Hi, hab gestern den Film 21 gesehen und eine dort vorkommendes Wahrscheinlichkeitsproblem habe ich nicht ganz verstanden. Es hieß Quizmasterproblem, es sei ein Kandidat, dem drei Türen zur Auswahl gestellt werden. Hinter einer ist das Traumauto, hinter den anderen nichts. Der Kandidat wählt irgendeine Tür, klar, 33 1/3 % Wahrscheinlichkeit, das Auto zu bekommen.Nun öffnet der Quizmaster eine der verbliebenen Türen, hinter der nichts ist, und fragt nun, ob der Kandidat jetzt zur anderen Tür wechseln will. Und jetzt kommt mein Problem: Ich hatte gedacht, ist schnurz, ob er das macht, es bleiben 2 Türen, also 50/50, so oder so. Aber im Film wurde gesagt, dass es richtig sei, zur anderen Tür zu wechseln, weil sich dadurch die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 66 2/3 % erhöhen würde. Das habe ich nicht verstanden, kann das jemand aufklären?
zu anfang ist die chance, dass in der z.b. linken tür der gewinn ist, genau 1/3. so weit, so klar, zu 1/3 ist der gewinn in der mitte, zu 1/3 rechts, anders ausgedrückt, die wahrscheinlichkeit, dass der gewinn NICHT links ist, ist 2/3. aufgrunde der bisherigen vorgeschichte ändert sich daran nichts, wenn das rechte, leere tor geöffnet wird. die chance, dass der gewinn NICHT links ist, ist noch immer 2/3. da aber nur noch das mittlere tor übrig ist, ist die chance, dort den gewinn zu treffen bei 2/3.
Das will mir nicht in den Kopf. Auf der einen Seite soll sich das 1/3 - 2/3 Verhältnis nicht ändern, aber auf der anderen Seite beziehst du die Tatsache mit ein, dass da eben nur noch zwei Türen sind.
Wie sieht das denn dann bei 4 Toren aus? Wäre das dann folgendermaßen: erst jedens Tor 1/4 Wahrscheinlichekit, ich nehme z.b. tor 1 dann wird tor 4 geöffnet und da ist nix. --> tor 1 = 1/4, tor 2 = 3/8, tor 3 = 3/8 dann nehme ich z.b. tor 2, anschließend wir tor 3 geöffnet und da ist nix --> tor 1 = 5/8, tor 2 = 3/8 und deshalb entscheide ich mich dann logischerweise für tor 1
Das Buch zum Problem (na ja, auf 2- 3 Seiten) ist "The Curious Incident of the Dog in the Night-Time".
satt wrote: > Das will mir nicht in den Kopf. Kehre mal die Überlegung dahingehend um, dass du dir überlegst, wo der Gewinn NICHT ist. Die Problemstellung nennt sich übrigens Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma. Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
Auf den ersten Blick scheint das auch paradox zu sein und ich wollts am Anfang auch nicht glauben. Aber es stimmt tatsächlich. Man kann das mit einem Computerprogramm simulieren und es kommt tatsächlich die angegebenen Werte raus.
Zitat aus der Wikipedia: ------------------------- Wahl=1 und Auto=1 Wahl=1 und Auto=2 * Wahl=1 und Auto=3 * Wahl=2 und Auto=1 * Wahl=2 und Auto=2 Wahl=2 und Auto=3 * Wahl=3 und Auto=1 * Wahl=3 und Auto=2 * Wahl=3 und Auto=3 ------------------------- --> beim * gewinnt man, wenn man wechselt. --> in 6 von 9 Fällen --> Chance zum Gewinn 2/3 beim Wechsel
Ich habs mir dann so klargemacht. Mit einem ein klein wenig veränderten Handlungsablauf: du wählst eine der 3 Türen. Jetzt kommt der Moderator und bietet dir den Deal an: Entweder du bleibst bei deiner Tür oder du wechselst zu den anderen beiden Türen gleichzeitig. Wenn du also wechselst und hinter einer der beiden anderen Türen ist das Auto, dann gehört es dir. Jetzt ist unmittelbar einsichtig, dass du besser beraten bist, wenn du wechselst. Bleibst du bei deiner Tür, hast du eine Chance von 1/3. Wechselst du, hast du eine Chance von 2/3 Wenn du aber wechselst, dann ist eines klar: Eine der beiden Türen muss eine Niete sein. Was der Moderator macht ist jetzt nichts anderes als offenzulegen, welche der beiden Türen auf jeden Fall eine Niete ist. Die 1/3 Wahrscheinlichkeit dieser Tür wechseln zur anderen Tür hinüber, denn in Summe haben beide Türen zusammen immer noch 2/3 Wahrscheinlichkeit. Vor dem Öffnen waren diese 2/3 gleichmässig auf die beiden Türen verteilt. Nach dem Öffnen ist die Wahrscheinlichkeit für die geöffnete Tür auf 0 gesunken und dafür für die nicht geöffnete auf die vollen 2/3 gestiegen. Denn im Grunde lautet die Fragestellung für dich immer noch: Nehme ich meine Tür oder setzte ich auf die anderen beiden gleichzeitig. Was anderes wäre es natürlich, wenn nach dem Öffnen der Türen im Hintergrund das Auto neu angeordnet werden würde. Dann wäre deine Chance tatsächlich 50/50.
Manchmal kann man sich sowas leicht klarmachen, indem man das ganze extremer denkt. Es gibt 100 Tueren. Eine wird gewaehlt, 1% Wahrscheinlichkeit, das Auto zu treffen. Man hat es also vermutlich nicht erwischt. Der Quizmaster oeffnet 98 Tueren ohne Gewinn. Er weiss, welche Tueren leer sind und somit geoffnet werden koennen. Wo wird jetzt wohl der Gewinn sein? In der vermutlich sowieso Nietentuer, die Du gewaehlt hast, oder in der verbliebenen? Ich denke so versteht mans auch ohne rechnen.
Zitat aus der Wikipedia: ------------------------- Wahl=1 und Auto=1 Wahl=1 und Auto=2 * Wahl=1 und Auto=3 * Wahl=2 und Auto=1 * Wahl=2 und Auto=2 Wahl=2 und Auto=3 * Wahl=3 und Auto=1 * Wahl=3 und Auto=2 * Wahl=3 und Auto=3 ------------------------- --> beim * gewinnt man, wenn man wechselt. --> in 6 von 9 Fällen --> Chance zum Gewinn 2/3 beim Wechsel Das leuchtet mir prinzipiell ganz gut ein, auch einige der anderen Erklärungen. Aaaber, da stehen halt immer noch alle drei Türen drin. Es wird doch aber dann eine weggenommen, also so: Wahl=1 und Auto=1 Wahl=1 und Auto=2 * Wahl=1 und Auto=3 (*) zählt nicht, da z.b. Tür 3 geöffnet wurde Wahl=2 und Auto=1 * Wahl=2 und Auto=2 Wahl=2 und Auto=3 (*) zählt nicht, da z.b. Tür 3 geöffnet wurde Wahl=3 und Auto=1 * Wahl=3 und Auto=2 (*) zählt nicht, da z.b. Tür 2 geöffnet wurde Wahl=3 und Auto=3 es verbleiben also Wahl=1 und Auto=1 Wahl=1 und Auto=2 * Wahl=2 und Auto=1 * Wahl=2 und Auto=2 Wahl=3 und Auto=1 * Wahl=3 und Auto=3 Drei mit und drei ohne Stern - 50/50. :)
Karl Heinz und der letzte Gast habes ganz gut dargestellt. Der "Trick" ist einfach, das der Quizmaster nicht eine Tür öffnen kann wo das Auto ist (sosnt wärs ja Quatsch). Man erhält also gewissermaßen die Wahl, eine Tür oder zwei Türen zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen steigt auch nur im Mittel...
also das hier von Wikipedia ist viel einleuchtender: einmal durchspielen, wenn er wechselt und einmal durchspielen, wenn er nicht wechselt -> et voilà :-) http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem#Schema_f.C3.BCr_die_.E2.80.9EWechselstrategie.E2.80.9C
Aber nein, eben nicht zwei Türen, weil man doch weiß, dass eine geöffnet werden wird UND dass dort das Auto nicht drin ist. Und man verbleibt in jedem Fall mit zwei Türen, die, die man gewählt hat, und die andere. Und hinter einer ist das Auto. 50%.....
An dem Problem sind schon Matheprofessoren verzweifelt. Vor ein paar Jahren war dazu mal was im Spiegel, die Leserbriefe dazu teils unglaublich. Manche haben es erst geglaubt, nach dem sie sich ein Programm geschrieben haben und sich die Ergebnisse der Simulation angesehen haben.
Hallo satt, dann stell Dir mal vor, Du hast einen Lottoschein ausgefüllt. Und nun kommt jemand aus der Zukunft mit einem anderen Lottoschein und stellt Dich vor die Wahl, Deinen oder seinen Schein abzugeben. Welchen würdest Du wählen? Nice week, Zardoz
Kommt ein Masochist zum Sadist: "Bitte, bitte tu mir weh!" Sadist:"...Nein!"
>>> dann stell Dir mal vor, Du hast einen Lottoschein ausgefüllt. Und nun >>> kommt jemand aus der Zukunft mit einem anderen Lottoschein und stellt >>> Dich vor die Wahl, Deinen oder seinen Schein abzugeben. Welchen würdest >>> Du wählen? Diese Logik, diese Schlußfolgerungen, einfach brilliant. Toller Beitrag. Du bist der GRÖßTE.
satt wrote: > Aber nein, eben nicht zwei Türen, doch. > weil man doch weiß, dass eine geöffnet > werden wird UND dass dort das Auto nicht drin ist. Der springende Punkt ist: Für diese Tür gelten Regeln. Das kann nicht irgendeine Tür sein, sondern * es darf nicht die sein, die du selbst gewählt hast * es darf keine Tür sein, hinter der das Auto ist. Das Öffnen der Tür bringt dir keinerlei zusätzliche Information, denn du weißt, das mindestens eine der beiden nicht gewählten Türen eine Niete sein muss. Die Gesamtheit der beiden nicht von dir gewählten Türen hat eine Erfoglswahrscheinlichkeit von 2/3 und diese Wahrscheinlichkeit ändert sich durch das Öffnen einer der beiden Türen nicht, weil du ja vorher schon wusstest, dass mindestens eine der beiden eine Niete sein muss. Im Grunde ist es völlig unerheblich ob die Tür geöfffnet wird oder nicht. Die für dich entscheidende Frage ist nach wie vor * Nehme ich eine einzelne Tür * oder nehme ich 2 Türen, wobei es egal ist hinter welcher der beiden das Auto ist.
Auch eine Überlegung:
P(x) (x∈{A,B,C}) sei die Wahscheinlichkeit, dass sich das Auto
hinter der Tür x befindet.
Angenommen, man wählt beim ersten Mal die Tür A, und der Showmaster
öffnet anschließend die Tür B.
Man könnte jetzt meinen, dass P(A)=P(C)=1/2 ist.
Würde der Showmaster der Showmaster nicht Tür B, sondern Tür C öffnen,
wäre nach der gleichen Überlegung P(A)=P(B)=1/2.
Unabhängig davon, welche Tür vom Showmaster geöffnet wird, wäre somit
immer P(A)=1/2. Um P(A) zu bestimmen, müsste man also gar nicht darauf
warten, dass der Showmaster eine der anderen Türen öffnet, vielmehr wäre
schon von Anfang an P(A)=1/2.
Würde man beim ersten Mal nicht A, sondern B oder C wählen, wäre mit der
gleichen Begründung von Anfang an P(B)=1/2 bzw. P(C)=1/2. Man hätte
also, obwohl es drei Türen gibt, mit oder ohne Showmaster immer eine
Erfolgswahrscheinlichkeit von 50%.
Dieser Widerspruch löst sich nur auf, wenn sowohl vor als auch nach dem
Öffnen einer Tür durch den Showmaster die Wahrscheinlichkeit für die
erstgewählte Tür gleich 1/3 ist.
> An dem Problem sind schon Matheprofessoren verzweifelt.
Das habe ich auch schon gehört, kann es aber fast nicht glauben (ok,
vielleicht waren es Numeriker oder Topologen). Gerade in der Stochastik
gibt es sehr viele Paradoxien, von denen die vorliegende ganz klar eine
der einfacheren ist.
Hab auch etwas gebraucht um es zu schnallen, aber mit dem Bildchen hier fand ich es doch sehr einleuchtend http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem#Schema_f.C3.BCr_die_.E2.80.9EWechselstrategie.E2.80.9C
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