Hallo Leute, wenn ich partielle Ableitung gleich 0 setze, zB df/dx = 0 dann bekomme ich für ein festes y, Maxima oder Minima in der xz Ebene. Natürlich ist das kein lokales Hoch oder Tief auf die Fläche unter xy Ebene. Aber diese Gleichung hat eben 2 Unbekannte, x und y. Wenn ich dasselbe Spiel für df/dy mache, dann bekomme ich 2 Gleichungen. Ist die Lösung dieses Gleichungsystems die Lösung? Irgendwie hatte ich nach der Schule keine Zeit gehabt die Ideen auf mehr Dimensionen auszuweiten^^ Aber müsste glaube ich so stimmen. Kann das jemand bestättigen? Grüsse, Daniel
Wenn Du im Eindimensionalen als Ableitung (z.B. df(x)/dx) = 0 hast (diff.bare Funktion vorausgesetzt!!), so sagt das ja noch nicht aus, dass ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt; als Beispiel: x^3 hat bei x=0 eine Null-Ableitung, aber kein Extremum. Eine Null-Ableitung ist aber eine notwendige Voeraussetzung, es müssen also noch andere Kriterien untersucht werden (zweite Ableitung ungleich NULL). Im Zweidimensionalen ist es ähnlich, es kommen aber noch zusätzliche Probleme wie z.B. Sattelpunke hinzu. Hier zeigt die Summe der beiden partiellen Ableitungen immer in Richtung maximale Steigung. Also hast Du als notwendiges Kriterium dann ein Extremum, wenn beide partiellen Ableitungen Null sind. Für eine hinreichende Bestätigung brauchst Du aber die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Mach Dir vieleicht mal einfache Skizzen um Dir den Sachverhat klar zu machen, ist einfacher als man annimmt. Gruss Jörg
also du ermittelst für df/dx alle nullstellen, ebenso für df/dy. wenn du das für -oo <= x,y <= +oo machen möchtest, also in der kompletten ebene die minima/maxima finden willst, bist du beinahe fertig, du musst nur noch schauen, ob für x => +oo, y => +oo, x => -oo und y => -oo die funktion gegen einen höheren/niedrigeren wert geht, als bei den ermittelten minima/maxima. wenn du für ein intervall von x und y die lokalen minima/maxima machen willst, machst du wiederum die richtungsableitungen und bestimmst deren nullstellen, da sind aber jetzt nur die im intervall interessant. dann machst du die ableitungen für die kanten, sprich du setzt in die gleichung eine kante ein und machst die ableitung nach der verbleibenden variablen. hast du dort eine nullstelle, musst du diese auch ausrechnen. das amchst du für alle 4 kanten und zum schluss noch für alle 4 ecken. die funktionswerte an diesen koordinaten berechnest du und vergleichst sie. prinzipiell geht das auch für höhere dimensionen, ist aber dann deutlich aufwändiger
Mögliche Extrema bekommt man also durch den Test df/dx=0,df/dy=0. Bleiben also noch die zweiten Ableitungen (Annahme: f ist zweimal stetig diff.bar). Die zweiten Ableitungen lassen sich zu einer Bilinearform zusammenfassen: Ableitung in (x,y)-Richtung = ( fxx fyx ) (x) (x,y) * ( ) * ( ) ( fxy fyy ) (y) = (x,y) M (x,y)^T (z.B. x=cos(w),y=sin(w), w = Richtung im Bogenmass). Wenn jetzt M positive Eigenwerte hat, dann ist M positiv definit, sind beide Eigenwerte negativ, dann ist M negativ definit. Im ersten Fall liegt dann ein MINIMUM vor, im zweiten Fall ein MAXIMUM. Im Mehrdimensionalen ist es genauso, nur dass Eigenwerte dann wesentlich schwerer zu bestimmen sind. Gruss Jörg
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