Bekomme Termumformung nicht hin :(

[Bruchrechner (Gast)]

Hallo,
Ich weiß, es ist dass falsche Forum, dennnoch dachte ich, es kann ja 
einen geben der das kann (Sicher trivial):

Wurzel (n+1) - Wurzel (n) = (n + 1 - n) / (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))

Bekomme die Termumformung nicht hin :( ...

Danke

[yalu (Gast)]

3. binomische Formel

[Thomas W. (thomasw)]

1. Term im Nenner rübermultiplizieren.
2. Verbleibende Klammer auf rechter Seite vereinfachen.
3. Term auf linker Seite = 3. binomische Formel -> trivial.
4. Verbleibender Term auf linker Seite vereinfachen.
5. Wunder der Mathematik bestaunen.

[Bruchrechner (Gast)]

Okay, danke. Zu trivial :(

(n + 1 - n) / (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))

1. Term im Nenner rübermultiplizieren.

(n + 1 - n) / (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))

(Wurzel (n+1) + Wurzel (n)) = (n + 1 - n)

2. Verbleibende Klammer auf rechter Seite vereinfachen.


(Wurzel (n+1) + Wurzel (n)) = 1

3. Term auf linker Seite = 3. binomische Formel -> trivial.

Hier hänge ich scon ... außerdem will ich eigentlich von der linken auf 
die rechte seite kommen . :(

4. Verbleibender Term auf linker Seite vereinfachen.
5. Wunder der Mathematik bestaunen.

[Karl H. (kbuchegg)]

Bruchrechner wrote:
> Okay, danke. Zu trivial :(
>
> (n + 1 - n) / (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))
>
> 1. Term im Nenner rübermultiplizieren.
>
> (n + 1 - n) / (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))
>
> (Wurzel (n+1) + Wurzel (n)) = (n + 1 - n)

Moment: Auf der linken Seite stand doch noch Wurzel(n+1) - Wurzel(n)
Das kannst du doch nicht einfach unter den Tisch fallen lassen.

[Bruchrechner (Gast)]

Ups misst:

Also nochmal.

Ich habe eine Folge gegeben:

Wurzel (n+1) - Wurzel (n)

Ich möchte Konvergenz zeigen.

Nun ist in der Musterlösung diese folge umgeformt worden zu

(n + 1 - n) / (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))

Diesen Schritt bekomme ich nicht hin.

[Karl H. (kbuchegg)]

Sry. Aber das ewige "Wurzel" Schreiben ist mir jetzt zu blöd. Ich
benutze "sqrt"

D.h. du möchtest den Ausdruck
  sqrt(n+1) - sqrt(n)
auf irgendetwas bringen in dem ein + vor der 2.ten Wurzel steht.

Na dann multiplizier das doch einfach mal mit sqrt(n+1) + sqrt(n)

  ( sqrt(n+1) - sqrt(n) ) * ( sqrt(n+1) + sqrt(n) )

  (sqrt(n+1))^2 - sqrt(n)sqrt(n+1) + sqrt(n)sqrt(n+1) - (sqrt(n)^2)

Die mittleren beiden Terme kürzen sich weg ...

  (sqrt(n+1))^2 - (sqrt(n)^2)

... und das Quadrat der Wurzel aus x ist wieder x selbst

  n+1 - n

Und da du am Anfang mit sqrt(n+1)+sqrt(n) multiplizert hast, musst
du das jetzt natürlich wieder rückgängig machen

                              n + 1 - n
  sqrt(n+1) - sqrt(n) =   ---------------------
                            sqrt(n+1) + sqrt(n)

qed

[yalu (Gast)]

Das Ganze nochmal in schön (hatte gerade Bock darauf, obwohl mit Karl
heinz' Beitrag schon alles gesagt ist):

$$\sqrt{n+1}-\sqrt n = \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)} {\sqrt{n+1}+\sqrt n} =$$

$$=\frac{{\sqrt{n+1}\,}^2-{\sqrt n\,}^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$

1. Schritt: Erweiterung mit der Summe der Wurzeln
2. Schritt: Anwendung der 3. binomischen Formel auf den Zähler
   (Alternative: Ausmultiplizieren und Vereinfachen)
3. Schritt: Quadrieren der Wurzeln -> übrig bleiben die Radikanden

[winne (Gast)]

>Wurzel (n+1) - Wurzel (n) = (n + 1 - n) / (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))


gibt mit (n + 1 - n) = n-n+1 = 1


Wurzel (n+1) - Wurzel (n)= 1/(Wurzel (n+1) + Wurzel (n))

mit nenner der rechten seite multiplizieren
gibt

(Wurzel (n+1) + Wurzel (n))*(Wurzel (n+1) - Wurzel (n))=1

Seiten tauschen

1= (Wurzel (n+1) + Wurzel (n))*(Wurzel (n+1) - Wurzel (n))


ausmultiplizieren

(Wurzel (n+1)*(Wurzel (n+1) + Wurzel (n)*(Wurzel (n+1)-(Wurzel 
(n+1)+Wurzel (n)-Wurzel (n)*Wurzel (n)

vereinfachen

(Wurzel (n+1)² + Wurzel (n)*(Wurzel (n+1)-(Wurzel (n+1)*Wurzel 
(n)-(Wurzel (n))²


weiter vereinfachen
(Wurzel (n+1)²=n+1    //  Wurzel (n)*(Wurzel (n+1)-(Wurzel (n+1)*Wurzel 
(n)=0   //   (Wurzel (n))²=n


(n+1) - n = 1

links umsortieren

n-n+1=1

1=1

w.z.b.w

[winne (Gast)]

Achtung Zeilenumbruch im vorigen Beitrag erfogt an den falschen 
Positionen.

im anhang Konvergenzbeweis.txt