Stochastik, Bedingte Wahrscheinlichkeit

[Georg M. (g_m)]

Urnenmodell, Ziehen mit Zurücklegen

Aus einer Urne, die zwei Kugeln enthält, wird eine Kugel gezogen und 
wieder zurückgelegt. Die gezogene Kugel ist weiß. Wie groß ist die 
Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?
Dieses Zufallsexperiment wird mehrmals wiederholt, wobei jedes Mal eine 
weiße Kugel gezogen wird.

1.Ziehung: weiß. P(beide weiß) = ?
2.Ziehung: weiß. P(beide weiß) = ?
3.Ziehung: weiß. P(beide weiß) = ?
4.Ziehung: weiß. P(beide weiß) = ?
. . .
. . .

[Michael L. (nanu)]

Georg M. schrieb:
> Urnenmodell, Ziehen mit Zurücklegen
>
> Aus einer Urne, die zwei Kugeln enthält, wird eine Kugel gezogen und
> wieder zurückgelegt. Die gezogene Kugel ist weiß. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?

Meinst Du das ernst oder willst Du die Leute auf den Arm nehmen? Und die 
Lösung findest Du nicht, obwohl das in jedem Lehrbuch zur 
Wahrscheinlichkeitsrechnung stehen dürfte?

[Marcel V. (mavin)]

Man kann dem Problem ganz praktisch entgegentreten. Bevor die gezogene 
Kugel zurückgelegt wird, nimmt man die zweite Kugel aus der Urne, um zu 
sehen welche Farbe sie hat. Dafür genügen schon zwei Handgriffe!

[Marcel V. (mavin)]

Von 9 gleichgroßen Goldkugeln ist eine gefälscht und wiegt weniger als 
die übrigen 8 Kugeln. Um herauszufinden, um welche Kugel es sich hierbei 
handelt, steht eine Waage mit zwei Waagschalen zur Verfügung. Wie kann 
die gefälschte Kugel durch nur zweimaliges Wiegen ohne Zuhilfenahme von 
Gewichten herausgefunden werden?

[Michael B. (alter_mann)]

Und jetzt bitte noch ein Streichholz-Umlege-Rätsel.🥱

[Marcel V. (mavin)]

Georg M. schrieb:
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?

Wenn bei 4 Ziehungen immer alle Kugeln weiß gewesen sind, dann beträgt 
die Wahrscheinlichkeit 80%, dass alle Kugeln weiß sind, denn bei der 
fünften Ziehung könnte ja doch noch die schwarze Kugel dabei sein!

Bei 99 weißen Ziehungen beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch 1 
Prozent, dass bei der 100. Ziehung doch noch die schwarze Kugel dabei 
ist!

[Marcel V. (mavin)]

Michael B. schrieb:
> Und jetzt bitte noch ein Streichholz-Umlege-Rätsel.🥱

Ja du gähnst, aber lös das mal!

Und ein Streichholzumlegerätsel könnte ich auch noch anbieten, sogar mit 
römischen Zahlen, für einen erhöhten Schwierigkeitsgrad!

[Mikro 7. (mikro77)]

Georg M. schrieb:>Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?

Ad hoc: Wenn eine schwarze dabei ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit n 
Mal weiße Kugeln zu ziehen 1:2^n. Also bspw. nach 10 Ziehungen ca. 0,1%; 
bzw. 99,9% Sicherheit dass beide weiß sind.

[Sheeva P. (sheevaplug)]

Marcel V. schrieb:
> Bei 99 weißen Ziehungen beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch 1
> Prozent, dass bei der 100. Ziehung doch noch die schwarze Kugel dabei
> ist!

Ich bewundere Deine Klugheit. Vielleicht können wir jetzt kurz einmal 
darüber nachdenken, was passiert, wenn beide Kugeln weiß sind. Danke. 
:-)

[Rbx (rcx)]

Michael B. schrieb:
> Und jetzt bitte noch ein Streichholz-Umlege-Rätsel.🥱

Wäre schöner, oben mal den Ereignisraum vernünftig aufzuzeichnen. Ist 
zwar nicht immer leicht, erleichtert aber die 
Wahrscheinlichkeitsrechnung ungemein.

Das Prinzip ist - genaugenommen ähnlich dem Münzwurf oder dem Roulette.
Bei einem Roulette-Spiel kann es ja auch sein, das 30 mal hintereinander 
die gleiche Farbe (Schwarz/Weiß) kommt. So ist also die 
Grundwahrscheinlichkeit erstmal ein halb bzw 50%. Das sagt dann aber 1. 
nicht über das tatsächliche Ergebnis und 2. kann man bei bestimmten 
Situationen auch Grundwahrscheinlichkeiten bestimmen, die dann in 
weiteren Rechnereien genutzt wird.
Wenn man von 3 Kugeln ausgeht, ist man schon beim Ziegenproblem, wo dann 
aber eher der Wechsel interessant ist.
Sind die eingesetzten Mengen im Ereignisraum unterschiedlich, kann man 
die Wahrscheinlichkeiten des Zugriffs danach bestimmen, da könnte man an 
Pferderennen, Formel 1 Rennen oder Wettervorhersagen denken.

Grundsätzlich werden die Wahrscheinlichkeitsrechnungen auch anders 
angegangen. Man zählt zuerst die Anzahl der möglichen Grundereignisse 
und schaut hinterher, welche Zusammenhänge man haben bzw. errechnen 
möchte.
Darüberhinaus sollte man sich auch mal über Erwartungswerte informieren.