statistische Betrachtung eines Sum and Delaybeamformer

[Peter K. (peter26)]

Hallo

Ich bin gerade dabei einen Beamformer auf Performance mittels 
statistischen Mitteln zu untersuchen ... d.h Cramer Rao Lower Bound.
Da mich sehr interessieren würde ob die Summenbildung aus den Känälen 
der beste Schätzer ist.


D.h:


Grundsignal s[n] = A * sin[2*pi*f*n];  Annahme: das Signal kommt an 
allen Mikrofonkanälen gleichzeit an (keine zeitliche Verschiebung) ... 
dann habe ich in jedem Kanal eine Überlagerung des Grundsignals mit AWGN 
(Rauschen des Mikros bzw. Mikrofonvorverstärkers) -> führt zu x[n]= A * 
sin[2*pi*f*n] + w[n].

Mein Cramer Rao Lower Bound ergibt sich zu:

$$CRLB= \frac{\sigma^2}{\sum_{n=0}^N sin[\omega n]^2}$$

Der Punkt ist nun ... wann darf ich annehmen das meine Werte x[n] nicht 
Werte des gleichen Signals sind sondern Werte zum gleichen Zeitpunkt 
verschiedener Kanäle. Ergodizität darf ich ja nur annehmen falls das 
Signal stationär ist.


Das interessante wäre dabei nämlich das der CRLB von der Frequenz 
abhängt -> der Beamformer für bestimmte Frequenzen besser funktioniert.


Bitte um Kommentare zu diesen Betrachtungen.

Danke

lg
Peter

[Michael O. (mischu)]

Hmmm, so ganz habe ich dein Problem nicht verstanden...

Aber nur soweit:

Jedes Mikrofon hat seinen eigenen rauschenden Vorverstärker.
D.h. die Summenbildung summiert immer die Rauschspannungen aller 
Verstärker auf, egal aus welcher Richtung das Signal kommt und welches 
Delay Du vorschaltest.

Die konstruktive Überlagerung der Signale erfolgt nur von den 
einlaufenden Signalen. Je nachdem wieviele Mikrofone Du nutzt, desto 
richtungssensitiver reagiert dieses.
Zur statistischen Berechnung musst Du ein richtungsgewichtets 
Summensignal der Mikrofone erstellen, indem Du z.B. virtuell die 
Laufzeit des Luftschalls zu jedem Signal als Phasenverschiebung (bei nur 
einer Frequenz) einfügst.

Besser funktionieren....
Der Beamformer funktioniert nicht mehr richtig, wenn...
... die Frequenz zu hoch wird (spektral aliasing)
... der Schall z.B. bei einer linearen Einheit von vorne oder hinten 
kommt (spatial Aliasing)

[Peter (Gast)]

Hi,

Problem ist es ja keines ;-) ...

Ich möchte einfach nur gerne wissen ob meine Summenbildung der Kanäle 
(also der Sum-Teil des Beamformers) -> was ja nichts anderes ist als ein 
Schätzer der mir das originale Signal ohne Rauschen der Mikros,Preamp 
etc. liefern soll.

Mittels der Schätzertheorie kann ich ja den CRLB ansetzen der mir 
praktisch aufzeigt welches der besten Schätzer wäre und weiters kann man 
diesen auch ermitteln -> das ist eigentlich das was ich mir anschauen 
möchte.

Schätzer:

$$s[n] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]$$

Die normierte Summe über einzelnen Werte von N-Kanälen ist der Schätzer 
für das Quellsignal am Eingang.

Wie und warum ich auf des jetzt gekommen bin -> ich bin gerade dabei mir 
zu überlegen wie sich ein stärker rauschender Kanal bzw. vl auch noch 
Quantisierungsrauschen das ja oft korreliert mit dem Signal auf das 
Ergebnis auswirkt bzw. ob es dafür vl einen besseren Schätzer als nur 
die Summenbildung gäbe -> das ist die idee dahinter und oben mal der 
erste Schritt dazu.

Danke für deine Mühe

lg Peter

[Michael O. (mischu)]

Hallo Peter,

ich habe bisher mit statistischer Signalverarbeitung nichts am Hut 
gehabt - daher sagt mir CRLB auch nichts.

Aber klar ist:
Das ist meiner Meinung nach ähnlich wie bei einer Korrelation.
Unter Vernachlässignung der Richtungsauflösung und der Charakteristik, 
müsstest Du je Verdopplung Mikrofonkanäle einen Pegelgewinn 6dB und 
einen Rauschzuwachs von 3dB erhalten. In Summe steigt das SNR mit 3dB 
pro Verdopplung der Kanäle. (Das Rauschen überlagert sich energetisch, 
das Nutzsignal aber mit Amplitude und Phase).
Diese Beschreibung gilt nur bei statistisch unabhäöngigen Rauschquellen.

Sind die Rauschquellen nicht statistisch unabhängig, führt eine 
Verdopplung der Kanalanzahl nicht mehr zu einem Gewinn von 3dB / 
Verdopplung.
Ich nehme mal an, dass dich dieser Teil aus statistischer Sicht 
interessiert.

BTW - Du arbeitest nicht zufälliger Weise an einem Institut in Berlin?

[Peter K. (peter26)]

Michael O. schrieb:
> Hallo Peter,
>
> ich habe bisher mit statistischer Signalverarbeitung nichts am Hut
> gehabt - daher sagt mir CRLB auch nichts.
>
> Aber klar ist:
> Das ist meiner Meinung nach ähnlich wie bei einer Korrelation.
> Unter Vernachlässignung der Richtungsauflösung und der Charakteristik,
> müsstest Du je Verdopplung Mikrofonkanäle einen Pegelgewinn 6dB und
> einen Rauschzuwachs von 3dB erhalten. In Summe steigt das SNR mit 3dB
> pro Verdopplung der Kanäle. (Das Rauschen überlagert sich energetisch,
> das Nutzsignal aber mit Amplitude und Phase).
> Diese Beschreibung gilt nur bei statistisch unabhäöngigen Rauschquellen.
>
> Sind die Rauschquellen nicht statistisch unabhängig, führt eine
> Verdopplung der Kanalanzahl nicht mehr zu einem Gewinn von 3dB /
> Verdopplung.
> Ich nehme mal an, dass dich dieser Teil aus statistischer Sicht
> interessiert.
>
> BTW - Du arbeitest nicht zufälliger Weise an einem Institut in Berlin?

hi, nein ich arbeit nicht in berlin ... bin ein ösi aus graz ;-)

lg Peter