietet etwas mehr "kurzschlusschutz", den aber schon der OPV ausreichend leistet.

#7402357
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Sorry für meine späte Reaktion.

Also der MAX4239 hat tatsächlich den Nachteil, dass man höchstens 5V am Ausgang hat.

Wie ist der Einfluss der Betriebsspannung auf die Ausgangsspannung eines Operstionsverstärkers? Würde man merken, wenn die Batterie schwächelt oder ein Netzteil einen Rippel hat?

Den im Schaltplan vorgeschlagenen OPA192 finde ich leider nicht bei Reichelt oder Conrad.

Kennt jemand eine passende Alternative? Es kommt wohl sehr auf den max. Eingangs-Offset an, der beim OPA192 mit 5uV angegeben ist.

Es gibt eine riesige Auswahl an Operstionsverstärkern und irgendwie stehe ich da im Wald...

Moderator (Firma: Titel) Persönliche Seite #7402382
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Joni schrieb:

Den im Schaltplan vorgeschlagenen OPA192 finde ich leider nicht bei Reichelt oder Conrad.

Naja, das ist ja wie wenn du durchs Schlüsselloch in den Supermarkt schaust und sagst: da gibts ja kaum was.

Bei Mouser gibts immer wieder eine Sammelbestellung:

Und sonst probiers einfach bei EBAY.

#7402425
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Joni schrieb:

Wie ist der Einfluss der Betriebsspannung auf die Ausgangsspannung eines Operstionsverstärkers? Würde man merken, wenn die Batterie schwächelt oder ein Netzteil einen Rippel hat?

Im wesentlich begrenzt die Höhe der Versorgungsspannung den maximalen Hub am Ausgang. Wenn die Batterie schwächelt, dann wird zunächst die maximale Ausgangsspannung mit schwächeln. Solange der Abstand noch groß genug ist, wirst du praktisch nichts merken. Für Schwankungen der Versorgungspannung gibt es im DB die Angabe "Power-Supply Rejection Ratio". Die sagt aus, wie stark eine Änderung der Versorgung auf das Signal durchschlägt. Da sind oft Werte in der Größenordnung von 100dB genannt. Allerdings gilt der Parameter meist nur für relativ langsame Schwankungen wie die, die von z.B. den 50Hz aus der Versorgung noch vorhanden sind. Je höherfrequent die Störspannungen auf der Versorgung sind (z.B. von Schaltnetzteilen), desto weniger Dämpfung kannst du erwarten.

#7402426
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Andrew T. schrieb:

Nö, korrekt ist: V = 1 + (46k + 53k ) / 1k = 100 weil der 270R nix an der Verstärkung beiträgt da ausserhalb der Loop.

Ja - ist deshalb logisch, weil auch der OPV-interne endliche Ausgangswiderstand r_op praktisch nicht die geschlossenen Verstärkung beeinflusst. Der 270 Ohm-Widerstand wirkt also praktisch wie eine Vergrößerung des internen Widerstandes (r_op+270). Und das wirkt sich deshalb kaum aus, weil durch die Gegenkopplung der Ausgangswiderstand immer nur stark reduziert in die Rechnung eingeht er wird nämlich durch die Schleifenverstärkung dividiert, also hier:

r_aus=(r_op+270)/(0,01*Aol) mit Aol=offene Verstärkung

#7402472
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Joni schrieb:

Warum ist am Ausgang des OP der Widerstand R5 mit 270 Ohm? Ohne die hätte man doch eine Verstärkung von genau 100, das wäre doch einfacher, oder?

R5 hat eine erhebliche Auswirkung auf die Verstärkung. Falls der Ausgang ebenfalls mit 270R belastet wird, muss der OPV die Verluste von R5 mit einer 200 fachen Verstärkung wieder ausgleichen, damit am Ende der Widerstand am Ausgang tatsächlich mit der 100 fachen Spannung beaufschlagt wird!

Angehängte Dateien:
#7402478
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Marcel V. schrieb:

R5 hat eine erhebliche Auswirkung auf die Verstärkung. Falls der Ausgang ebenfalls mit 270R belastet wird, muss der OPV die Verluste von R5 mit einer 200 fachen Verstärkung wieder ausgleichen, damit am Ende der Widerstand am Ausgang tatsächlich mit der 100 fachen Spannung beaufschlagt wird!

[ ] Du weißt das der OPA192 typ. eine Verstärkung V_ol von 134dB hat ? [ ] Du hast damit nachgerechnet wieviel Bruchteile von Promille das obige Beispiel an "Mehrarbeit" für den OPV bedeutet?

Moderator (Firma: Titel) Persönliche Seite #7402483
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Marcel V. schrieb:

R5 hat eine erhebliche Auswirkung auf die Verstärkung.

Nicht, wenn die Verstärkung wie geplant als Uj4j3/Uj2j1 definiert ist.

Falls der Ausgang ebenfalls mit 270R belastet wird

... kann am J4 nur maximal die halbe Betriebsspannung entnommen werden. Das Problem ist also lediglich die geringere Aussteuerungsgrenze.

muss der OPV die Verluste von R5 mit einer 200 fachen Verstärkung wieder ausgleichen,

Das ist für ihn kein Problem, denn im Idealfall hat der OP ja sowieso eine Verstärkung von "unendlich", die mit Gegenkopplung bezwungen werden muss.

damit am Ende der Widerstand am Ausgang tatsächlich mit der 100 fachen Spannung beaufschlagt wird!

Korrekt, aber am J4 ergibt sich dann die gewünschte Verstärkung von 100.

#7402516
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Marcel V. schrieb:

Andrew T. schrieb:

Du hast damit nachgerechnet wieviel Bruchteile von Promille das obige Beispiel an "Mehrarbeit" für den OPV bedeutet?

Die Mehrarbeit fällt natürlich nicht ins Gesicht, es ging mir nur ums Prinzip.

Sorry, aber Du hast - soweit ich Dich richtig verstanden habe - das Prinzip doch nicht richtig "verinnerlicht". Der innerhalb der gesamten Schleife liegende Widerstand R5=270 Ohm hat eben nicht - wie Du schreibst - eine "erhebliche Auswirkung" auf die Verstärkung. Er geht doch nur sehr stark reduziert (nämlich durch die Schleifenverstärkung dividiert) in die Rechnung ein. Damit stimmt natürlich Dein Beispiel mit der "200 fachen Verstärkung" auch nicht.

#7402694
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Marcel V. schrieb:

R5 hat eine erhebliche Auswirkung auf die Verstärkung.

In welchem Universum denn das?

Marcel V. schrieb:

Falls der Ausgang ebenfalls mit 270R belastet wird, muss der OPV die Verluste von R5 mit einer 200 fachen Verstärkung wieder ausgleichen, damit am Ende der Widerstand am Ausgang tatsächlich mit der 100 fachen Spannung beaufschlagt wird!

Ja, der OPV muss den Einfluss von R5 ausgleichen wenn der Ausgang entsprechend belastet wird aber genau das ist ja auch Aufgabe von R5: Im Falle eines Falles dafür sorgen, dass das OPV den Ausgang nicht so weit treiben kann, Stichwort Strombegrenzung.

Lothar M. schrieb:

Nicht, wenn die Verstärkung wie geplant als Uj4j3/Uj2j1 definiert ist.

Na das hoffen wir doch mal ganz stark, jede andere Betrachtungsweise ist doch völliger Mumpitz.

Marcel V. schrieb:

Wenn die Schaltung im Leerlauf arbeitet, hast du natürlich Recht, dann wirkt sich R5 nur zu 0,273% auf die Verstärkung aus. Das kann man getrost vernachlässigen.

In welchen Universum denn das? Ach, das hatten wir ja schon...weiß die Ausgangsimpedanz des OPVs, typ. 375Ω@1MHz, denn auch, dass die einen Einfluss auf den Ausgang des OPVs haben muss? Wer sagt ihr das bitte mal?

#7402753
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M. K. schrieb:

..weiß die Ausgangsimpedanz des OPVs, typ. 375Ω@1MHz, denn auch, dass die einen Einfluss auf den Ausgang des OPVs haben muss? Wer sagt ihr das bitte mal?

Das hat der Anwender in der Hand - und das hat damit zu tun, dass keine Formel bei der Schaltungsberechnung korrekt ist. ALLES ist eine Näherung, bei der parasitäre oder sekundäre Effekte absichtlich vernachlässigt werden, weil sie bei der geforderten Genauigkeit keine Rolle mehr spielen (weil sie z.B. weniger Einfluss als die ohnehin unvermeidbaren Bauteil-Toleranzen haben). ABER: Das zu entscheiden - nämlich, ob nun im jeweiligen Anwendungsfall vernachlässigt werden darf oder nicht, das ist nicht immer so ganz einfach.....

Nicht umsonst wählt man möglichst bei der OPV-Gegenkopplung Widerstände im mittleren kOhm-Bereich, die damit ausreichend größer als der OPV-interne Ausgangswiderstand, aber gleichzeitig ausreichend kleiner sind als der ebenso vernachlässigte OPV-Eingangswiderstand.

Wenn im hier diskutierten Beispiel die Rückkopplungswiderstände im 100-er Ohm-Bereich (oder darunter) liegen würden, müssten die Antworten hier anders aussehen.

Moderator #7402784
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Andrew T. schrieb:

Er dient der Entkopplung von kapazitiver Last am Ausgang.

Nein. Bei kapazitiver Last wirkt sich R5 sogar eher negativ aus, da er sich zur Ausgangsimpedanz des Opamp addiert. Ganz anders sähe die Sache aus, wenn das rechte Ende von C1 nicht an J4, sondern direkt am Ausgang des Opamp angeschlossen wäre. Dann würde R5 tatsächlich nicht nur den Kurzschlussstrom begrenzen, sondern zusammen mit C1 zusätzlich auch die durch kapazitive Lasten bedingte Schwingneigung reduzieren.

Marcel V. schrieb:

Wenn die Schaltung im Leerlauf arbeitet, hast du natürlich Recht, dann wirkt sich R5 nur zu 0,273% auf die Verstärkung aus.

Nein. Unter der Annahme, dass die Open-Loop-Verstärkung des OPA192 10⁷ und seine Ausgangsimpedanz 375Ω beträgt (Werte aus dem Datenblatt) und alle Widerstände exakt sind, ist die Verstärkung der Schaltung nur um 0,0010% zu niedrig. Bei einer Belastung mit 270Ω an J4 steigt dieser Fehler auf 0,0034% an. Der OPA192 wird nicht umsonst als "Precision Operational Amplifier" angepriesen.

#7402943
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Marcel V. schrieb:

M. K. schrieb:

Wer sagt ihr das bitte mal?

Das braucht man ihr nicht zu sagen, das weiß sie bereits von selbst. Die 375R Impedanz ist schließlich Teil des OPVs und im Gesamtpaket mit inbegriffen. Da hat der Anwender keinen Einfluss drauf. Auf den außerhalb liegenden 270R Widerstand R5 aber schon.

Wenn ich deine Texte so lese, habe ich keine Hoffnung mehr das dein Arbeitgeber jemals an Entwicklungen etwas Sinnstiftendes hervorbringt.

Egal was du an Drogen nimmst: lass es sein.

Moderator #7403623
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Andrew T. schrieb:

Yalu X. schrieb:

Andrew T. schrieb:

Er dient der Entkopplung von kapazitiver Last am Ausgang.

Nein. Bei kapazitiver Last wirkt sich R5 sogar eher negativ aus,

Lass R5 weg und Bau die Schaltung real auf Und lerne vom realen Ergebnis, nicht von der Simulation.

Dazu braucht es keine Simulation, etwas gesunder Menschenverstand (oder alternativ praktische Erfahrung) ist völlig ausreichend.

Was das reale Ergebnis betrifft: Ich habe die vom TE gepostete Schaltung mal real nachgebaut mit dem Unterschied, dass ich mangels eines OPA192 einen NE5532 (ebenfalls GBW = 10 MHz) verwendet habe. Dem Eingang des Verstärkers habe ich ein Rechtecksignal mit 1 kHz und 20 mVpp zugeführt. Die kapazitive Last an J4 habe ich mit 100 nF so bemessen, dass für R5=0 ein ganz kleiner Überschwinger entsteht (c00-r0000.png). Dann habe ich R5 nacheinander auf 120 Ω, 270 Ω (wie in der Originalschaltung), 560 Ω und 1000 Ω vergrößert. Die Screenshots brauche ich wohl nicht weiter zu kommentieren.

Angehängte Dateien:
#7403764
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Das Ergebnis war natürlich zu erwarten - ein Tiefpass am Ausgang (mit dem zugehörigen Pol) dreht die Phase zusätzlich und verringert die Phasenreserve. Je größer der Widerstand, desto kleiner die Polfrequenz und desto größer die Phasendrehung im "kritischen" Frequenzbereich (Schleifenverstärkung mit Betrag=1). Ist aber eine schöne optische Verdeutlichung der Situation.

#7403980
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Marcel V. schrieb:

M. K. schrieb:

Wer sagt ihr das bitte mal?

Das braucht man ihr nicht zu sagen, das weiß sie bereits von selbst. Die 375R Impedanz ist schließlich Teil des OPVs und im Gesamtpaket mit inbegriffen. Da hat der Anwender keinen Einfluss drauf. Auf den außerhalb liegenden 270R Widerstand R5 aber schon.

Die 375R sind vor allem dynamisch und von der Frequenz abhängig. Hätte sie wirklich einen signifikanten Einfluss würde man das schon im ersten Screenshot von Yalu sehen. Zudem lernt man das schon in der Schule/Uni dass ein zusätzlicher Widerstand am Ausgang des OPVs vor der Rückführung keinen Einfluss auf die äußere, eingestellte Verstärkung hat (dafür aber auf die Schwingneigung umso mehr wie es uns Yalu so schön zeigte). Das gehört zu den Grundlagen von OPVs.

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