Hallo, ich suche einen Beweis, das bei einem Kreis gilt: U=2*Pi*r leider finde ich nur so pseudo-Beweise im INternet. Danke für die Hilfe, Markus
wenn's nur um die Proportionalität geht, unter der Beibehaltung einer 2 dimensionaler Form, kann der Umfang dieser 2 dimensionaler Form nur linear anwachsen. Analog die Fläche prop. zu x^2. Man darf nur die Form nicht drehen, und quasi immer in dieselbe Richtung schauen.
"unter der Beibehaltung einer 2 dimensionaler Form, kann der Umfang dieser 2 dimensionaler Form nur linear anwachsen. " Warum?
Die Proportionalität an sich bekommst du auf langem Weg über die Exponentialfunktion in komplexen Zahlen. Was die Proportionalitätskonstante angeht, haben wir damals in der Mathevorlesung sogar die Zahl PI auf diesem Weg erst definiert. Einfachere Wege gibt es meines Wissens nicht, da diese immer von einer Definition des Wortes "Kreis" ausgehen, wo das 2*PI*r schon direkt drin steckt.
Näherungsverfahren: n-Eck, den Kreis umschliessend oder innenliegend, n gegen unendlich gehen lassen, bringt Pi, oder so ähnlich ...
@Spötter: Wie bekommst du die Koordinaten der Eckpunkte? Sinus und Cosinus sind nicht erlaubt, sonst hast du einen Zirkelschluss.
Hallo, der Kreis ist so definiert: r² = x² + y² jetzt kann man mit Hilfe analytischer Methoden die Kurvenlänge u für eine Umrundung berechnen.
>warum?
R(phi)=R(phi+2pi)
definiert eine geschlossene 2D-Form
du = R(phi)*dphi
Umfangselement
u = integral{0,2pi}R(phi)*dphi
Eine Skalierung der 2D-Form mit a =>
Rneu(phi) = a*R(phi)
a von phi unabhängig und kann aus dem Integral
rausgezogen werden. u_neue = a*u
--
letztendlich ist egal ob ich 2pi oben benutze oder nicht
ich könnte auch eine Umdrehung in 400 fingernägelspalten einteilen :)
man könnte diese Einteilung metrisch aquidistant vornehmen,
aber die Linienform nicht kreisförmig nehmen, und jeden Abschnitt
ein Fingernägel nennen .. wie man halt drauf ist.
Grüsse
> Näherungsverfahren: n-Eck, den Kreis umschliessend oder innenliegend, n > gegen unendlich gehen lassen, bringt Pi, oder so ähnlich ... Dann muss man aber auch noch zeigen, dass das tatsächlich gegen den Term mit pi konvergiert, und das ist nicht immer so einfach. Klassisches Gegenbeispiel zur Konvergenz in der Geometrie ist die Treppe: Man möchte vom Ursprung (0,0) zum Punkt (1,1) und darf dabei nur vertikal nach oben und horizontal nach rechts laufen. Dann legt man grundsätzlich eine Strecke der Länge 2 zurück, egal, wie der Weg aussieht. Man kann aber sehr leicht eine Folge von Wegen konstruieren, die gegen die Diagonale "konvergiert". Die Diagonale hat jedoch Länge sqrt(2) (= ca. 1,41), die Folge konvergiert jedoch eindeutig gegen die Länge 2, weil jedes Folgenglied die Länge 2 hat.
Der Beweis ist recht sinnfrei, weil Pi historisch überhaupt erst über den Proportionalitätsfaktor zw. Radius und Umfang definiert wurde. Zeige die Definition ohne die Definition zu benutzen geht nunmal net. Es gibt heute viele Rechnungen bei denen Pi rauskommt, aber die basieren mehr oder weniger auf der Definition. Man kann zeigen, dass es eine unendliche Reihe gibt die den Kreisumfang annährt. Und man kann diese Reihe als Pi definieren. Man kann auch zeigen, dass andere unendliche Reihen auch gegen Pi konvergieren. Aber ohne den Proportionalitätsfaktor zwischen Kreisradius und Umfang reinzustecken, kann man nicht beweisen, dass selbiger Pi entspricht. PS @Chris Im unendlichen gilt das aber nicht mehr, da müsste wirklich sqrt(2) rauskommen. Gibt sonst einen Widerspruch, weil im unendlichen nur Punkte der Diagonale dazugehören. Also kannst du die Punktmenge mit der Diagonalengleichung beschreiben, und die hat nunmal die Länge sqrt(2). Ist dann das klassische Problem von n*länge, mit n gegen unendlich und länge gegen 0. unendlich*0 ist nicht so einfach "lösbar".
Mathe hatte ich sogar im Abi ( erstens war ich da nicht völlig schlecht, zweitens wäre ich auf der Schleimspur unserer Philosophen ständig ausgerutscht ), aber Beweisverfahren habe ich immer gehasst ! Stichwort: "Tod durch vollständige Induktion". Und ob Pi eine irrationale, nicht-reelle, auch nicht kplx. Zahl ist, ist mir völlig egal. Solange in Nachrichtensendungen regelmässig "Million" und "Milliarde" verwechselt werden, reicht für Pi allemal die Näherung 3,14 . Gruss
Sachen zu beweisen ist eigentlich recht erfrischend. Allerdings wird das in der Schule nie gut gelehrt, da hab ich das auch gehasst. Da lernt man auch garnicht wie es geht, sondern man soll es halt einfach machen. Wenn man dann mal einige Sachen hintereinander bewiesen hat (und nicht nur banales trallala sondern elegante Beweise) und sich einmal reingefunden hat, ist es eigentlich kein Problem mehr. Ist halt nur logisches Denken und Intuition.
> Im unendlichen gilt das aber nicht mehr, da müsste wirklich sqrt(2) > rauskommen. Gibt sonst einen Widerspruch, weil im unendlichen nur Punkte > der Diagonale dazugehören. Also kannst du die Punktmenge mit der > Diagonalengleichung beschreiben, und die hat nunmal die Länge sqrt(2). > > Ist dann das klassische Problem von n*länge, mit n gegen unendlich und > länge gegen 0. unendlich*0 ist nicht so einfach "lösbar". Da hat man nicht unendlich*0, sondern die Länge der Treppe ist konstant 2. Mit welcher Begründung sollte die "im unendlichen" plötzlich auf sqrt(2) springen? Der mathematische Hintergrund ist, dass diese Treppenkurve zwar in der Ebene gegen die Diagonale konvergiert, diese Konvergenz sich aber eben nicht auf die Länge überträgt. Um wieder auf pi zurückzukommen: Man kann also nicht den Umfang eines n-ecks betrachten und dann n->unendlich gehen lassen, ohne korrekt zu begründen, warum die Länge in diesem speziellen Fall ebenfalls konvergiert. Im Allgemeinen überträgt sich die Konvergenz einer Kurve eben nicht auf deren Länge.
Mit ein bisschen Trigonometrie komme ich auf die Formel PI= n*sin(360/2n) wobei n dann ja gegen unendlich strebt liefert doch schon einen ganz guten Rundungswert bei n = 1 000 000
Na die Länge der Gesamtstrecke ist doch n*s, wobei n die Anzahl der Treppenteile, und s deren jeweilige Länge ist. Außerdem ist die Länge eines Treppenteils ja offensichtlich 2/n. Das ergäbe, wenn man einsetzt, konstant 2. Im unendlichen kann man da aber keine Aussage mehr treffen n*2/n für n unendlich lässt sich nicht berechnen. Für endlich viele Treppen ist deine Aussage wahr, im Unendlichen aber nicht. Ist übrigens oft so, daher auch Formulierungen ala "[...] beliebig aber endlich [...]". Andererseits lässt sich halt beweisen, dass im unendlichen nur die Punkte mit den Treppen abgedeckt werden, die zur Diagonale gehören. Das heist die Treppen sind die Diagonale. Und deren Länge ist bekanntlich Wurzel 2. Einfache Überlegung dazu: Der max. Abstand den ein Punkt von der Diagonalen hat beträgt sqrt(2*s) bzw. sqrt(2)*sqrt(s), verhält sich also proportional sqrt(s) und damit proportional sqrt(1/n). Jeder Punkt der nicht auf der Diagonalen liegt hat einen Abstand d>0 von dieser. Nun lässt sich für jedes d>0 ein n>0 finden, mit sqrt(1/n)<d. Sprich jeder Punkt außerhalb der Diagonalen liegt irgendwann nicht mehr auf einer der Strecken der Treppe. Ein vielleicht etwas anschaulicheres Phänomen: 3.9 periode 9 ist gleich 4.
> Im unendlichen kann man da aber > keine Aussage mehr treffen n*2/n für n unendlich lässt sich nicht > berechnen. Doch, es lässt sich berechnen. Nach dem üblichen Konvergenzbegriff in den reellen Zahlen gilt lim_{n->unendlich} n*2/n = 2. Nachzulesen in jedem Analysis-Buch, das den limes mathematisch korrekt einführt. In diesem Fall ist nichts undefiniert. Eine korrekte Konvergenz-Aussage dieser Folge wäre zum Beispiel "für jedes reelle epsilon > 0 gibt es eine natürliche Zahl N > 0, sodass für alle n > N gilt: |n*2/n - 2| < epsilon". Dieses N existiert offensichtlich, wähle N=1. Weiter unten hast du mit einem ähnlichen Konvergenzbegriff bewiesen, dass die Treppenkurve in der Ebene punktweise gegen die Diagonale konvergiert. Das ist auch korrekt, sie konvergiert. Die Länge konvergiert ebenfalls, aber halt gegen 2, wie ich oben bewiesen habe. Aus der Konvergenz der Kurve in der Ebene folgt eben nicht, dass die Länge ebenfalls gegen die Länge der Grenzkurve konvergiert. Die kann gegen etwas völlig anderes konvergieren, wie sie es in diesem Fall auch tut.
Das war die Absicht, dass das dem Grenzwert einer Folge entspricht ;). Bleibt halt folgende Frage: Die Punktmenge ist gleich derer der Diagonale, den Streckenlängen ordnest du aber unterschiedliche Werte zu. Das ist so ein Widerspruch, also irgendwo sitzt ein Fehler oder eine Ungenauigkeit drinnen. Wenn man die Punktmenge nach R^1 abbildet ergibt sich die Streckenlänge zweifelsfrei zu sqrt(2). Noch besser wird es folgendermaßen: Nimm keine richtige Treppe, sondern eine mit "abgeschrängten Kanten". Also wo du normalerweise anschaulich zB. a nach rechts und a nach oben gehst, gehst du a/2 nach rechts, a/2 rechts + a/2 nach oben, und dann a/2 nach oben. Für die Streckenlänge s bei einer Stufe gilt offensichtlich sqrt(2)<s<2. Wenn du das aber in's unendliche Treibst, hast du auch die Diagonale. Offensichtlich ist die Gesamtstrecke über n*s(n) im Unendlichen also unbrauchbar. Wenn man jetzt aus dem R^1 auf die Strecke in R^2 abbildet, bekommt man in jedem Fall sqrt(2) raus - und exakt 2 für jedes endliche n im 1. Fall und irgendwas zwischen sqrt(2) und 2 im 2. Fall. Die Punktmenge um die es geht ist übrigens auch nur ein Grenzwert, für n->unendlich.
Nun die Auflösung der Sache (hatte es aber auch nicht gesehen, musste fragen): Das Problem ist, dass die Wegfunktionen in R^2 nicht stetig sind. Dadurch existiert der Grenzwert der Form lim(n->infty) n*s(n) mit s(n) Weglänge pro Abschnitt bei n Abschnitten insg. nicht, und n*s(n) kann man nur für endliche n berechnen. sqrt(2) stimmt also schon.
Eine Möglichkeit PI zu berechnen geht übrigens folgendermaßen: Auf dem Einheitskreis für positives y lässt sich ein zu x gehöriger Punkt über f(x):=sqrt(1-x^2) errechnen. Nun kann man den Kreisausschnitt in n Teile zerlegen und deren Länge über Geraden approximieren. Also zB. so: l(n):=Summe(i=1..n) sqrt([g(1/n*(i-1))-g(1/n*i)]^2 + [f(1/n*(i-1))-f(1/n*i)]) Für n->unendlich geht das gegen den halben Umfang und damit PI/2. Nun ist damit aber nicht bewiesen, dass das PI ist, sondern es gilt PI:=lim(n->infty) l(n), wobei der Limes auch nicht ganz unproblematisch ist. Anschaulich gesprochen gehen die Knicke in der Funktion für n->unendlich aber gegen 0, desswegen funktioniert das so. @Ernst Bachmann sqrt(-1) ist i, und damit hast du letztendlich sin und cos drinnen. Im Endeffekt läuft das natürlich auf eine unendliche Reihe bzw. Folge hinaus, aber sin und cos waren ja oben nicht erwünscht. Wobei es ansich recht egal ist, denn anders als über Folgen/Reihen geht's nicht.
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