Ableitung komplexer Funktionen

[Schreiber (Gast)]

Hi,

frohe Weihnachten erstmal.

Ich schreibe gerade eine Facharbeit über komplexe Zahlen (12 Klasse) und 
komm mit der Ableitung von z^n nicht klar. Wenn man es wie bei reellen 
zahlen macht, also (z^n)' = lim  (z+h)^n - z^n kommt n*z^(n-1) raus,
                            h->0 -------------
                                       h
wenn man aber in der Polarform ableitet, also z.b.
(z^2)' = (r^2 * e^(2i*phi))' kommt ja 2ri*e^(2i*phi) raus, was nicht 2z 
ist. Von einer Webseite weiss ich, dass das erste, also n*z^(n-1) 
richtig ist, aber ich kann kein Gegenargument für die 2te Variante 
finden. Und die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen verschtehe 
ich auch nicht. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, bitte? Bin voll 
am verzweifeln...

[Gerhard (Gast)]

>(z^2)' = (r^2 * e^(2i*phi))' kommt ja 2ri*e^(2i*phi)


Ich kenne mich mit komplexen Funktionen nicht wirklich aus, aber musst 
du hier nicht die Produktregel nehmen?
also

(z^2)' = 2r * e^(2i*phi)   +   r^2 * 2i*e^(2i*phi)

[Schreiber (Gast)]

Ja, das kann sein. Allerdings ist das immer noch nicht 2r*e^(i*phi).

[Morin (Gast)]

Mach dir erstmal klar, nach welcher Größe du ableitest. Wenn du sagst, 
dass (z^n)'=nz^(n-1) ist, dann leistest du nach z ab.

In dem Schritt
(z^2)' = (r^2 * e^(2i*phi))' = 2ri*e^(2i*phi)
machst du aber was anderes, da leitest du teils nach r und teils nach 
phi ab, aber sicher nicht nach z. Da liegt der Fehler.

[Schreiber (Gast)]

Ok, dann ist diese Gleichung also falsch und es bleibt nur die mit dem 
limes übrig. Danke für eure Hilfe.

[Morin (Gast)]

Ich führ es mal etwas genauer aus. Wenn du (...)' schreibst, dann meinst 
du die Ableitung nach z, also formal d(...)/dz. In Polarkoordinaten 
kannst du das (...) wie gehabt umschreiben, aber das dz musst du eben 
auch in Polarkoordinaten umrechnen. Dann kommen noch ein paar 
Rechenregeln dazu was die d's betrifft und fertig. Letztendlich ist das 
aber nur eine Kurzschreibweise für alles was du mit dem Limes machst.

[LaTeX-Fetischist (Gast)]

Eure Formeln sind unlesbar. Bitte benutzt LaTeX. Unser Forum unterstützt 
das nicht umsonst.

[Morin (Gast)]

> Eure Formeln sind unlesbar.

Für uns nicht, aber scheinbar für dich. Geh bitte auf die Schule, da 
lernst du auch lesen.

> Bitte benutzt LaTeX.

Nein.

> Unser Forum unterstützt das nicht umsonst.

Doch. Ich habe es schon mehrfach benutzt und musste noch nie etwas 
zahlen.

[Troll-Detektor (Gast)]

Troll dich, Morin.

[Gast (Gast)]

Eine komplexe Zahl kann als Vektor mit 2 Größen verstanden werden.
Wie schon geschrieben wurde, muss man vorher festlegen, nach welcher 
Größe man ableiten will.

[Morin (Gast)]

> Eine komplexe Zahl kann als Vektor mit 2 Größen verstanden werden.
> Wie schon geschrieben wurde, muss man vorher festlegen, nach welcher
> Größe man ableiten will.

Man kann aber auch nach "der komplexen Zahl" an sich ableiten, entweder 
per Limes oder per d-Gefrickel (letzteres geht nur unter bestimmten 
Voraussetzungen, die aber für viele Funktionen aus dem täglichen 
Gebrauch gegeben sind).

z.B. mit Real- und Imaginärteil:

z = a + ib
f(z) = ...
f' = df/dz = df / (da + idb)

rumrechnen und am Ende dz -> 0 bzw da -> 0 und db -> 0. Entsprechend für 
Polarkoordinaten. Interessant ist dabei, das für die Ableitung nach z 
dann wieder die (meisten der) bekannten Rechenregeln aus den reellen 
Zahlen gelten, wie z.B. (z^n)' = nz^(n-1).

[Schreiber (Gast)]

>In Polarkoordinaten kannst du das (...) wie gehabt umschreiben, aber das dz 
>musst du eben auch in Polarkoordinaten umrechnen. Dann kommen noch ein paar 
>Rechenregeln dazu was die d's betrifft und fertig.

In Polarkoordinaten kann man aber nicht addieren/subtrahieren...

>Eine komplexe Zahl kann als Vektor mit 2 Größen verstanden werden.
>Wie schon geschrieben wurde, muss man vorher festlegen, nach welcher
>Größe man ableiten will.

Es muss aber nach beiden größen gleichzeitig abgeleitet werden, das ist 
das Problem.

[Morin (Gast)]

Ansatz für die Quadratfunktion:

Die einfachen Rechenregeln sagen:

$$f(z) = z^2$$

$$f'(z) = 2z$$

In kartesischen Koordinaten bzw. Polarkorrdinaten ist

$$z = a+ib$$

$$z = re^{i\phi}$$

In beiden Systemen sind die Koordinaten unabhängig:

$$\frac{da}{db} = \frac{db}{da} = 0$$

$$\frac{dr}{d\phi} = \frac{d\phi}{dr} = 0$$

Die Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen (nur eine Richtung):

$$a = r\cdot cos\phi$$

$$b = r\cdot sin\phi$$

... und die Ableitungen dazu:

$$\frac{da}{dr} = cos\phi$$

$$\frac{db}{dr} = sin\phi$$

$$\frac{da}{d\phi} = -r\cdot sin\phi$$

$$\frac{db}{d\phi} = r\cdot cos\phi$$

Soviel zur Vorbereitung.

[Morin (Gast)]

Jetzt kommt die Ableitung der Funktion f in Polarkoordinaten. Zunächst 
mal die Produktregel:

$$f' = \frac{df}{dz} = \frac{d(r^2e^{2i\phi})}{da+idb}$$

$$= e^{2i\phi}\frac{d(r^2)}{da+idb} + r^2\cdot\frac{d(e^{2i\phi})}{da+idb}$$

Umstellung der obigen Ableitungen der kartesischen Koordinaten nach den 
Polarkoodinaten ergibt:

$$da = cos\phi \cdot dr$$

$$db = sin\phi \cdot dr$$

$$da = -r \cdot sin\phi \cdot d\phi$$

$$db = r \cdot cos\phi \cdot d\phi$$

Jetzt werden im ersten Teilterm 'da' und 'db' nach den ersten beiden 
Regeln, im zweiten Teilterm nach den zweiten beiden Regeln ersetzt:

$$f' = e^{2i\phi}\frac{d(r^2)}{cos\phi\cdot dr + isin\phi\cdot dr} + r^2\frac{d(e^{2i\phi})}{-r\cdot sin\phi\cdot d\phi +ir\cdot cos\phi\cdot d\phi}$$

Umstellen:

$$f' = \frac{e^{2i\phi}}{cos\phi + isin\phi} \cdot \frac{d(r^2)}{dr} + \frac{r^2}{-r\cdot sin\phi +ir\cdot cos\phi} \cdot \frac{d(e^{2i\phi})}{d\phi}$$

Jetzt kommen da zwei Ableitungen in reellen Zahlen vor, für die die 
gewohnten Regeln gelten:

$$f' = \frac{e^{2i\phi}}{cos\phi + isin\phi} \cdot 2r + \frac{r^2}{-r\cdot sin\phi +ir\cdot cos\phi} \cdot 2ie^{2i\phi}$$

Kürzen und Ausklammern:

$$f' = 2re^{2i\phi} \cdot (\frac{1}{cos\phi + isin\phi} + \frac{i}{-sin\phi +icos\phi})$$

Brüche verrechnen:

$$f' = 2re^{2i\phi} \cdot \frac{(-sin\phi +icos\phi) + i(cos\phi + isin\phi)}{(cos\phi + isin\phi)(-sin\phi +icos\phi)}$$

Im Zähler zusammenrechnen, im Nenner i ausklammern:

$$f' = 2re^{2i\phi} \cdot \frac{2i(cos\phi - sin\phi)}{i(cos\phi + isin\phi)^2}$$

... usw. Ich glaub, irgendwo ist noch ein Rechenfehler drinne, aber das 
Prinzip sollte jetzt klar sein.

[Morin-Fan (Gast)]

(: (: (: Sehr gut, hast dir ein Keks verdient, Morin! :) :) :)

[Jörg (Gast)]

@Morin,

es gilt zwar die Transformation

  a = cos(phi) * r
  b = sin(phi) * r

aber es gilt nicht

  da = cos(phi) * dr
  db = sin(phi) * dr

Setze z.B. für das Differential da die Differenz delta_a = a_1-a_0.
ist phi_0,r_0 zu a_0 gehörend, dann ist für a_1 != a_0 nicht nur
r1 != r0, sondern auch phi_1 != phi_0 und somit per Limesrechnung
da != cos(phi)*dr, sondern da ~= cos(d_phi)*dr, wobei d_phi und dr
sich über eine Transformation aus da und db gleichzeitig ergeben.
Wird aber ein wenig komplizierter (komplexer?).

Gruss

Jörg

[Morin (Gast)]

Okay, ich weiß was du meinst... das müsste der Unterschied zwischen dem 
partiellen und dem totalen Differential sein, der hier zuschlägt. Ich 
bin jetzt von partiellen Ableitungen ausgegangen, habe aber denke ich 
das falsche d dafür benutzt (also das normal-geschriebene d statt dem 
komisch-geschriebenen d - diese Schreibweise konnte leider ein ganzes 
Studium lang kein Prof mal sauber erklären).

Ich vermute aber, dass die d-Rechenregeln, die ich hier einfach benutzt 
habe, nur für das totale Differential gelten - also muss der ganze 
Rechenweg nochmal überarbeitet werden :(

> Wird aber ein wenig komplizierter (komplexer?).

Naja, man hat halt beide partiellen Anteile zusammen, die ich oben 
fälschlicherweise getrennt verwendet habe, also z.B.

$$da = cos\phi\cdot dr - r\cdot sin\phi \cdot d\phi$$

[Jörg (Gast)]

Sorry, habe oben geschrieben: d_a ~= cos(d_phi) * d_r,
es müsste heissen: d_a = cos(d_phi) * d_r (ohne das
"Ungefähr"-Zeichen). Es hat nichts mit partiellen oder mit totalen
Ableitungen zu tun. d_r und d_phi ergibt sich per

(d_r,d_phi)^T = M * (d_a,d_b),

 M ist eine 2x2-Matrix (von a,b abh.). D.H. d_r,d_phi sind ja nicht
willkürlich, sondern von d_a UND d_b gleichzeitig abhängig 8d_a und
d_b sind willkührlich gewählt).

Du kannst aber auch d_r und d_phi willkürlich wählen und daraus
d_a,d_b per M^(-1) bestimmen und in der Ableitungsformel in die
Funktion f einsetzen.

Um die Korrektheit zu überprüfen: Schreibe einfach ein kleines
MonteCarlo-Programm, dass d_a,d_b zufällig wählt und deine/meine
Thesen auf Gleichheit überprüft. Habe ich hier zwar nicht gemacht,
mache ich aber immer wenn's ein wenig kompizierter wird. Die
Wahrscheinlichkeit bei 100000 Durchläufen bei kleiner Dimension
(für C: 2-Dim) für einen Fehler sind vernachlässigbar gering.

Gruss

Jörg


P.S.1: sorry, dass ich die math. Ausdrücke ohne Latex geschrieben
habe, aber ich kann a) kaum noch Latex und b) sind die Werbepause
zu klein.

P.S.2: habe mei Abi in BW gemacht, aber Ableitungen in Pol.Koord.
habe ich erst im Studium kennengelernt (Funktionentheorie).

[Morin (Gast)]

> Es hat nichts mit partiellen oder mit totalen Ableitungen zu tun.

Bis auf diesen Satz gebe ich dir recht. Ganz im Gegenteil scheint mir 
genau der Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung der Kern 
des Problems (und meines anfänglichen Fehlers) zu sein.

Partiell ist:

$$a = r\cdot cos\phi$$

$$b = r\cdot sin\phi$$

$$\frac{\partial a}{\partial r} = cos\phi$$

$$\frac{\partial a}{\partial \phi} = -r\cdot sin\phi$$

$$\frac{\partial b}{\partial r} = sin\phi$$

$$\frac{\partial b}{\partial \phi} = r\cdot cos\phi$$

und total ist:

$$da = cos\phi\cdot dr -r\cdot sin\phi\cdot d\phi$$

$$db = sin\phi\cdot dr +r\cdot cos\phi\cdot d\phi$$

was aber nichts anderes ist als die von dir genannte Matrixschreibweise:

$$(\begin{array}{c} da\\ db\end{array}) = (\begin{array}{cc} cos\phi&-r\cdot sin\phi\\ sin\phi&r\cdot cos\phi\end{array})(\begin{array}{c} dr\\ d\phi\end{array})$$

[Jörg (Gast)]

Sorry, Teil 2: Du hast das ganze Problem von der Dr,Dphi-Seite
betrachtet, ich von der da,db-Seite. Beide Seiten sind natürlich
äquivalent (bin seit vielen Jahren aussser Übung).
Deine Matrix ist mein M^(-1), grob übersehen stimmt's dann.

Aber zu partiell/total: Partiell ist's trotzdem, total wär's
wenn phi und r von einem weiteren Parameter (z.B. h) abhängig wäre,
dann müsste erst partiell abgeleitet werden und dann mit den
Ableitungen nach h weitergerechnet werden. In der Ableitung
nach Z sind nun zwei (unabh.) Parameter, nach denen gleichzeitig
abgeleitet werden muss.

Gruss und MerryXmas,

Jörg

[Morin (Gast)]

> Deine Matrix ist mein M^(-1), grob übersehen stimmt's dann.

Okay, das hatte ich auch so verstanden.

> Aber zu partiell/total: Partiell ist's trotzdem, total wär's
> wenn phi und r von einem weiteren Parameter (z.B. h) abhängig wäre,
> dann müsste erst partiell abgeleitet werden und dann mit den
> Ableitungen nach h weitergerechnet werden. In der Ableitung
> nach Z sind nun zwei (unabh.) Parameter, nach denen gleichzeitig
> abgeleitet werden muss.

Aber ist das denn nicht genau das, was die untersten Zeilen ausdrücken? 
Wenn ich z.B. schreibe

$$da = cos\phi\cdot dr - r\cdot sin\phi\cdot d\phi$$

dann drückt das ja den Zusammenhang zwischen "winzigen" Änderungen da, 
dr, dphi aus. Weil es eine Gleichung ist, wo alle betroffenen Variablen 
bzw. deren Änderungen in Bezug gesetzt werden, ist es - nach meinem 
Wissen - das totale Differenzial, was aber nur eine Kurzschreibweise für 
eine partielle Ableitung nach einem weiteren "erfundenen" Parameter (dem 
von dir genannten h) ist:

$$\frac{\partial a}{\partial h}(h) = cos\phi\cdot \frac{\partial r}{\partial h}(h) - r\cdot sin\phi\cdot \frac{\partial \phi}{\partial h}(h)$$

wobei in der letzten Gleichung a,r,phi als Funktionen von h zu verstehen 
sind.

Ich muss aber zugeben, dass das auch bei mir veraltetes Wissen ist und 
ich mich hier auch auf dünnem Eis bewege ;)