Hi Leute, mal ne Frage an die Signalverarbeiter... Ich habe hier eine Übungsaufgabe, bin mir aber bei der Lösung unsicher.... Signal: x(t)=(1+alpha*sin(2pi*f1*t))*cos(2pi*f2*t) 0<alpha<1 Ist unter einer bestimmten Bedingung periodisch, welche? Ich dachte mir: x(t+T)=(1+alpha*sin(2pi*f1*t+2pi*f1*T))*cos(2pi*f2*t+2pi*f1*T) Dann: 2pi*f1*T=n1*2pi und 2pi*f2*T=n2*2pi Nach T auflösen: T=n1/f1 und T=n2/f2 Einsetzen und umstellen: f1/f2=n1/n2 -> ein ganzzahliges Verhältnis wird benötigt Ist das richtig? Bin mir iwie unsicher... Weiterhin gilt: f2=5*f1/2 Primitive Periode? Mache ich das wie oben, mit dem eingesetzten f2 und dann wieder über das Verhältnis, oder wie kann ich die primitive Periode von dem Signal bestimmen? Wäre dankbar für einen Denkanstoss
Du bist schon selbst auf die Lösung gekommen: Das Verhältnis der Frequenzen muss eine rationale Zahl sein.
Guten Tag Die folgende Darstellung kann bestimmt noch kompakter gemacht werden. Abkürzungen: ω₁ := 2·π·f₁, ω₂ := 2·π·f₂. Definitionen: T₀ = 2·π÷ω₀ (gesuchte Grund-Periode), T₁ = 2·π÷ω₁. Es reicht, die Grund-Periode (bzw. die Grund-Kreisfrequenz ω₀) des Signals y(t) = sin(ω₁·t)·cos(ω₂·t) zu untersuchen. Mit Hilfe des sin()-Additionstheorems kann nach y(t) = -½·sin([ω₂-ω₁]·t) +½·sin([ω₁-ω₂]·t) umgeformt werden (dieser Schritt ist möglicherweise nicht zwingend erforderlich, aber ich zog den Beweis auf einer Summe vor). Es sei ω₂÷ω₁ = p÷q; p ∈ |N⁺, q ∈ |N⁺ (rational, wie Detlev T. anmerkte); p und q teilerfremd (d. h. p, q das kleinstmögliche Zahlenpaar, welches das gegebene rationale Verhältnis exakt darstellt, ansonsten sind p und q zuvor durch deren GGT zu dividieren). Zusätzlich wird p > q angenommen. Einsetzen ergibt y(t) = -½·sin(ω₁·[p÷q-1]·t) +½·sin(ω₁·[1+p÷q]·t) = -½·sin(ω₁·[p-q]·t÷q) +½·sin(ω₁·[q+p]·t÷q). Behauptung T₀ = q·T₁. Beweis für die Periodizität: y(t) = y(t+T₀) (wie Student erwähnte) Einsetzen von q·2·π÷ω₁ für T₀: y(t+T₀) = -½·sin([p-q]·[ω₁·t+q·2·π÷ω₁]÷q)+½·sin(ω₁·[q+p]·[t+q·2·π÷ω₁]÷q) = -½·sin([p-q]·[ω₁·t÷q +2·π]) +½·sin([q+p]·[ω₁·t÷q +2·π]) Weil p±q ∈ |N und wegen der 2·π-Periodizität von sin() folgt die Behauptung. Weil das kleinstmögliche q verwendet wird, ist T₀ die Grund-Periode. Zusammenfassung Falls ω₂÷ω₁ = a÷b, a, b ∈ |N⁺, a > b, dann ist a÷b = p÷q mit p = a÷GCD(a,b) und q = b÷GCD(a,b). Die Grund-Periode ist dann T₀ = q·T₁ = q·2·π÷ω₁.
OK, vermutlich kann die Forderung p > q verworfen werden. Schönen Abend!
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