Tiefpassfilter Übertragungsfunktion und Dämpfungsfaktor

[Owen S. (senmeis)]

Servus,

ich verstehe die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters wie folgt.

- 1. Ordnung: Der Polpunkt liegt auf der reellen Achse => 
Dämpfungsfaktor = 1
- Höhrere Ordnungen: Die Polpunkte könnten komplex konjugiert sein und 
je weiter von der reellen Achse desto weniger Dämpfungsfaktor.

Ist mein Verständnis soweit korrekt?

[Udo K. (udok)]

Nein. Je weiter von der imaginären Achse weg, je mehr Dämpfung. Pol auf 
der imaginären Achse == Sinusschwingung, rechte Halbeben == Abklingende 
Schwinung, linke Halbeben == exponential ansteigende Schwingung.

[Lutz V. (lvw)]

Etwas genauer:
Dämpfungsfaktor d=1/2Qp mit Qp=Polgüte.

Die Polgüte wird bestimmt durch den Winkel phi, den der Zeiger vom 
Nullpunkt zum Polpunkt mit der neg.reelen Achse bildet, und zwar: 
Qp=1/2cos(phi).

Der reine Abstand zu den Achsen sagt also noch nichts aus über die 
Dämpfung,  aber eher etwas über die Grenzfrequenz, genauer gesagt: Es 
ist die Länge des Zeigers, die der Polfrequenz entspricht.

Für phi=0 (Pol auf der negativ.reellen Achse) ist also Qp=1/2 ud d=1
Für phi=45 Grad ist Qp=0,7071 (Butterworth 2. Ordnung) mit einem Polpaar 
(konjugiert-komplex).
Andere Funktionen (Tscebysceff, Bessel,...) werden in ähnlicher Weise 
durch die Pogte Qp gekennzeichnet (Tabellen).

Grenzfall: Für phi=90 Grad ist Qp unenddlich (d=0) und wir haben den 
(theoretischen) Schwingfall.

[Wolfgang D. (blitz_f)]

Moin,
Pol in rechter Halbebene: Aufklingende Schwingung, linke: abklingend.

[David (simulant01)]

Hi,

ich glaube Lutz hat die Frage ja schon im Wesentlichen beantwortet. Als 
Ergänzung noch dieses Skript, in dem der Zusammenhang zwischen der 
Polposition und Systemverhalten schön dargestellt ist: 
https://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/PoleZero.pdf

Hier ist insbesondere Fig. 4 relevant, die auch nochmal als Screenshot 
angehängt habe. Man sieht, dass alle Pole in der linken Halbebene mit 
demselben Abstand zum Ursprung dieselbe Oszillationsfrequenz omega_n 
aufweisen. Die Dämpfung des Pols wird hingegen von der Position des Pols 
auf diesem Halbkreis bestimmt. Die Dämpfung zeta ist 0, wenn der Pol auf 
der imaginären Achse liegt. Und die Dämpfung zeta ist 1, wenn der Pol 
auf der reelen Achse liegt.

Noch einen schönen Abend

[Owen S. (senmeis)]

Danke. Butterworth Filter ist bekannt als maximally flat Filter. Ist der 
Dämpfungsfaktor vom Butterworth Filter immer größer als z.B. 
Tscebysceff?

[Lutz V. (lvw)]

Owen S. schrieb:
> Danke. Butterworth Filter ist bekannt als maximally flat Filter. Ist der
> Dämpfungsfaktor vom Butterworth Filter immer größer als z.B.
> Tscebysceff?

Die Polgüte Qp bei Butterworth ist (mit Qp=0.7071) immer kleiner als die 
von Tschebyscheff-Funktionen (die ja immer eine Überhöhung im 
Frequenzgang aufweisen). Damit ist der Dämpfungsfaktor d=1/2Qp immer 
größer bei Butterworth.

[Owen S. (senmeis)]

Danke.