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Forum: Offtopic Beweis : Kreisumfang proportional zum Radius


Autor: Markus (Gast)
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Hallo,

ich suche einen Beweis, das bei einem Kreis gilt: U=2*Pi*r
leider finde ich nur so pseudo-Beweise im INternet.

Danke für die Hilfe,
Markus

Autor: Daniel S. (theoretiker)
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wenn's nur um die Proportionalität geht,
unter der Beibehaltung einer 2 dimensionaler Form,
kann der Umfang dieser 2 dimensionaler Form nur
linear anwachsen.

Analog die Fläche prop. zu x^2.

Man darf nur die Form nicht drehen, und quasi immer
in dieselbe Richtung schauen.

Autor: Markus (Gast)
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"unter der Beibehaltung einer 2 dimensionaler Form,
kann der Umfang dieser 2 dimensionaler Form nur
linear anwachsen.
"

Warum?

Autor: Morin (Gast)
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Die Proportionalität an sich bekommst du auf langem Weg über die 
Exponentialfunktion in komplexen Zahlen. Was die 
Proportionalitätskonstante angeht, haben wir damals in der 
Mathevorlesung sogar die Zahl PI auf diesem Weg erst definiert.

Einfachere Wege gibt es meines Wissens nicht, da diese immer von einer 
Definition des Wortes "Kreis" ausgehen, wo das 2*PI*r schon direkt drin 
steckt.

Autor: Spötter (Gast)
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Näherungsverfahren: n-Eck, den Kreis umschliessend oder innenliegend, n 
gegen unendlich gehen lassen, bringt Pi, oder so ähnlich ...

Autor: Morin (Gast)
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@Spötter: Wie bekommst du die Koordinaten der Eckpunkte? Sinus und 
Cosinus sind nicht erlaubt, sonst hast du einen Zirkelschluss.

Autor: Stefan Helmert (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)
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Hallo,

der Kreis ist so definiert:
r² = x² + y²
jetzt kann man mit Hilfe analytischer Methoden die Kurvenlänge u für 
eine Umrundung berechnen.

Autor: Daniel S. (theoretiker)
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>warum?

R(phi)=R(phi+2pi)

definiert eine geschlossene 2D-Form

du = R(phi)*dphi

Umfangselement

u = integral{0,2pi}R(phi)*dphi

Eine Skalierung der 2D-Form mit a =>
Rneu(phi) = a*R(phi)

a von phi unabhängig und kann aus dem Integral
rausgezogen werden. u_neue = a*u

--
letztendlich ist egal ob ich 2pi oben benutze oder nicht
ich könnte auch eine Umdrehung in 400 fingernägelspalten einteilen :)
man könnte diese Einteilung metrisch aquidistant vornehmen,
aber die Linienform nicht kreisförmig nehmen, und jeden Abschnitt
ein Fingernägel nennen .. wie man halt drauf ist.

Grüsse

Autor: Chris (Gast)
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> Näherungsverfahren: n-Eck, den Kreis umschliessend oder innenliegend, n
> gegen unendlich gehen lassen, bringt Pi, oder so ähnlich ...

Dann muss man aber auch noch zeigen, dass das tatsächlich gegen den Term 
mit pi konvergiert, und das ist nicht immer so einfach.

Klassisches Gegenbeispiel zur Konvergenz in der Geometrie ist die 
Treppe: Man möchte vom Ursprung (0,0) zum Punkt (1,1) und darf dabei nur 
vertikal nach oben und horizontal nach rechts laufen. Dann legt man 
grundsätzlich eine Strecke der Länge 2 zurück, egal, wie der Weg 
aussieht. Man kann aber sehr leicht eine Folge von Wegen konstruieren, 
die gegen die Diagonale "konvergiert". Die Diagonale hat jedoch Länge 
sqrt(2) (= ca. 1,41), die Folge konvergiert jedoch eindeutig gegen die 
Länge 2, weil jedes Folgenglied die Länge 2 hat.

Autor: I_ H. (i_h)
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Der Beweis ist recht sinnfrei, weil Pi historisch überhaupt erst über 
den Proportionalitätsfaktor zw. Radius und Umfang definiert wurde. Zeige 
die Definition ohne die Definition zu benutzen geht nunmal net.

Es gibt heute viele Rechnungen bei denen Pi rauskommt, aber die basieren 
mehr oder weniger auf der Definition.

Man kann zeigen, dass es eine unendliche Reihe gibt die den Kreisumfang 
annährt. Und man kann diese Reihe als Pi definieren. Man kann auch 
zeigen, dass andere unendliche Reihen auch gegen Pi konvergieren.
Aber ohne den Proportionalitätsfaktor zwischen Kreisradius und Umfang 
reinzustecken, kann man nicht beweisen, dass selbiger Pi entspricht.


PS @Chris

Im unendlichen gilt das aber nicht mehr, da müsste wirklich sqrt(2) 
rauskommen. Gibt sonst einen Widerspruch, weil im unendlichen nur Punkte 
der Diagonale dazugehören. Also kannst du die Punktmenge mit der 
Diagonalengleichung beschreiben, und die hat nunmal die Länge sqrt(2).

Ist dann das klassische Problem von n*länge, mit n gegen unendlich und 
länge gegen 0. unendlich*0 ist nicht so einfach "lösbar".

Autor: Spötter (Gast)
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Mathe hatte ich sogar im Abi ( erstens war ich da nicht völlig schlecht, 
zweitens wäre ich auf der Schleimspur unserer Philosophen ständig 
ausgerutscht ), aber Beweisverfahren habe ich immer gehasst !

Stichwort: "Tod durch vollständige Induktion".

Und ob Pi eine irrationale, nicht-reelle, auch nicht kplx. Zahl ist, ist 
mir völlig egal.
Solange in Nachrichtensendungen regelmässig "Million" und "Milliarde" 
verwechselt werden, reicht für Pi allemal die Näherung 3,14 .

Gruss

Autor: I_ H. (i_h)
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Sachen zu beweisen ist eigentlich recht erfrischend. Allerdings wird das 
in der Schule nie gut gelehrt, da hab ich das auch gehasst. Da lernt man 
auch garnicht wie es geht, sondern man soll es halt einfach machen.

Wenn man dann mal einige Sachen hintereinander bewiesen hat (und nicht 
nur banales trallala sondern elegante Beweise) und sich einmal 
reingefunden hat, ist es eigentlich kein Problem mehr. Ist halt nur 
logisches Denken und Intuition.

Autor: Chris (Gast)
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> Im unendlichen gilt das aber nicht mehr, da müsste wirklich sqrt(2)
> rauskommen. Gibt sonst einen Widerspruch, weil im unendlichen nur Punkte
> der Diagonale dazugehören. Also kannst du die Punktmenge mit der
> Diagonalengleichung beschreiben, und die hat nunmal die Länge sqrt(2).
>
> Ist dann das klassische Problem von n*länge, mit n gegen unendlich und
> länge gegen 0. unendlich*0 ist nicht so einfach "lösbar".

Da hat man nicht unendlich*0, sondern die Länge der Treppe ist
konstant 2. Mit welcher Begründung sollte die "im unendlichen" plötzlich 
auf sqrt(2) springen?


Der mathematische Hintergrund ist, dass diese Treppenkurve zwar in der 
Ebene gegen die Diagonale konvergiert, diese Konvergenz sich aber eben 
nicht auf die Länge überträgt. Um wieder auf pi zurückzukommen: Man kann 
also nicht den Umfang eines n-ecks betrachten und dann n->unendlich 
gehen lassen, ohne korrekt zu begründen, warum die Länge in diesem 
speziellen Fall ebenfalls konvergiert. Im Allgemeinen überträgt sich die 
Konvergenz einer Kurve eben nicht auf deren Länge.

Autor: Max (Gast)
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Mit ein bisschen Trigonometrie komme ich auf die Formel

PI= n*sin(360/2n)

wobei n dann ja gegen unendlich strebt
liefert doch schon einen ganz guten Rundungswert bei n = 1 000 000

Autor: I_ H. (i_h)
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Na die Länge der Gesamtstrecke ist doch n*s, wobei n die Anzahl der 
Treppenteile, und s deren jeweilige Länge ist.

Außerdem ist die Länge eines Treppenteils ja offensichtlich 2/n. Das 
ergäbe, wenn man einsetzt, konstant 2. Im unendlichen kann man da aber 
keine Aussage mehr treffen n*2/n für n unendlich lässt sich nicht 
berechnen.

Für endlich viele Treppen ist deine Aussage wahr, im Unendlichen aber 
nicht. Ist übrigens oft so, daher auch Formulierungen ala "[...] 
beliebig aber endlich [...]".

Andererseits lässt sich halt beweisen, dass im unendlichen nur die 
Punkte mit den Treppen abgedeckt werden, die zur Diagonale gehören. Das 
heist die Treppen sind die Diagonale. Und deren Länge ist bekanntlich 
Wurzel 2.

Einfache Überlegung dazu: Der max. Abstand den ein Punkt von der 
Diagonalen hat beträgt sqrt(2*s) bzw. sqrt(2)*sqrt(s), verhält sich also 
proportional sqrt(s) und damit proportional sqrt(1/n).
Jeder Punkt der nicht auf der Diagonalen liegt hat einen Abstand d>0 von 
dieser. Nun lässt sich für jedes d>0 ein n>0 finden, mit sqrt(1/n)<d. 
Sprich jeder Punkt außerhalb der Diagonalen liegt irgendwann nicht mehr 
auf einer der Strecken der Treppe.


Ein vielleicht etwas anschaulicheres Phänomen: 3.9 periode 9 ist gleich 
4.

Autor: Chris (Gast)
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> Im unendlichen kann man da aber
> keine Aussage mehr treffen n*2/n für n unendlich lässt sich nicht
> berechnen.

Doch, es lässt sich berechnen. Nach dem üblichen Konvergenzbegriff in 
den reellen Zahlen gilt lim_{n->unendlich} n*2/n = 2.
Nachzulesen in jedem Analysis-Buch, das den limes mathematisch korrekt 
einführt. In diesem Fall ist nichts undefiniert.
Eine korrekte Konvergenz-Aussage dieser Folge wäre zum Beispiel "für 
jedes reelle epsilon > 0 gibt es eine natürliche Zahl N > 0, sodass für 
alle n > N gilt:
|n*2/n - 2| < epsilon". Dieses N existiert offensichtlich, wähle N=1.


Weiter unten hast du mit einem ähnlichen Konvergenzbegriff bewiesen, 
dass die Treppenkurve in der Ebene punktweise gegen die Diagonale 
konvergiert. Das ist auch korrekt, sie konvergiert. Die Länge 
konvergiert ebenfalls, aber halt gegen 2, wie ich oben bewiesen habe.
Aus der Konvergenz der Kurve in der Ebene folgt eben nicht, dass die 
Länge ebenfalls gegen die Länge der Grenzkurve konvergiert. Die kann 
gegen etwas völlig anderes konvergieren, wie sie es in diesem Fall auch 
tut.

Autor: I_ H. (i_h)
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Das war die Absicht, dass das dem Grenzwert einer Folge entspricht ;).

Bleibt halt folgende Frage: Die Punktmenge ist gleich derer der 
Diagonale, den Streckenlängen ordnest du aber unterschiedliche Werte zu. 
Das ist so ein Widerspruch, also irgendwo sitzt ein Fehler oder eine 
Ungenauigkeit drinnen.

Wenn man die Punktmenge nach R^1 abbildet ergibt sich die Streckenlänge 
zweifelsfrei zu sqrt(2).
Noch besser wird es folgendermaßen: Nimm keine richtige Treppe, sondern 
eine mit "abgeschrängten Kanten". Also wo du normalerweise anschaulich 
zB. a nach rechts und a nach oben gehst, gehst du a/2 nach rechts, a/2 
rechts + a/2 nach oben, und dann a/2 nach oben.
Für die Streckenlänge s bei einer Stufe gilt offensichtlich sqrt(2)<s<2. 
Wenn du das aber in's unendliche Treibst, hast du auch die Diagonale.

Offensichtlich ist die Gesamtstrecke über n*s(n) im Unendlichen also 
unbrauchbar.
Wenn man jetzt aus dem R^1 auf die Strecke in R^2 abbildet, bekommt man 
in jedem Fall sqrt(2) raus - und exakt 2 für jedes endliche n im 1. Fall 
und irgendwas zwischen sqrt(2) und 2 im 2. Fall.

Die Punktmenge um die es geht ist übrigens auch nur ein Grenzwert, für 
n->unendlich.

Autor: I_ H. (i_h)
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Nun die Auflösung der Sache (hatte es aber auch nicht gesehen, musste 
fragen):

Das Problem ist, dass die Wegfunktionen in R^2 nicht stetig sind.
Dadurch existiert der Grenzwert der Form lim(n->infty) n*s(n) mit s(n) 
Weglänge pro Abschnitt bei n Abschnitten insg. nicht, und n*s(n) kann 
man nur für endliche n berechnen. sqrt(2) stimmt also schon.

Autor: Εrnst B✶ (ernst)
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nach Pi auflösen?

Autor: I_ H. (i_h)
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Eine Möglichkeit PI zu berechnen geht übrigens folgendermaßen:

Auf dem Einheitskreis für positives y lässt sich ein zu x gehöriger 
Punkt über f(x):=sqrt(1-x^2) errechnen.
Nun kann man den Kreisausschnitt in n Teile zerlegen und deren Länge 
über Geraden approximieren. Also zB. so:

l(n):=Summe(i=1..n) sqrt([g(1/n*(i-1))-g(1/n*i)]^2 + 
[f(1/n*(i-1))-f(1/n*i)])

Für n->unendlich geht das gegen den halben Umfang und damit PI/2. Nun 
ist damit aber nicht bewiesen, dass das PI ist, sondern es gilt 
PI:=lim(n->infty) l(n), wobei der Limes auch nicht ganz unproblematisch 
ist. Anschaulich gesprochen gehen die Knicke in der Funktion für 
n->unendlich aber gegen 0, desswegen funktioniert das so.



@Ernst Bachmann

sqrt(-1) ist i, und damit hast du letztendlich sin und cos drinnen. Im 
Endeffekt läuft das natürlich auf eine unendliche Reihe bzw. Folge 
hinaus, aber sin und cos waren ja oben nicht erwünscht. Wobei es ansich 
recht egal ist, denn anders als über Folgen/Reihen geht's nicht.

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