Hi, ich muss mich zwecks einer Datenanalyse mit der FFT von Matlab auseinandersetzen und stoße auf ein paar Fragen bzgl der vom FFT gelieferten Ergebnisse. Zunächst ist mir nicht ganz klar, warum man zur Berechnung der Amplituden das Ergebnis der FFT verdoppelt (Ausnahme a0)!?. F oberhalb von Fmax werden ausgeblendet. Demnach wäre X: X = fft(x)/N; X= [X(1) 2*X(2:floor((N-1)/2)+1)]; Eigentlich eine sehr einfache Frage. Aber es ist leider Ewigkeiten her das ich mit damit auseinandersetzen musste. Danke.
ich glaube die FFT in Matlab berechnet nur das einseitige Spektrum, desshalb die verdoppelung ausser a0 = DC
Grund ist das Abtasttheorem, nachdem sich das Spektrum durch den Aliasing-Effekt an der halben Abtastfrequenz spiegeln muss. Da also beide Spiegelhälften identisch sein müssen ist es in der Berechnung performanter, eine Hälfte zu verdoppeln, als beide elementweise aufzusummieren.
Hallo, > Zunächst ist mir nicht ganz klar, warum man zur Berechnung der > Amplituden das Ergebnis der FFT verdoppelt (Ausnahme a0)!?. F oberhalb > von Fmax werden ausgeblendet. > > Demnach wäre X: > X = fft(x)/N; > X= [X(1) 2*X(2:floor((N-1)/2)+1)]; bei der FFT sind die Aufbaufunktionen, mithilfe derer Du die reellwertigen Signalwerte rekonstruierst, komplexe e-Funktionen mit Real- und Imaginärteil. Damit kannst Du nur dann rein reelle Signale aufbauen, wenn die Aufbaufunktionen als Paare aus zueinander konjugiert komplexen Signalen auftauchen: x(t) = A * exp(jwt) + conj(A) * exp(-jwt) positive Frequenz negative Frequenz Zeiger dreht in Zeiger dreht in positive Richtung negative Richtung Addition eines zu Addition eines zu A A gehörigen konst. gehörigen konstanten Winkels. Winkels in in negative Richtung. in positive Richtung Du erinnerst Dich: Die Summe aus Zahl und dem konjugierten der Zahl ist immer reellwertig! _ /|\ A / \ conj(A) / \ / _\| Summe ist reell. Die Signalanteile treten im Spektrum also immer doppelt auf: Einmal mit der komplexen Amplitude A (bei der positiven Frequenz) und einmal bei mit der komplexen Amplitude conj(A) (bei den negativen Frequenzen). Wenn Du die Hälfte der FFT-Werte nicht beachtest, so ist klar, daß etwas fehlt. Daß ein Faktor 2 verlorengeht, hängt direkt damit zusammen, daß die Paare der Aufbaufunktionen jeweils konjugiert komplex zueinander sind. Den Faktor 2 kannst Du durch scharfes Hinsehen fast schon aus der Zeichnung ablesen. Rechnerisch ergibt er sich folgendermaßen: Sei A = |A|*exp(j phi) Dann gilt: A*exp(jwt) + conj(A)*exp(-jwt) = 2 |A| * exp(j phi) * cos(wt) Die Amplitude der Summe ist also tatsächlich doppelt so groß wie A und rein reellwertig. Gruß, Michael PS: Wenn Du die FFT von einem Signal mit N Werten machst, erhältst Du N Werte zurück. Sie gehören zu den Frequenzen: 0:fs/N:(N-1)/N*fs mit fs: Abtastfrequenz Die zweite Hälfte der Frequenzen sind aufgrund der Periodizität des Spektrums genau die negativen Frequenzen.
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