Hallo Ich versuche gerade f'' + (1/t) * f' = 0 zu lösen. Leider irgendwie ohne Erfolg :-) - Charakteristisches Polynom: geht natürlich nicht, da nicht konstante Koeffizienten. - Integration beider Seiten: Auch nicht, da ich die Funktion ja nicht in der selben Ableitungsstufe habe. - Laplace-Transformation: Auch nicht, da die Anfangsbedingungen für f(0) nicht bekannt sind und somit wieder was ziemlich hässliches resultieren würde. Was gibt es denn noch für Methoden? Leider wurde sowas an der Uni noch nicht gross besprochen. Gruss Michael
Probier mal: 1.Substitution z=y' -> lineare, homogene DGL 1.Ordnung 2.Rücksubstitution
Die lineare, homogene DGL 1.Ordnung löst man übrigens z.B. so: y=c*exp(-F(t)) mit F(t) = Integral[f(t)dt)] Mist, ich muss jetzt wirklich mal Latex-Syntax lernen...
Für y' = c/x gilt die Dgl (ich gehe davon aus, dass Dein t keine Konstante, sondern Variable der Funktion ist) Wenn Du dies integrierst, erhälst Du y= clnx +d als mögliche Lösungsschar. Singuläre Lösungen gibt's wahrscheinlich auch noch. Keine 100%-Garantie, ist lange her, dass ich so etwas gelöst habe ...
Konkreter: Setze z=y' wie oben vorgeschlagen, das ergibt z' = -z*1/t Trennung der Variablen: z'/z = -1/t dz/z = -1/t dt integrieren ergibt ln z = - ln x + c, also z = -1/x* C mit C=e^c Also y' = -C/x Dies wieder integriert ergibt y= -C * ln x + d Wenn Du ganz genau sein willst/musst, gilt allerdings nach dem Integrieren ln|x| ... Falls Du Anfangsbedingungen hast, ist dies ggf. entbehrlich ... Müsste also stimmen ... ;-)
Ich hab das jetzt mal gerechnet, hatte gestern keine Zeit mehr. Ich bin der Meinung es gibt keine (außer der trivialen) Lösung aufgrund des Vorzeichens. Würde statt dem "+" da ein "-" stehen, wär sie lösbar.
Prüfe mal die Lösung, die ich angegeben habe: y = -Clnx + d y' = - C/x y''= C/x^2 Eingesetzt in die Dgl ergibt sich 0! (Übrigens geht auch y= +C*lnx +d, weiß nicht mehr, warum ich -C genommen habe ..)
Hallo Danke für eure Antworten! Die Lösung von Netbird ist korrekt, das sieht man durch einsetzen oder wenn man Maple fragt :-) Was ich aber nicht verstehe, ist dieses Posting von Dan Is: Beitrag "Re: lineare Differentialgleichung mit nicht-konstanten Koeff" > y=c*exp(-F(t)) mit F(t) = Integral[f(t)dt)] y ist ja gegeben durch f(t), dann hat man ja sozusagen einen Zirkelschluss. Aber sagt mal, wie findet man eigentlich raus, wie so eine Gleichung zu lösen ist? Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten gehen ja noch schon systematisch, aber für sowas braucht man schon ziemlich einen Richere?!? Gruss Michael
Ich hab mich da wohl etwas missverständlich ausgedrückt: Ich habe mit f(t) den "Vorfaktor" 1/t gemeint. >Aber sagt mal, wie findet man eigentlich raus, wie so eine Gleichung zu >lösen ist? Sowas hört man einmal in der Mathe-Vorlesung und schaut Jahre später irgendwo nach. Ich z.B. hab ein Skript, in dem stehen die wichtigsten DGLen und Lösungsmethoden drin. Als Beispiel die Lösung der homogenen, linearen DGL 1.Ordnung: Sie hat folgende Form: y' + f(x)*y = 0 und folgende Lösungen: I. y=0, triviale Lösung II. 3 Lösungsmöglichkeiten für die allgemeine Lösung: a) y=c*exp[-F(x)] mit F(x) = Integral(f(x)dx) dabei ist F(x) eine beliebige Stammfunktion fon f(x), d.h. die Integrationskonstante kann weggelassen werden b) "Trennung der Variablen", wie von Netbird gezeigt c) kennt man schon eine spezielle, nichttriviale Lösung y=u(x), so lautet die allgemeine Lösung: y = c*u(x), c € R
>eine beliebige Stammfunktion fon f(x)
von
Aua, ein Schreibfehler, der richtig schmerzt im entzündeten Auge ;-)
Hallo, manche Dgl lassen sich systematisch auf Integrationsprobleme zurückführen, zum Beispiel die Lösung durch Trennung der Variablen. Manchmal kann man einen brauchbaren Ansatz erkennen, indem man die Dgl genau analysiert, nimm z.B. ay'' + by' + cy = 0. Da hier eine Funktion, ihre erste und 2. Ableitung in einer Gleichung erscheinen, kommen Lösungsfunktionen in Frage, die sich (bis auf Faktoren) reproduzieren, etwa e^x, sinx, cosx. Manchmal hilft es,den Kontext zu betrachten: Obige Dgl taucht bei Schwingungen auf und diese lassen sich durch sin, cos beschreiben, haben aber auch (exponentielle) Dämpfung, also kommt e^x ins Spiel. Manchmal hilft der Bau weiter: Nimm Deine Dgl y' + 1/x * y = 0, dann sieht man, dass ein Polynom Lösung sein könnte, denn Grad(y') = Grad (y) -1, und genau diese Verminderung des Polynomgrades wird durch den Koeffizienten 1/x bewirkt. Welcher Polynomgrad für eine Lösungsfunktion in Frage kommt (und ob es überhaupt eine gibt), hängt von den in der Dgl vorkommenden Koeffizienten ab. Das Lösen setzt sich also oft aus einer Kombination von System, mathematischer Überlegung und Entstehungsgeschichte der Dgl zusammen. Deswegen mögen manche Mathematiker Dgl übrigens nicht, abgesehen davon, dass scheinbar leichte Probleme sehr schnell analytisch unlösbar werden, weil die Integration (Bestimmung geeigneter Stammfunktionen) nicht funktioniert, dann sind die numerischen Methoden gefragt, die die Dgl durch Berechnung von Punkten nähert... In diesem Sinne viel Vergnügen und hohen Wirkungsgrad
Offtopic-Frage: Wo taucht so ein Rechenproblem in der Praxis auf? Ich habe keine Vorstellung darüber, WAS man mit so etwas berechnen kann. Bitte nicht hauen, ich meine es ernst. ;-) MfG Erwin
> Offtopic-Frage: Wo taucht so ein Rechenproblem in der Praxis auf? Ich > habe keine Vorstellung darüber, WAS man mit so etwas berechnen kann. Ganz konkret meine Aufgabe oder Differentialgleichungen im allgemeinen? Mein Problem stammt aus einer Übungsaufgabe, es ging um eine radialsymmetrische Laplace-Funktion. Als noch nichts an sich praktisches. Differentialgleichungen im allgemeinen werden beispielsweise in der Physik oder Elektronik verwendet: Man kennt die Auswirkungen des "Zustandes" [f(x)] auf "Zustandsänderungen" [f'(x), f''(x), ...] oder umgekehrt, und möchte daraus eine explizite Funktion gewinnen. Beispiel Federpendel: Wir haben die Auslenkung x zur Zeit t. Die Feder übt auf die an ihr befestigte Masse eine Kraft proportional zur Auslenkung aus. Und diese Kraft wiederum führt zu einer Beschleunigung der Masse. Wir können also schreiben: m * x''(t) = -k * x(t) Das nennt man eine Differentialgleichung, und jetzt geht es eben darum x(t) zu finden.
Viele Formeln in der E-Technik sind so entstanden, dass die Systemgrößen analysiert wurden, das führt oft zu einer Differenzialgleichung. Deren Lösung ergibt dann die Formel, mit der Du arbeiten kannst. Beispiele: - Wie lädt sich ein Kondensator über einen Widerstand auf? -> Dgl 1. Ordnung, mit Trennung der Variablen lösbar - Wie verhält sich ein Schwingkreis, wenn er mit einer Wechselspannung angeregt wird? ... mit einem kurzen Spannungsimpuls? Lineare Dgl 2.Ordnung mit "Störfunktion" anstelle von 0 auf der rechten Seite. Führt zur Diskussion von Eigenfrequenz, Resonanz, Einschwingvorgängen ...
Aha. Ich danke Euch für diese Erläuterungen. Ich alter Zausel habe in meinem ganzen Berufsleben als stinknormaler Elektriker keine Differentialgleichungen "auf dem Tisch" gehabt. Die Sache mit dem Kondensator habe ich immer mittels Tau (nicht das Seil, sondern der griechische Buchstabe ;-)) gelöst. Für das zweite Problem nahm ich die Schwingungsgleichung von Thomson. Das Einzige, was mir nicht gelungen ist, war mal die Anpassung eines Reglers mit PID-Charakteristik an die Regelstrecke. Da hat der freundliche Kundendienstingenieur auch ein riesiges Gleichungssystem gebastelt und mir den K-Faktor errechnet. Alles klar, nun weiß ich wieder ein Stückchen mehr. MfG Erwin
Erwin schrieb:
>Ich alter Zausel habe in meinem ganzen Berufsleben als stinknormaler Elektriker
keine Differentialgleichungen "auf dem Tisch" gehabt. Die Sache mit dem
Kondensator habe ich immer mittels Tau (nicht das Seil, sondern der
griechische Buchstabe ;-)) gelöst. Für das zweite Problem nahm ich die
Schwingungsgleichung von Thomson.
Vollkommen in Ordnung, Erwin, aber woher kommt die Formel für Tau? Die
Lösung der Dgl ergibt die Aufladungsfunktion und man zeigt mit deren
Hilfe, dass nach etwa 5*Tau der Kondensator voll ist. Du als Anwender
hast es dann bequem :-)).
Als Schüler fand ich beim Radiobasteln die Frequenzkurve eines
Bandpassfilters toll. Im Studium wurde dann behandelt, wie man so etwas
durch Lösung von zwei gekoppelten Schwingungs- Dgl selbst berechnen (und
verändern) kann.
Na, da möchte ich lieber nicht dabei sein, wenn ein Bandfilter mittels Differentialgleichung berechnet wird. (GRINS*) Aber Du hast schon Recht; man verwendet Formeln, die man im Laufe der Zeit im Kopf hat und fragt sich gar nicht, wie die "einfache" Variante entstanden ist. Ich habe vor Jahren mal einen Bandpass mit 2 Operationsverstärkern berechnen müssen (für Packet-Radio). Das wäre bestimmt mit einer solchen Methode besser gegangen. MfG Erwin
Ok, ich denke, das Thema haben wir jetzt durch, es sei denn Mr.Chip hat noch Nachfragen ... ... und weg ...
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