Ah, meinten Sie: "libmpc". Das sieht ja dann interessant aus 👍 Wer schon kann beweisen, dass sich in beliebigen Untiefen solcherlei Benoît -Ozeane nicht dennoch uns bisher unbekannte Kreaturen tummeln 😂.
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J. T. schrieb: > Johann L. schrieb: >> Die Dimension von M ist mindestens 2, weil M eine Kreisscheibe (mit >> Radius 1/4 um −1) enthält. > > Wobei man nach diesem Argument auch sagen kann, das Sierpinski-Dreieck > hat mindestens Dimension 2. weil es ein Dreieck enthält? Das Sierpiński-Dreieck enthält kein (im topologischen Sinne) offenes Dreieck, also funktioniert das Argument hier nicht. > Es ist ewig her, aber ich meine seine (Sierpinski-Dreieck) > Dimension war 1,irgendwas? Die (Ähnlichkeits-)Dimension war und ist immer noch log(3) / log(2), wie man leicht nachrechnet. Übrigens ist zwar M kein Fraktal, der Rand von M (der zu M hinzugehört) aber wohl: Der hat Dimension 2, was nach der Definition Hausdorff-Dimension > Topologische Dimension ein Fraktal ist.
Xeraniad X. schrieb: > Ah, meinten Sie: "libmpc". https://www.multiprecision.org/mpc/ Basiert auf bzw. benötigt MPFR und GMP.
Xeraniad X. schrieb: > Ah, meinten Sie: "libmpc". Das sieht ja dann interessant aus 👍 Ja genau, das meinte ich, danke für die Korrektur. Übrigens spricht man sich hier üblicherweise mit "du" an. Xeraniad X. schrieb: > Wer schon kann beweisen, dass sich in beliebigen Untiefen solcherlei > Benoît -Ozeane nicht dennoch uns bisher unbekannte Kreaturen tummeln 😂. Ich mag deine Formulierung! Aber völlig unbekannt werden sie wohl nicht sein, nur jeweils ein bischen anders. Auf der anderen Seite sollte unendlich mal ein bischen anders etwas völlig anderes ergeben :D Johann L. schrieb: > Das Sierpiński-Dreieck enthält kein (im topologischen Sinne) offenes > Dreieck, also funktioniert das Argument hier nicht. Da ist meine mathematische Ausdrucksfähigkeit leider nicht sattelfest genug, aber das mittlere Dreieck im Sierpinski-Dreieck ist doch unzerstückelt? Oder was ist genau mit einem offenen Dreieck gemeint? Johann L. schrieb: > Übrigens ist zwar M kein Fraktal, der Rand von M (der zu M hinzugehört) > aber wohl: Das klingt erstmal unlogisch. Wenn M durch alle Punkte gebildet wird, die auch nach unendlich vielen Iterationen betragsmäßig nicht "abhauen", der Rand ja aber gerade dadurch "entsteht" wie oft iteriert werden muss, damit der Betrag eben doch wegläuft, sollte der Rand doch eigentlich nicht zu M gehören? Anonsten danke ich dir für deine Ausführungen.
@ 11.01.2024 19:51
"Leicht nachzurechnen", gibt es denn auch eine bescheidene Hilfe, damit
sie dies auch nachvollziehen können, oder war Dein Text denn nicht doch
etwas "elitär" formuliert?
@ 11.01.2024 19:59
"...Übrigens spricht man sich hier üblicherweise mit \"du\" an." ->
Eine {persiflierte} Höflichkeitsform von Suchmaschinen von vor 10
Jahren ... {Danke für den Tipp}
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Xeraniad X. schrieb: > "Leicht nachzurechnen" https://de.wikipedia.org/wiki/Hausdorff-Dimension wimre sollte sich dort ein wenig dazu nachlesen lassen. Xeraniad X. schrieb: > {Danke für den Tipp} Gern geschehen, kein Problem P.S. Es gibt hier auch eine Zitatfunktion, einfach den Teil, auf den du dich beziehen möchtest markieren (linke Maustaste gedrückt halten und über den Text fahren), dann findest du am unteren Rand des jeweiligen Beitrags ein paar Links, dort den "markierten Text zitieren" auswählen. Dann wird ein Link erstellt erstellt, der einen direkt zu dem Beitrag führt, aus dem zitiert wurde.
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J. T. schrieb: > Johann L. schrieb: >> Das Sierpiński-Dreieck enthält kein (im topologischen Sinne) offenes >> Dreieck, also funktioniert das Argument hier nicht. > > Da ist meine mathematische Ausdrucksfähigkeit leider nicht sattelfest > genug, aber das mittlere Dreieck im Sierpinski-Dreieck ist doch > unzerstückelt? Das gehört aber nicht zum Sierpiński-Dreieck :-) > Oder was ist genau mit einem offenen Dreieck gemeint? https://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge > Johann L. schrieb: >> Übrigens ist zwar M kein Fraktal, der Rand von M (der zu M hinzugehört) >> aber wohl: > > Das klingt erstmal unlogisch. Wenn M durch alle Punkte gebildet wird, > die auch nach unendlich vielen Iterationen betragsmäßig nicht "abhauen", > der Rand ja aber gerade dadurch "entsteht" wie oft iteriert werden muss, > damit der Betrag eben doch wegläuft, sollte der Rand doch eigentlich > nicht zu M gehören? Ein Punkt P gehört zum Rand ∂M der Menge M, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung von P sowohl Punkte von M als auch Punkte des Komplements von M liegen. Für die Mandelbrotmenge gilt ∂M ⊂ M, der Rand von M ist also in M enthalten. Xeraniad X. schrieb: > "Leicht nachzurechnen", gibt es denn auch eine bescheidene Hilfe, damit > sie dies auch nachvollziehen können, Nimm eine Menge M mit Maß µ und Dimension d. Wenn man die Menge um den Faktor f aufbläht, dann hat sie Maß
Zum Beispiel hat eine doppelt so große Kugel das 8 = 2³ fache Volumen der ursprünglichen Kugel, weil sie Dimension 3 hat. Umgekehrt kann man das verwenden, um die Dimension selbstähnlicher Mengen zu bestimmen: Nimm zum Beispiel das Sierpiński-Dreieck, bzw. einen dreieckigen Ausschnitt davon, und blase den um den Faktor f=2 auf. Das Resultat enthält dann nicht 4 (wie bei Dimension 2) oder 2 (wie bei Dimension 1) Kopien des ursprünglichen Objekts, sondern 3. Nach obiger Formel ist dann
Ach, ich Schussel ich, hab ich diese Zitat Funktion seit über 10 Jahren nicht bemerkt ... habe Dank auch für den nützlichen Hinweis ...
Johann L. schrieb: > Ein Punkt P gehört zum Rand ∂M der Menge M, wenn in jeder noch so > kleinen Umgebung von P sowohl Punkte von M als auch Punkte des > Komplements von M liegen. Das verstehe ich als "Ein Randpunkt ist ein Punkt, der "direkt neben sich" sowohl Teile dessen hat, was er begrenzt, als auch Teile von dem, dass das Begrenzte umgibt", wäre das eine halbwegs passende unmathematische Formulierung? Johann L. schrieb: > Für die Mandelbrotmenge gilt ∂M ⊂ M, der Rand von M ist also in M > enthalten. Definition über Rekursion Die Mandelbrot-Menge M {\displaystyle \mathbb {M} } ist die Menge aller komplexen Zahlen c c, für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen z 0 , z 1 , z 2 , … {\displaystyle z_{0},z_{1},z_{2},\dotsc } mit dem Anfangsglied z 0 = 0 z_{0}=0 und dem Bildungsgesetz z n + 1 = z n 2 + c z_{n+1}=z_{n}^{2}+c beschränkt bleibt. Das heißt, eine komplexe Zahl c c ist Element der Mandelbrot-Menge M {\displaystyle \mathbb {M} }, wenn die Beträge der mit diesem c c berechneten z n z_{n} nicht über jede Grenze wachsen, unabhängig davon, wie groß n n wird. aus: https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge Da stehen zugegeben noch andere Definitionen/Herangehensweisen, aber die Definition über die Rekursion entspricht ja der die ich nutze. Ich hab bei der von dir genannten das folgende Vorstellungsproblem: Der Randbereich ergibt sich ja dadurch, das man zählt, wie viele Iterationen es braucht, bis der Betrag von Z*Z+C > 2 oder meinetwegen auch >>2 ist. Somit gibt es dann ja Punkte, deren Betrag explodiert, die aber ausschließlich von anderen Punkten umgeben sind, deren Betrag explodiert. Da sie nicht von M und !M umgeben sind, können sie aber nicht deren Rand sein. Wenn der Rand aber nicht der Rand ist, ist es doch wieder unbegrenzt? Man möge mir meine mangelnde Sattelfeste im mathematischen Formalismus nachsehen. Johann L. schrieb: > ∂M ⊂ M das "c" hab ich richtig als "ist Element von" interpretiert? Johann L. schrieb: > Xeraniad X. schrieb: >> "Leicht nachzurechnen", gibt es denn auch eine bescheidene Hilfe, damit >> sie dies auch nachvollziehen können, > > Nimm eine Menge M mit Maß µ und Dimension d. Wenn man die Menge um den > Faktor f aufbläht, dann hat sie Maßμ(f⋅M)=μ(M)⋅fd\mu(f\cdot M) = \mu(M) > \cdot f^d > Zum Beispiel hat eine doppelt so große Kugel das 8 = 2³ fache Volumen > der ursprünglichen Kugel, weil sie Dimension 3 hat. Umgekehrt kann man > das verwenden, um die Dimension selbstähnlicher Mengen zu bestimmen: > > Nimm zum Beispiel das Sierpiński-Dreieck, bzw. einen dreieckigen > Ausschnitt davon, und blase den um den Faktor f=2 auf. Das Resultat > enthält dann nicht 4 (wie bei Dimension 2) oder 2 (wie bei Dimension 1) > Kopien des ursprünglichen Objekts, sondern 3. > > Nach obiger Formel ist dann3=2d⟺d=log23 Es tut sehr gut zu sehen, dass es noch Leute gibt, die anständig diskutieren und erklären können. Dafür meinen allerherzlichsten Dank.
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Oh man, wenn man sich dann klarmacht, dass "das bunte Zeugs" gar nicht mehr dazugehört, löst sich der obige Knoten, und der Rand liegt da, wo das Schwarze aufhört und das Bunte losgeht. Allerdings trifft man auf den "echten" Rand erst, nachem man unendlich oft iteriert hat? Mit erhöhen der Iterationsschritte zieht man den Rand ja weiter nach innen, sozusagen.
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J. T. schrieb: > Oh man, wenn man sich dann klarmacht, dass "das bunte Zeugs" gar nicht > mehr dazugehört, Genau. > Allerdings trifft man auf den "echten" Rand erst, nachem man unendlich > oft iteriert hat? Unendlich oft hilft auch nix. Zum Beispiel gehört −2 zum M wegen 0 ↦ −2 ↦ 2 ↦ 2 ... und −2 gehört zu ∂M weil zum einen [−2,1/4] ⊂ M, zum anderen aber kein reelles z < −2 zu M gehört. In jeder noch so kleinen Umgebung von −2 liegen also sowohl Punkte von M als auch solche von ℂ\M. > Johann L. schrieb: >> ∂M ⊂ M > das "c" hab ich richtig als "ist Element von" interpretiert? "ist Teilmenge von" Zum originalen Thema: "Falsche" Formeln können auch ganz ansprechende Bildchen liefern, auch wenn da mathematisch nix weiter dahinter steckt: https://de.wikipedia.org/wiki/Burning_ship_(Fraktal)
Johann L. schrieb: > Unendlich oft hilft auch nix. Zum Beispiel gehört −2 zum M wegen > > 0 ↦ −2 ↦ 2 ↦ 2 ... Lustig ich wollt schon schreien, dass kann doch gar nicht sein, mein Gefühl hat mir irgendwie gesagt, das muss doch -2, 2, 4, 8 sein. Dann hab ich vorsichtshalber nochmal nachgerechnet :D Dann gibt es ja auch noch die Punkte, die in einer, ich nenne es mal Pseudoschleife, auf einen Punkt konvergieren. Wenn ich mich recht entsinne, geht die Länge der Schleife damit einher, in welcher Generation Submandelbrot man sich befindet. Da geht 3b1b in dem weiter oben verlinkten Video ziemlich detailier drauf ein. Dann gibt es noch Punkte, die eine echte Schleife durchlaufen, wie zb -1+0i, der immer zwischen 0+0i und -1+0i hin und her springt. Bei solchen Punkten ist ja offensichtlich dass sie dazu gehören. Aber die M besteht doch nicht nur aus Punkten, bei denen es so klar ist? Gibt es nicht auch Punkte, bei denen wirklich "erst nach unendlich vielen Iterationen" klar ist, ob er dazu gehört oder nicht? So gehört der Punkt -1+0.3i nach, ich glaube, 8 Iterationen noch zu M dazu, nach 9 stellt sich dann aber heraus, oh war wohl nix. Johann L. schrieb: > und −2 gehört zu ∂M weil zum einen [−2,1/4] ⊂ M, zum anderen aber kein > reelles z < −2 zu M gehört. In jeder noch so kleinen Umgebung von −2 > liegen also sowohl Punkte von M als auch solche von ℂ\M. Das macht mir wieder nen Knoten in Kopf :D. -2+0.25i ist doch schon ausserhalb des Kreises mit Radius 2? Ausserhalb des Kreises kann doch kein Punkt zu M gehören?
J. T. schrieb: > Dann gibt es ja auch noch die Punkte, die in einer, ich nenne es mal > Pseudoschleife, auf einen Punkt konvergieren. Wenn ich mich recht > entsinne, geht die Länge der Schleife damit einher, in welcher > Generation Submandelbrot man sich befindet. Der Orbit (also die Folge der Iterierten) eines Punktes im Innern von M nähert sich einem periodischen Zyklus an. Die Periode kann zum Beispiel abgelesen werden in https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_Set_%E2%80%93_Periodicities_coloured.png Dabei hat jeder Satellit seinen eigenen Multiplikator. Der Satellit an der Antenne hat zum Beispiel Multiplikator 3 (die Hauptmenge hat Multiplikator 1). > Aber die M besteht doch nicht nur aus Punkten, bei denen es so klar ist? > Gibt es nicht auch Punkte, bei denen wirklich "erst nach unendlich > vielen Iterationen" klar ist, ob er dazu gehört oder nicht? "Nach unendlich viel Iterationen" ist nicht sinnvoll definiert. Wenn es eine natütliche Zahl n gibt, so dass der Betrag der n-ten Iterierten ovn z größer als 2 ist, dann gehört z nicht zu M. Gibt es keine solche natürliche Zahl, dann gehört z zu M. Man kann also komplett auf "unendlich"-Formulierungen verzichten. Die von dir gewählte Definition von M ist diejenige, die am einfachsten für Visualisierungen zu verwursten ist; das bedeutet aber nicht, dasss mit dem Algorithmus alles entschieden werden kann. > Johann L. schrieb: >> und −2 gehört zu ∂M weil zum einen [−2,1/4] ⊂ M, zum anderen aber kein >> reelles z < −2 zu M gehört. In jeder noch so kleinen Umgebung von −2 >> liegen also sowohl Punkte von M als auch solche von ℂ\M. > > Das macht mir wieder nen Knoten in Kopf :D. -2+0.25i ist doch schon > ausserhalb des Kreises mit Radius 2? Ausserhalb des Kreises kann doch > kein Punkt zu M gehören? [−2,1/4] bezeichnet ein Intervall reeller Zahlen.
Johann L. schrieb: > [−2,1/4] bezeichnet ein Intervall reeller Zahlen. Oh, das macht die Sache dann deutlich weniger knotig. Johann L. schrieb: > Wenn es eine natütliche Zahl n gibt, so dass der Betrag der n-ten > Iterierten ovn z größer als 2 ist, dann gehört z nicht zu M. Gibt es > keine solche natürliche Zahl, dann gehört z zu M. Das fühlt sich irgendwie komisch an, damit wird die Unendlichkeit doch eigentlich nur "versteckt"? Denn wenn der Betrag nach n Iterationen nicht größer als 2 ist, heißt dass ja noch nicht dass er nach n+1 nicht doch größer wird. Von den Punkten die konvergieren oder Zyklen enden mal abgesehen. Mit der Definition kann man dann nur mit Sicherheit sagen, dass ein Punkt nicht dazu gehört? Oder wie bestimmt man, dass es eine solche natürliche Zahl nicht gibt? Eigentlich doch nur durch ausprobieren?
Hallo, erst gestern bin ich draufgestoßen. Und möchte was beitragen. Es wurde gesagt, dass wenn man ein Pixel iterieren möchte, das eine 10e-10 Koordinate hat dass dann 11 Nachkommastellen ausreichen würden. Das ist nicht genug. Es braucht min. 5-6 Stellen mehr wenn es auch nur ausreichend genau sein soll. Das verzwickte an Floatingpoint ist, dass es zwar bis >e-100 floaten kann, das nützt aber nichts weil die Genauigkeit von Anzahl der möglichen Digits abhängt (zB 18). Das ist Begründet, weil ein Iterationsverlauf immer zwischen 0,0 und 2,x wechseln kann. Bei einem großen Sprung fallen dann hinten relevante Kommastellen runter. Die wahre MBM kann nur erreicht werden, wenn beides, Iterationsanzahl und Rechenstellenanz. möglichst groß sind. Wenn man einen schnellen Iterator bauen möchte, dann ist sowas begrenzt und es kommen nur Bilder raus die mehr oder weniger Ähnlichkeit mit der MBM haben. Ich hab das alles ausgetestet, ihr könnt mal schauen: https://github.com/RudiMBM/DeepChaos Läuft auf Win7..10. Ist leider noch nicht perfekt. Ich habe eine neue Version angefangen. So manches, was hier noch keiner erwähnt hat ist zu finden: https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge Gruß Rudi
Rudi schrieb: > Es wurde gesagt, dass wenn man ein Pixel iterieren möchte, das eine > 10e-10 Koordinate hat dass dann 11 Nachkommastellen ausreichen würden. > Das ist nicht genug. Vermutlich, weil bei steigendem Zoomfaktor der Zoomfaktor selbst nur linear größer wird, die Auswirkung davon aber auf eine Fläche wirkt, und somit quadratisch eingehen dürfte. Das sind schon mal zwei unterschiedlich schnell wachsende Faktoren. Auch wird die Anzahl nötigen Iterationsdurchläufe immer größer, je näher du dem "wahren Rand" kommst. Hyperbolisches Wachstum? Rudi schrieb: > Die wahre MBM kann nur erreicht werden, wenn beides, Das ist halt die Frage, an der ich gerade auch ein wenig rumknabbere. Bei mir hängt es da irgendwie noch an der Unendlichkeit. Wobei Johann ja einen Weg aufgezeigt hat, sie zu vermeiden, auch wenn der mir noch nicht 100%ig einleuchtet. Rudi schrieb: > Iterationsanzahl und Rechenstellenanz. möglichst groß sind. Möglichst groß langt eben gerade nicht, meiner Meinung nach. Rudi schrieb: > Ich hab das alles ausgetestet, ihr könnt mal schauen: Hab ich auch alles schon xmal durch, und krame ich immer wieder mal hervor. Bei mir langt es z.Zt. bis Zoomfaktor 2^46, wobei ich gerade nicht ganz sicher bin, ob es ab (inklusive) 2^46 unbrauchbar wurde, oder ab der nächsten Verdopplung. Lustigerweise wurde es nicht pixelig, wie bei Xaos, sondern es wurden bunte horizontale Streifen. Wobei ich das einfach mal auf das Fest einprogrammierte Seiteverhältnis schieben würde.
Ja, es muß pixelich werden, wenn die Präzision steigt. Das habe ich erst festgestellt, als ich bei 10e-90 Auflösung angelangt bin. Dazu habe ich mir eine eigene Festkommalib mit 320 Bits gemacht. Du mußt dir vorstellen, jedes Pixel, das du berechnest, kann in unendlich viele Pixel aufgezoomt werden. Das bedeutet, wenn du an einer 10stelligen Koodinate rechnest, und die nachfolgenden Digits NUll sind, dann rechnest du nur in der Mitte des Pixels und das ganze Pixel wird so eingefärbt. Wenn du aber noch andere Ziffern hinter den 10 hast, dann berechnest du einen Ort, der nicht mehr in der Mitte des Pixels liegt und somit ein völlig anderes Ergebnis hat. Manche Programme glätten ihre Farbverläufe um das zu vermeiden, hat aber nix mit Mathe zu tun.
Rudi schrieb: > Ja, es muß pixelich werden, wenn die Präzision steigt. Andersrum wird ein Schuh draus. Wenn es pixelig wird, dann ist die Präzision nicht mehr ausreichend hoch. Rudi schrieb: > Du mußt dir vorstellen, jedes Pixel, das du berechnest, kann in > unendlich viele Pixel aufgezoomt werden. Und dann musst du dir vorstellen, jedes dieser unendlich vielen Unterteilungspixel kannst du wieder in unendlich viele aufteilen. Das ist ja gerade das Wesen der Unendlichkeit. Rudi schrieb: > Manche Programme glätten ihre Farbverläufe um das zu vermeiden, hat aber > nix mit Mathe zu tun. Hab ich auch schon mit rumgespielt, seltsame Artefakte in primitiven Weichzeichner, oder so ähnlich hieß der Thread damals.
Das mit dem Pixelich hast du falsch verstanden. Was du wahrscheinlich meinst sind Blockartefakte.
Rudi schrieb: > Das mit dem Pixelich hast du falsch verstanden. Was du wahrscheinlich > meinst sind Blockartefakte. Pixelig ist, wenn ein dargestelltes Pixel größer als ein physisches Pixel ist.
Rudi schrieb: > Das bedeutet, wenn du an einer 10stelligen Koodinate rechnest, > und die nachfolgenden Digits NUll sind, > dann rechnest du nur in der Mitte des Pixels und das ganze Pixel wird so > eingefärbt. Wenn du aber noch andere Ziffern hinter den 10 hast, dann > berechnest du einen Ort, der nicht mehr in der Mitte des Pixels liegt > und somit ein völlig anderes Ergebnis hat. Oversampling hilft da aber auch nicht weiter; nahe an M ist das Ergebnis der Berechnung nun mal chaotisch / pseudo-zufällig. > Manche Programme glätten ihre Farbverläufe um das zu vermeiden, hat aber > nix mit Mathe zu tun. Einen glatten Farbverlauf hann man forgendermaßen erhalten: Das Äußere von M ist conform äquivalent zum Äußeren der Kreisscheibe, d.h. es gibe eine konforme Funktion ψ so dass
Da man das elektrische Feld außerhalb einer elektrisch geladenen Einheitskreisscheibe (mit Gegenpol in ∞) kennt, so kennt man damit auch das elektrische Feld einer geladenen Mandelbrotmenge. Dabei entsprechen die Grenzen zwischen unterschiedlichen Iterationszahlen Äquipotentiallinien, bzw. lassen sich mit unerheblich mehr Rechenaufwand bestimmen. Weil das Potential (im mathematischen Sinne) glatt ist, enthält man einen ansprechenden, stetigen Farbverlauf wenn gewünscht. Damit lassen sich dann nicht nur Äquipotentiallinien darstellen, sondern auch Feldlinien: Die Feldlinien im Äußeren der Kreisscheibe transformieren sich ja ebenfalls mit ψ. Jedem Punkt von M lassen sich also Punkte [0, 2π) des Kreises zuordnen; manchmal auch als "external Angles" bezeichnet. Die Cuspe der Hauptmenge liegt zum Beispiel bei 0=2π, die Antennenspizte bei π, und die Einschnürung zwischen "Kopf" und "Leib" bei 2π/3 bzw. 4π/3.
Johann L. schrieb: > ψ∘fc∘ψ−1(z)=z2 Kannst du den nochmal bitte für nicht-Mathematiker übersetzen? Johann L. schrieb: > Weil das Potential (im mathematischen Sinne) glatt ist, Das Potential im mathematischen Sinne, oder glatt im mathematischen Sinne? Johann L. schrieb: > Damit lassen sich dann nicht nur Äquipotentiallinien darstellen, sondern > auch Feldlinien: Die Feldlinien im Äußeren der Kreisscheibe > transformieren sich ja ebenfalls mit ψ. Geht das dann in Richtung Buddhabrot? Mir war so, als hörte ich Feldlinien mal in dem Zusammenhang, hab mich mit dem Buddhabrot aber nur deutlich oberflächlicher als mit der Mandelbrotmenge befasst. Johann L. schrieb: > Jedem Punkt von M lassen sich also Punkte [0, 2π) Ich muss mich nochmal schlau machen, wie das mit den offenen und geschlossenen Grenzen bei den Intervallen war :D. Aber das 2pi wundert mich gerade wieder. Auf der Realachse geht M doch nur von -2 bis 0,irgendwas? Schön übrigens, dass so konstanter Input kommt, da ist SNR vom Thread ja doch wieder positiv geworden
J. T. schrieb: > Johann L. schrieb: > >> ψ∘fc∘ψ−1(z)=z2 > > Kannst du den nochmal bitte für nicht-Mathematiker übersetzen? Im Endeffekt bedeutet das: Wenn man das E-Feld um die eine Menge kennt, dann kennt man auch das E-Fald um die andere Menge (weil ψ konform ist). https://de.wikipedia.org/wiki/Konforme_Abbildung > Johann L. schrieb: >> Weil das Potential (im mathematischen Sinne) glatt ist, > > Das Potential im mathematischen Sinne, oder glatt im mathematischen > Sinne? Beides :-) https://de.wikipedia.org/wiki/Potential_(Physik) https://de.wikipedia.org/wiki/Glatte_Funktion > Johann L. schrieb: >> Damit lassen sich dann nicht nur Äquipotentiallinien darstellen, sondern >> auch Feldlinien: Die Feldlinien im Äußeren der Kreisscheibe >> transformieren sich ja ebenfalls mit ψ. > > Geht das dann in Richtung Buddhabrot? Nein, eher so wie hier: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandel_bd.jpg Das stellt quasi Feldlinien mit abbrechender Binärentwicklung dar (wobei die Adressiering von 0 bis 1 läuft, nicht von 0 bis 2π). Der äußere Kranz, der auf dem Bild noch erhennbar ist, hat 32 schwarz-weiße Felder, stellt also Bit −5 der Binärentwicklung der Adressen der durch die jeweiligen Felder laufenden Feldlinien dar. Je weiter man nach innen kommt, desto mehr Bits der Feldlinien werden dargestellt (Feldlinien hören natürlich nicht irgendwo auf und knicken auch nicht im rechten Winkel ab). Die Linien senkrecht zu den Feldlinien stellen (Teile von) Äquipotentiallinien dar. > Johann L. schrieb: >> Jedem Punkt von M lassen sich also Punkte [0, 2π) Ooopsi, Fehler von mir. Soll natürlich heißen "jedem Punkt IM RAND von "". > Ich muss mich nochmal schlau machen, wie das mit den offenen und > geschlossenen Grenzen bei den Intervallen war :D. > Aber das 2pi wundert mich gerade wieder. Auf der Realachse geht M doch > nur von -2 bis 0,irgendwas?
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Johann L. schrieb: > Die Linien senkrecht zu den Feldlinien stellen (Teile von) > Äquipotentiallinien dar. Und ist meine Vermutung richtig, wenn man sich von aussen kommend entlang so einer Feldlinie Richtung Rand bewegt, die Anzahl der Äquipotentiallinien hyperbolisch zunimmt? Ich komme irgendwie immer noch auf kein sinnvolles Verhältnis vom Zoomtiefe und maximaler Schrittzahl. Entweder werden die Submandelbrote viel zu undetailiert aber sie sie sind noch durch schwarze Bereiche verbunden. Oder sie werden detailliert, es kommt aber das Rauschen. Und die schwarzen Verbindungen gehen "verloren". Es stimmt doch aber, das alle Bereiche von M miteinander verbunden sind? So gehört ja der Punkt -0.75+0i zu M, wegen der "0.25-Kreis um -1+0i-Regel". Und dieser Punkt würde dann den großen zerdrückten Kreis mit dem Apfelpo mit dem 0.25-Kreis um -1+0i verbinden. Da gibt es doch sicher auch nen Ausdruck in der Mengenlehre für? Um hyperbolisches Wachstum zu "linearisieren" müsste man doch loglog (zu welcher Basis auch immer) anwenden? Falls ich mal wieder nen falschen Ausdruck verwenden sollte, exponentiell wäre ja, wenn bei jedem Schritt gleicher Länge die Zahl der Äquipotentiallinien verdoppelt würde, hyperbolisch wäre, wenn sich bei jeder Verdopplung zusätzlich die nötige Schrittlänge halbiert. So glaube ich zumindest
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J. T. schrieb: > Und ist meine Vermutung richtig, wenn man sich von aussen kommend > entlang so einer Feldlinie Richtung Rand bewegt, die Anzahl der > Äquipotentiallinien hyperbolisch zunimmt? Weiß jetzt nicht was du mit hyperbolisch meinst in dem Kontext. 1/x ist ne Hyperbel, sqrt(1+x²) ist auch ne Hyperbel. > Ich komme irgendwie immer noch auf kein sinnvolles Verhältnis vom > Zoomtiefe und maximaler Schrittzahl. Ist eigenrlich kein Problem wenn man alles in ner GUI macht bzw. Blick auf die (Zwischen)ergebnsse hat: Wenn die Anzahl der Iterationen offensichtlich zu klein ist, dann berechnet ma eben neu. Die Punkte, bei denen man schon erkannt hat, dass sie entkommen, braucht man ja nicht nochmals zu berechnen. > Oder sie werden detailliert, es kommt aber das Rauschen. > Und die schwarzen Verbindungen gehen "verloren". Das "Rauschen" kommt vermutlich daher, dass die Colorierung sich zu schnell ändert. Einfach eine langsamer wachsende Farbzuordnung wählen für die betroffenen Bereiche. (Geht auch wieder besser mit GUI, wo man in Echtzeit die Coloration ändern kann.) > Es stimmt doch aber, das alle Bereiche von M miteinander verbunden sind? Ja. M ist einfach zusammenhängend. D.h. zusammenhängend und hat keine Löcher. Soweit ich weiß ist M aber nicht wegzusammenhängend. > Da gibt es doch sicher auch nen Ausdruck in der Mengenlehre für? Ist Sache der Topologie :-) Gibt jedoch unterschiedliche Abstufungen bzw. Verfeinerungen des Begriffs https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum#Globale_Zusammenhangsbegriffe > Um hyperbolisches Wachstum zu "linearisieren" müsste man doch loglog (zu > welcher Basis auch immer) anwenden? In einer Umgebung von ∞ (also weit weg von M) gilt ja z²+c ≈ z², d.h. ein Iterationsschritt mehr führt zum quadrierten Betrag von z. n ↦ n+1 entspricht also z ↦ z². Nimmt man auf der rechten Seite Betrag und 2× ld (Logarithmus dualis), dann wird das zu ld(ld|z|) ↦ 1 + ld(ld|z|) und kann verwendet werden, um das Potential oder (gleitende) Farbverläufe zu erhalten: Angenommen, wir betrachten 100 als "weit weg" von M, und nach N Iterationen wird erkannt, dass ein Punkt nicht in M liegt weil |z| > 100, zum Beispiel |z| = 1000. Mit dem obigen Zusammenhang findet man: ld(ld(100)) = 2.732 ld(ld|z|) = 3.317 ld(ld|z|) - ld(ld(100)) = 0.585 Der Punkt wird also gefärbt gemäß N + 0.585 Iterationen. Das funktioniert aber nur in einer Umgebung von ∞, und ich sehe auch nicht, wie man daraus die Maximalzahl benötigter Iterationen ableiten könnte, die man braucht, um einen bestimmten Effekt zu erhalten.
Johann L. schrieb: > Weiß jetzt nicht was du mit hyperbolisch meinst in dem Kontext. 1/x ist > ne Hyperbel, sqrt(1+x²) ist auch ne Hyperbel. Hatte ich weiter unten noch erläutert, ich hab das mal im Zusammenhang mit dem Spiel "Hyperbolica" gehört. Da wurde es halt so erklärt, exponentiell verdoppelt bei jedem Schritt gleicher Schrittweite, hyperbolisch halbier zu jeder Verdopplung die nötige Schrittweite. Johann L. schrieb: > Das "Rauschen" kommt vermutlich daher, dass die Colorierung sich zu > schnell ändert. Einfach eine langsamer wachsende Farbzuordnung wählen > für die betroffenen Bereiche. (Geht auch wieder besser mit GUI, wo man > in Echtzeit die Coloration ändern kann.) Das war ja auch meine Vermutung, ich hatte mit es log(Durchlaufzahl) und loglog(durchlaufzahl) versucht. log wuchs noch zu schnell, und loglog war zu langsam. Es muss wohl irgendwo dazwischen liegen, oder ich muss noch mal mit der Basis herumexperimentieren. Johann L. schrieb: > Soweit ich weiß ist M aber nicht wegzusammenhängend. Da muss ich mich nochmal schlau machen, was das dann genau bedeutet. Aus dem Wikilink: Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. JA, das hat mich auch sehr überrascht, wenn es zusammenhängend ist, sollte sich doch auch ein zusammenhängender Weg finden lassen... Naja da muss ich mich wohl noch mal intensiver mit befassen. Ich hab gestern nochmal die Farbzuordnung per Farbtabelle implementiert, damit sieht es schon bedeutend besser aus. Vor allem lassen sich dann auch solche Spielereien besser umsetzen, dass man für einen Bereich von Interationsanzahlen die selbe Farbe vergeben kann, bei den ersten hundert Schritten bekommt jeder Schritt seine eigene Farbe, bei den nächsten 100 nur noch jeder 2te oder so in der Richtung. Wobei das im Endeffekt ja auch wieder in die Richtung Log(Iterationsanzahl) läuft, glaube ich. Nochmals vielen Dank für deinen Input, macht wirklich Spass so, solltest du dich mal in den Norden verirrst, fühle dich auf ein Bier o.ä. deiner Gusto eingeladen.
Auch interessant: Während dieser Diskussion stiegen die Zugriffe auf https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge um ca.50%! Bisheriger Durchschnitt lag bei ca.330 Zugriffen pro Tag. Am 14.1.24 waren es 485!
Rudi schrieb: > Auch interessant: > > Während dieser Diskussion stiegen die Zugriffe auf > https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge > um ca.50%! Bisheriger Durchschnitt lag bei ca.330 Zugriffen pro Tag. Am > 14.1.24 waren es 485! LOL, das ist tatsächlich eine interessante Info, danke dafür.
Rudi schrieb: > Während dieser Diskussion stiegen die Zugriffe auf > https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge > um ca.50%! Und der Weg zu den Statistiken: Wiki-Artikel -> Seiteninformationen -> Abrufstatistik https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&start=2023-11-01&end=2024-01-16&pages=Mandelbrot-Menge
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