DFT mathematische Betrachtung

[Peter K. (peter26)]

Hallo,

Ich stehe wieder mal vor einer kleinen Hürde ... und zwar würde ich 
gerne eine Formel stehen haben, womit ich die Eigenschaften der 
Frequenzauflösung erklären kann (bei der DFT).

Ich möchte gerne die folgenden Punkte (welche mir prinzipell klar sind) 
damit erklären können:

.) Zeropadding
.) Einfluss der Fensterfunktion also Auflösung z.b
.) Leakageeffekt -> d.h wie kommt es zustande das wenn die Periode des 
Signals genau ins Fenster passt nur mehr ein Deltaimpuls (verschoben) im 
Spektrum sichtbar ist.

Also: mein Eingangssignal: x[n]=cos[n*w] und f[n]=Rechteckfenster mit 
Länge L

$$DFT: X[k]=\sum^{N-1}_{n=0} cos[n w] e^{j \frac{2 \pi}{N} n k} \rightarrow \sum^{+\inf}_{n=-\inf} f[n] cos[n w] e^{j \frac{2 \pi}{N} n k}$$

Dabei kann man ja die Standard DFT Formel umschreiben (siehe Pfeil) so 
dass die Fensterfunktion sichtbar wird. Mit dem Twiddlefactor 2*pi/N 
wird klar wenn N gegen unendlich geht dann geht die DFT praktisch in ein 
kontinuierliches Spektrum über (DTFT) d.h damit wäre Zeropadding 
erklärbar. Die Sinfunction die im Frequenzspectrum zustande kommt ist 
jedoch nur von der Länge des Signales abhängig. D.h nur mit der Länge L 
der Fensterfunktion kann die Auflösung verbessert werden -> aber wie 
kann man erklären das wenn die Länge L = 1/w ist das damit nur noch ein 
Deltapuls im Spektrum zu sehen ist und keine Sincfunktion mehr ?!

D.h mein Ziel wäre:

$$X[k]=\delta(k-k_0)$$

Bitte um Kommentare !

Danke
lg Peter

[Unit* (Gast)]

Zur Frage mit der Fensterlänge: im Falle des Peaks tastet man die 
sinc-Funktion an den Nullstellen ab... Ausnahme bildet sinc(0) ~= 0.
Dazu musst Du den obigen Ausdruck transformieren, dann sieht man das 
gleich. Tipp: x in cos und Fensterfunktion Aufspalten. Dann entsteht ein 
Dirac und die o. b. sinc-Funktion. Aus der sinc-Funktion entsteht ein 
Dirac. Dirac gefaltet Dirac bleibt ein Dirac.

Noch fragen?

[Unit* (Gast)]

Leakage: das gleiche Spiel: die Fensterfunktion wird nicht an den 
Nullstellen abgetastet -> sinc wird mit der Dirac-Funktion gefaltet.