digitales Filter - Frequenz f=17Khz unterdrücken

[NEWBIE (Gast)]

Guten Tag, ich hab das eine Z-Transformation vorliegen.
Nun möchte ich feststellen welche Frequenzen unterdrückt werden können, 
bzw.wie muss man fs wählen, damit die Frequenz f0=17lHz unterdrückt 
werden kann.

Warum w0=ws/2 bzw. w0=ws/3

Dies kann ich nicht nachvollziehen.

[NEWBIE (Gast)]

Kann dazu jemand was sagen, warum denn w0=ws/3 ?
Das kann ich überhaupt nicht erklären.

[Günter -. (guenter)]

NEWBIE wrote:
> Kann dazu jemand was sagen, warum denn w0=ws/3 ?
> Das kann ich überhaupt nicht erklären.

Erkläre doch mal warum w0=ws/2 ist?

Wenn du das erklären kannst, ist dann nicht der Weg zu w0=ws/3 der 
gleiche?

[NEWBIE (Gast)]

Ok. Die erste Nullstelle liegt bei Z=-1.

In die eulersche Formel umgewandelt, entspricht dies:

Z=e^(j*pi)=e^(j*wo*T) --> wo*T=pi --> wo=pi/T

Mehr verstehe ich da nicht.

Warum z.B.: Z=e^(j*3/2*pi) ?

[NEWBIE (Gast)]

Die anderen beiden Nullstellen liegen bei

Z=-1/2+j*wurzel(3/2)
Z=-1/2-j*wurzel(3/2)

Wenn ich hier den Betrag bilde, ist |Z|=1

[Günter -. (guenter)]

NEWBIE wrote:
> Die anderen beiden Nullstellen liegen bei
>
> Z=-1/2+j*wurzel(3/2)
> Z=-1/2-j*wurzel(3/2)
>
> Wenn ich hier den Betrag bilde, ist |Z|=1

So genau weiß ich das auch nicht mehr. Aber die Frage scheint zu sein, 
was der Winkel rho für Z1 ist.

Daher steht da:

$$Z_1 = e^{j\rho}$$

und wie du schon gesagt hast ist

$$Z_{1/2} = -\frac{1}{2} +/- \frac{1}{2} \sqrt{3}$$

Wenn man das jetzt eine Form davon nimmt -- z.B. die mit +1/2 -- und mit 
der ersten Form gleichsetzt, dann nach rho auflöst, sollte raus kommen 
das rho = 2 pi / 3 ist.

[Detlef _A (Gast)]

Das Zählerpolynom lautet
z^3+2*z^2+2*z+1

Die Nullenstellen dieses Polynoms liegen bei
z1= -1,  z1,z2=  -0.5+/-j*sqrt(3/4)=e^(+/- (2/3)*pi)
Die Nullstellen z1,2 haben den Winkel +/- (2/3)*pi und den Betrag 1, 
liegen also auf dem Einheitskreis, für diese Frequnzen kommt nichts 
durchs Filter durch. In der Z-Ebene entspricht der Winkel 2*pi auf dem 
Einheitskreis der Abtastfrequenz fs, pi der Nyquistfrequenz fs/2. Für 
die Frequenz 2/3pi entsprechend 17kHz soll das Filter sperren. 2*pi ist 
dreimal so groß wie 2/3*pi, also Abtastfrequnz 51kHZ, fettich is die 
Laube.

Cheers
Detlef

[NEWBIE (Gast)]

Ja und warum wurde für die unterdrückung der 17kHz nicht wo=ws/2 
verwendet?
Hier wird doch auch eine Frequenz unterdrückt.

[NEWBIE (Gast)]

Wie kommt man da drauf?

Z_{1/2} = -\frac{1}{2} +/- \frac{1}{2} \sqrt{3} = e^{j\3*pi/2}

[NEWBIE (Gast)]

Mir ist die Lösung noch immer nicht klar.

Warum e^(3*pi/2) ???

[Detlef _. (detlef_a)]

NEWBIE wrote:
> Ja und warum wurde für die unterdrückung der 17kHz nicht wo=ws/2
> verwendet?
> Hier wird doch auch eine Frequenz unterdrückt.

Das ist genau Nyquist. Wenn Du mit 34kHz abtastest kommt 17kHz auch 
nicht durch.

Cheers
Detlef

[Detlef _. (detlef_a)]

NEWBIE wrote:
> Wie kommt man da drauf?
>
> Z_{1/2} = -\frac{1}{2} +/- \frac{1}{2} \sqrt{3} = e^{j\3*pi/2}

Das stimmt ja auch nicht, da fehlt das j.
nochmal z1,z2=  -0.5+/-j*sqrt(3/4)=-0.5 +/- j*0.5*sqrt(3)=e^(+/- 
(2/3)*pi)
Das ist die Umwandlung einer komplexen Zahl von kartesischen Koordinaten 
zu Polarkoordinaten.

Bißchen z-Transformation und Rechnen mit komplexen Zahlen würde Dir 
weiterhelfen.

Cheers
Detlef

[NEWBIE (Gast)]

z1,z2=-0.5+/-j*sqrt(3/4)=-0.5 +/- j*0.5*sqrt(3)

---> dann erhalte ich dies hier: z1,z2=e^(+/-(1/3)*pi)

[NEWBIE (Gast)]

-sprt(3)/2*j
winkel=arctan(---------------)=+/- 60° ---> In Rad umgewandel: 
+/-(1/3)*pi
               -1/2

[NEWBIE (Gast)]

-sprt(3)/2*j
winkel=arctan(---------------)=+/- 60°
                -1/2


---> In Rad umgewandel: +/-(1/3)*pi

[NEWBIE (Gast)]

Das bedeutet nun, dass mit 51kHz als auch mit 34kHz die 17kHz (fo) nicht 
durchgelassen werden?

[Detlef _. (detlef_a)]

Beachte das Vorzeichen des Realteils, das ist nen '-'. Wenn man mal kurz 
nachdenkt, kann man auch so drauf kommen, daß eine komplexe Zahl mit 
negativem Realteil immer nen Winkel haben muß, der betragsmäßig größer 
als 90° ist.

Cheers
Detlef

PS: in Beitrag "Kennt ihr den schon?" hatte ich einen 
der drei mir bekannten Mathematikerwitze gepostet, der handelte just von 
nem Vorzeichenfehler, sehr amüsant, unbedingt mal lesen.

[NEWBIE (Gast)]

Ok Detlef -a, habs nun auch gecheckt.
Stimmte jetzt folgende aussage:
Das bedeutet nun, dass mit 51kHz als auch mit 34kHz die 17kHz (fo) nicht
durchgelassen werden.

Vielen Dank nochmals!