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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Fourieranalyse - Verständnissprobleme


Autor: Noob (Gast)
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Hallo,

ich habe leider Probleme die Fourier-Analyse/Synthese prinzipiell zu 
kapieren.

Ich denke mir, ich schildere mal wie ich das momentan sehe und ihr 
korrigiert mich bitte und entschuldigt meine Unwissenheit. Ich bin nur 
ein Hobbyist und das ganze ist nicht so einfach finde ich!

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Bei der Fourieranalyse bilde ich ein beliebiges periodisches Signal 
(oder eine Ansammlung von Messwerten oder eine mathematisch Funktion) 
erstmal auf eine Skala ab, z.B. Wert nach Zeit oder aber z.B. Pixelwert 
nach Koordinate (oder besser: Index).

Dann versuche ich, die auf der Skala enstandene Kurve durch Addition von 
(beliebig vielen?) Sinus und Kosinus-Funktionen nachzubilden. Dies kann 
man z.B. über Fourier-Reihen annähern oder man kann für konkrete 
Messwerte mittels der Fourier-Transformation einen komplexen Wert 
errechnen, in den Phase und Amplitude kodiert sind. Die Phase bezeichnet 
dabei die Größe des Winkels des jeweiligen (Ko-)Sinus-Funktionswertes 
des diskreten Messwertes. Die Amplitude gibt einfach nur den Extremwert 
der Schwingung, auf dem dieser Messwert liegt, an.

Diese Informationen kann ich nutzen um Signale elegant aufzubereiten, 
z.B. um Noise/Rauschen zu entfernen, in dem ich z.B. bestimmte 
Frequenzen (das stelle ich mir dann als eine einzelne der addierten 
Sinus-Funktionen vor) entferne.

So weit so gut. Ich bin mir sicher, ich habe einige Dinge falsch 
ausgedrückt und eventuell auch Mist geredet. Für Korrekturen, 
Anmerkungen und Erläuterungen wäre ich äußerst dankbar!

Autor: Nico S. (Gast)
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Stell dir vor, du hast ein zweidimensionales Koordinatensystem.

Du nimmst den Punkt p = (1,2) und möchtest das abbilden auf deine Basis 
a = (1,0) und b = (0,1), was einfach praktisch ist, weil dein Motor sich 
nur in die Richtungen a und b bewegen kann.

Also überlegst du dir:

p = 1 * a + 2 * b = 1 * (1,0) + 2 * (0,1) = (1,2)

und fertig bist du.

Das, was mit Vektoren geht, geht auch mit Schwingungen. Du bildest ein 
Signal also ab auf sin(x), sin(2x), sin(3x), sin(4x) und so weiter. Das 
ist deine Basis, vergleichbar mit den "Richtungen" im kartesischen 
Koordinatensystem.

Du kannst ein beliebiges Signal mit der Fourieranalyse untersuchen, du 
brauchst nur im Normalfall unendlich viele Summanden.

Autor: Olaf (Gast)
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Interessant, so eine allgemeine Frage und noch keine Antwort? Sind die 
ganzen Theoretiker noch nicht wieder bei Bewusstsein? :-D


Ich wuerde sagen das du das meiste schon verstanden hast, man aber ueber 
Ursache und Wirkung streiten kann.

Grundidee ist meiner Meinung nach das man beliebige 
Kurvenformen/Funktionen durch sinusfoermige Frequenzen darstellen kann. 
Man koennte sogar ueberlegen ob die sinusfoermige Darstellung nicht 
sogar die natuerlichere ist weil z.B LC-Glieder oder Massen nunmal so 
schwingen.

Man kann daraus dann verschiedene Erkenntnisse ableiten. So braucht man 
ja unendliche viele Oberwellen um z.B eine Rechteckfunktion mit 
Sinusfunktionen darzustellen. Da man aber keine unendlich hohen 
Frequenzen hat, kann man daraus lernen das ein Rechteck in der Praxis 
keinen unendlich schnellen Anstieg haben kann. Oder man koennte auch 
ausrechnen welche Frequenzen man uebertragen muesste um eine bestimmte 
Anstiegszeit hinzubekommen.

Das was man dann als Fourieranalyse/Synthese bezeichnet sind dann 
lediglich mathematische Verfahren die es einem ermoeglichen von der 
einen Betrachtungsweise in die andere zu kommen.

Was man dann wiederum daraus macht ist dann nochmal eine ganz andere 
Sache.

> z.B. um Noise/Rauschen zu entfernen,

Rauschen das einmal in einem Signal drin ist kannst du nicht mehr 
entfernen. Du kannst nur bestimmte Annahmen ueber dein Signal treffen. 
Also z.b definieren das sich dein Signal immer in einem bestimmten 
Bereich aufhaelt und dann ausserhalb die Frequenzen oder Amplituden 
plaetten.

Ein gutes Beispiel dafuer sind Digitalkameras. Du kannst durch 
intensiven Einsatz von Rauschfiltern zwar das Bildrauschen an dunkeln 
Stellen vermindern oder gar ganz unterdruecken. Aber als Nebeneffekt hat 
dann Oma Wetterwachs halt keinen haarigen kleinen Pickel mehr auf der 
Nase weil der auch unterdrueckt wurde. Das mag in der Praxis sogar 
vorteilhaft sein, aendert aber nichts daran das man nicht mehr die 
Realitaet wiedergibt.

Olaf

Autor: Simon Huwyler (simi)
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Noch ein Sinn dieser Fourier-Analysen:

Ein ganz wichtiger Aspekt davon ist, dass im Frequenzbereich vieles sehr 
viel einfacher zu rechnen ist.

Nimm z.B. das oben erwähnte Rechtecksignal, theoretisch bestehend aus 
unendlich vielen, unendlich schnellen Sini.

In der Praxis gibt's das aber nicht. Und zwar, weil es halt auch keine 
unendlich steile Flanken gibt. Das würde - im elektrischen Beispiel 
unendlich hohe Ströme (wegen Kapazitäten) resp. unendlich hohe 
Spannungen (wegen Induktivitäten) bedeuten.

Diese Begrenzungen durch Induktivitäten und Kapazitäten zu berechnen, 
ist im Zeitbereich halt nur mit komplizierten Differentialgleichungen zu 
bewerkstelligen. Im Frequenzbereich geht das viel einfacher. Da kannst 
Du jeden Sinus separat durchrechnen und dann alle zusammen einfach 
zusammenzählen.

Das Prinzip ist also wie folgt:

Statt EINE sehr komplizierte Berechnung zu machen, kann man:

1. über eine komplizierte Berechnung vom Zeitbereich in den 
Frequenzbereich gehen
2. ganz einfach im Frequenzbereich berechnen, was Du berechnen willst
3. mit dem Resultat über eine komlizierte Berechnung wieder in den 
Zeitbereich gehen.

der Clou daran: Schritt 1 und 3 ist Standardwissen und immer gleich. 
Diese Arbeit haben andere schon für Dich gemacht. DU musst also nur noch 
Schritt 2 speziell für Deine Aufgabe selber machen.

Gruäss
Simon

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