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Forum: Mikrocontroller und Digitale Elektronik Laplace,Antwort RC-Glied auf Rechteckimpuls mit Mathcad


Autor: Michael (Gast)
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Hallo.

Ich würde gerne die Antwort eines RC-Gliedes auf einen Rechteckimpuls 
mit Hilfe von Mathcad ausrechnen.

Zuerst ist man wohl gut beraten die Differentialgleichung aufzustellen, 
die Gleichung in den Frequenzbereich zu transformieren, dort umstellen, 
und wieder in den Zeitbereich zurücktransformieren.

Meine Frage nun:

Ist das so richtig, wie ich das gemacht habe, und warum schafft MathCad 
das nicht die Gleichung zurückzutransformieren ?
Mache ich hierbei einen prinzipiellen Fehler ?
Die Laplace Transformierte eines Rechteckimpulses habe ich aus der 
Papula Formelsammlung (Seite 315) herausgeschrieben.

Ich hoffe ihr könnt mir nen Tip geben

Michael

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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Kannst du die Rechnung mal erklären?? Was ist P hier ??

Autor: Michael (Gast)
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Oh, Entschuldigung,

es handelt es sich hier praktisch nicht um ein elektrisches Netzwerk, 
sondern um ein thermisches. Deswegen sind die Bezeichnungen anders, aber 
die Rechnung müsste ja analog sein.

P ist der Wärmestrom, was eben den elektrischen Strom entspricht.
T entspricht der Spannung,
und R ist eben der Widerstand.

Zuerst habe ich die Knotenregel für das RC-Glied aufgestellt, und das 
dann in Frequenzbereich transformiert und eben die das 
Rechteckimpulssignal berücksichtigt.

Warum kann MathCad das nicht zurücktransformieren ?
Liegt das vielleicht an der numerischen Vorgehensweise, oder muss ich 
das erst noch irgendwie vereinfachen?

Autor: Mandrake (Gast)
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MathCAD ist das falsche Programm für Symbolische Gleichungen. Für sowas 
nimmt man besser Maple. Die letzte Version die ich benutzt habe war die 
2000er und die konnte man für symbolische Sachen direkt vergessen.
Vielleicht kann eine neuere mehr aber... nimm Maple.

Warum machst du es eigentlich so kompliziert?
Sowas kann man doch noch bequem zu Fuß ausrechnen und hin und her 
transformieren. Der Bronstein oder der Papula liefern genug Tabellen.

Man kann es aber noch einfacher machen wenn man eine etwas andere 
Betrachtungsweise benutzt:

Die Impulsantwort des Systems hast du ja. Die Übertragungsfunktion 
(=Laplacetransformierte Impulsantwort) auch.

Dein Rechteckimpuls kann man auch durch eine Linearkombination 2er 
Heaviside'scher Sprungfunktionen darstellen.

EingangsImpuls = A * (s(t) - s(t-t0))

A: Höhe des Pulses
s(t): Heavisidefunktion
t0: Impulsdauer

Das bedeutet aber doch, dass du nur die Sprungantwort h(t) kennen musst 
um das ganze zu berechnen. Die ist zufälligerweise gleich dem Integral 
über die Impulsantwort g(t) also (h(t) = INTEGRAL g(t) dt).
Die Systemantwort ist also y(t) = A * (h(t) - h(t-t0)).

Per Laplace geht das ganz genauso:

Y(s) = G(s) * X(s)

X(s) = A*(S(s) - S(s)* e^(-s*t0)) = A * S(s) * ( 1- e^(-s*t0))

Y(s) = A * S(s) * G(s) * ( 1- e^(-s*t0))

S(s) * G(s) = Laplacetrafo der Sprungantwort h(t)

Nach der Rücktransformation bekommt man dann wieder

y(t) = A * (h(t) - h(t-t0))


So jetzt bist du wieder dran...
Ich glaube nicht, dass man da wirklich einen Rechner für braucht außer 
dem im Kopf ;)

Gruß

Mandrake

Autor: Michael (Gast)
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Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort.

Ich beschäftige mich noch nicht allzu lange mir diesen Thema, und 
deswegen bruche ich jetzt auch erstmal etwas um das ganze zu überdenken.

In der Praxis handelt es sich bei meinem Problem aber auch nicht um ein 
einzelnes RC-Glied, sondern um ein kleines Netzwerk. Ich wollte nur mal 
klein anfangen.

Autor: Mandrake (Gast)
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Das Netzwerk auf dem Bild kann man so stark vereinfachen, dass da ein 
einfacher RC-Tiefpass rauskommt wo noch genau ein Widerstand parallel zu 
C liegt.
Der Graph bestätigt das ebenfalls. Man kann deutlich die beiden 
linearkombinierten Sprungfunktionen eines RC-TPs sehen.
(Die Sprungfunktion ist hier im Grunde nichts anderes als die Ladekurve 
eines Kondensators.)

Gruß

Mandrake

Autor: Michael (Gast)
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Und wie kann ich das vereinfachen ?

Wie kann ich z.B. zwei in Serie geschaltete RC-Glieder zu einem 
zusammenfassen ?

Einfach die Widerstände aufsummieren und die Kondensatoren in Serie 
verrechenen ?

Autor: Michael (Gast)
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Ich will das Netzwerk eigentlich auch nicht vereinfachen, sondern die 
Parameter der einzelnen Widerstände und Kondensatoren so verändern, dass 
die Zeitkonstante der Systemantwort möglichst kurz, und die Dämpfung des 
Signals möglichst gering ausfällt.

Dazu, dachte ich mir, wäre es hilfreich, die Sprungantwort des Systems 
mit Hilfe der Laplace Transformation zu erhalten, um dann aus dieser 
Gleichung eventuell die richtige Parameterwahl für die Bauteile 
vornehmen zu können.

In der Multisim Simulation kann ich ja schön die Paramter verändern, ich 
weiß jedoch nicht, warum eine Veränderung des Wertes eines Kondensator 
nun eine geringere Amplitude zum Beispiel nach ssich zieht.
Ich bräuchte also ne analytische Lösung, um meine Bauteile so wie es 
eben praktisch geht, richtig zu dimensionieren.

Autor: Michael (Gast)
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Ich habe jetzt dass Netzwerk mal zusammengefasst, wie ich oben schon 
geschrieben habe, und die Simulation in Multisim gibt nun wirklich auch 
das selbe Ergebnis aus.

Somit vereinfacht sich das ganz natürlich, und reduziert sich auf ein 
einfaches RC-Glied.

Die 2 Sachen, die mir wichtig sind zu wissen, Dämpfung und 
Zeitkonstante, erhalte ich genauso wie beim RC-Glied.

Ist ja dann doch nicht so schwer, wie ich mir das zuerst vorgestellt 
habe

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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>und die Dämpfung des Signals möglichst gering ausfällt.

Das geht auch ohne Laplace: Kondensatoren weglassen.

Wie du das allerdings in der Realität machst, ist ne andere Frage

Autor: Michael (Gast)
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bei der Bestimmung der Zeitkonstante stelle ich noch ne Unstimmigkeit 
fest, und zwar lautet die Frmel ja: Zeitkonstante=R*C.

Für mein RC-Glied, dass nun das Netzwerk zusammenfasst ergibt sich eine 
Kapazität von ca.1000 Mikrofarad und eine Widerstand von 19,72 MOhm.

Daraus ergibt sich dann ne Zeitkonstante von 5,9h (!)
Schon etwas hoch, für so kleine Bauteile, erstens, und zweitens liegt 
die Zeitkontante bei der Simulation nur bei ein paar Millisekunden.

Wie ist denn das zu erklären ?

Autor: Michael (Gast)
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im Anhang nochmal ein Screenshot von Multisim

Autor: Mandrake (Gast)
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Du hast falsch zusammengefasst.

Die Ersatzschaltung sieht so aus:

o---R3---o---o---o
         |   |
         Rx  Cx
         |   |
         -   -

R3 = R3
Rx = (R1+R6) || R2 || R4 || R5  ( || bedeutet parallel geschaltet)
Cx = (C1+C3) || C2

Rx = 31.564  Ohm
Cx = 1.07916 mF

Die Zeitkonstante Tau = (Rx || R3) * Cx = 1.046ms

(Was in der Grafik wohl auch ungefähr hinkommt)

Verwendet habe ich Formeln für:

-Parallel/Reiheschalten Widerstände und Kondensatoren
-Norton bzw. Thevenintheorem um auf den Widerstand für Tau zu kommen

Mit ein bisschen Google solltest du es jetzt nachvollziehen können.

Gruß

Mandrake

Autor: Michael (Gast)
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Stimmt.

Ich hab die Formel für 2 parallele Widerstände (Rges=(R1*R2)/R1+R2) auf 
mehrere erweitert.
Und dann kommt eben unsinniges dabei raus.

Vielen Dank nochmal für die Hilfe !

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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>(Rges=(R1*R2)/R1+R2)

Diese Formel ist ja auch nur ein Spezialfall der richtigen Formel.

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