RC glied - komplexe rechnung - Frequenzgang| Amplitudenverhältnis - Verständnisproblem

[yashi (Gast)]

Hi,

ich versuche eine komplexe untersuchung einer einfachen schaltung (RC) 
zuverstehen.
beim kondensator brauche ich in diesem fall nur den imaginären anteil 
berücksichtigen

$$\frac{Uc}{Uo}=\frac{Xc}{R+Xc}$$

das kann man dann ausformulieren:

$$\frac{Uc}{Uo}=\frac{\frac{1}{jwC}}{R+\frac{1}{jwC}} |* \frac{\frac{1}{jwC}}{\frac{1}{jwC}}$$

gekürzt erhält man:

$$\frac{Uc}{Uo}=\frac{1}{1+jwRC}$$

so ab hier beginnt es für mich undurchsichtig zu werden...
dieser Term wird jetzt in meiner musterlösung dazu genutzt die formel 
für das Amplitudenverhältnis zubauen, welches ja so definiert ist:

$$|F|=\sqrt{RE(F)^2+IM(F)^2}$$

meine lösung sagt jetzt einfach

$$\frac{Uc}{Uo}=\frac{1}{\sqrt{1+w^2R^2C^2}}$$

gut, in diesem fall schreit es einen direkt an dass das geht, nur habe 
ich auch lösungen zu anderen aufgaben da steht im Zähler nicht nur eine 
1 und trotzdem wird einfach nur der nenner quadriert und gewurzelt ^^, 
während der zähler völlig unberührt bleibt :/

Ich hätte F erst in IM und RE anteil zerlegt und diese dann wie die 
definition vorschreibt verrechnet :/

sprich so:

$$\frac{Uc}{Uo}=\frac{1}{1+jwRC}=\frac{1-jwRC}{1+w^2R^2C^2}=\frac{1}{1+w^2R^2C^2}+j*\frac{-wRC}{1+w^2R^2C^2}=>|F|=\sqrt{(\frac{1}{1+w^2R^2C^2})^2+(\frac{-wRC}{1+w^2R^2C^2})^2}$$

der nächste rechenschritt endet gewöhnlich nicht so wie er sollte..ich 
hoffe mal es ist bis dahin fehlerfrei :/ kann mir das wer bestätigen?

>kurz um: wann kann man diese abkürzung benutzen und wann nicht?

gruß

ps. latex im forum ist was tolles ^.^

[Kai Klaas (Gast)]

Jetzt kürze doch das in der Wurzel...

Die Idee ist, Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen zu 
erweitern, um den Nenner reell zu machen.

Kai Klaas

[yashi (Gast)]

>Die Idee ist, Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen zu
>erweitern, um den Nenner reell zu machen.

jo das ist klar, dass habe ich ja auch gemacht.

>Jetzt kürze doch das in der Wurzel...
wo kann ich denn da kürzen? :X

[Mathe (Gast)]

Mach dir doch das Leben nicht unnötig schwer!

Es gilt:

$$|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$$

D.h. du kannst dir die Aktion mit in Re + Im Teile zerlegen sparen!

Bei der Phase geht es analog:

$$arg(\frac{a}{b})=arg(a)-arg(b)$$

PS:
Deine Wurzel kann man noch kürzen!

[Kai Klaas (Gast)]

>wo kann ich denn da kürzen? :X

Naja, den Nenner hast du ja doppelt unter der Wurzel. Klammer den mal 
aus, dann kannst du kürzen.

Kai Klaas

[yashi (Gast)]

@mathe

$$|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$$

das ist mir schon klar, nur hat mich das hier etwas aus der bahn 
geworfen :/
das ist die andere oben erwähnte aufgabe.

$$F=\frac{jwRC}{1+jwRC} => |F|=\frac{wRC}{\sqrt{1+w^2R^2C^2}}$$

müsste das nach deiner definition nicht

$$F=\frac{jwRC}{1+jwRC} => |F|=\frac{\sqrt{j^2w^2R^2C^2}}{\sqrt{1^2+w^2R^2C^2}}=\frac{\sqrt{w^2R^2C^2}}{\sqrt{1+w^2R^2C^2}}$$

lauten?

mag sein das auch hier nur sehr gut zusammen gefasst wurde, nur sehe ich 
da keinen weg :/


gruß

[yashi (Gast)]

LLOOOLLL ok ich sollte mal eine pause machen xD

danke für eure hilfe ^^