Satz von Gauß

[Gauß12345 (Gast)]

Hallo,

kann mir jemand erklären, was genau der Satz von Gauß besagt?

Und vor allem was bedeutet das Umlaufintegral? Außer dass es so heißt, 
bin ich leider noch nicht schlauer geworden. Habe das vorher noch nie 
gesehen und unser Prof ist leider unfähig, so etwas zu erklären.


Würde mich über eine Antwort freuen!

[ich (Gast)]

Wikipedia? Gurgel ausgefallen?

"Im letzteren Fall wird die Bedeutung des Satzes besonders anschaulich. 
Nehmen wir an, das Vektorfeld \vec F beschreibt fließendes Wasser in 
einem gewissen Raumbereich. Dann beschreibt die Divergenz von \vec F 
gerade die Stärke von allen Quellen und Senken in einzelnen Punkten. 
Möchte man nun wissen, wie viel Wasser aus einem bestimmten Bereich V 
insgesamt herausfließt, so ist intuitiv klar, dass man folgende zwei 
Möglichkeiten hat:

1. Man untersucht bzw. misst, wie viel Wasser durch die Oberfläche von V 
aus- und eintritt. Dies entspricht dem Durchfluss von senkrechten 
Komponenten auf der Oberfläche als Oberflächenintegral.
2. Man bilanziert (misst) im Innern des dadurch begrenzten Volumens, wie 
viel Wasser insgesamt innerhalb von V in Senken (Löchern) verschwindet 
und wie viel aus Quellen (Wasserzuflüssen) hinzukommt. Man addiert also 
die Effekte von Quellen und Senken. Dies wird alternativ und 
gleichwertig dann durch das Volumenintegral über die Divergenz 
realisiert.

Der gaußsche Integralsatz besagt, dass tatsächlich beide Möglichkeiten 
stets absolut gleichwertig zum Ziel führen. Er hat damit auch den 
Charakter eines Erhaltungssatzes der Energie."

[Ulli N. (Gast)]

ich (Gast) hat es ja schon sehr schön erklärt. Ich ergänze noch 
folgendes für die praktische Anwendung:
Wenn du mit dem Hüllenintegral rechnen kannst, hast du es nur mit einem 
Zweifachintegral zu tun. Wenn du mit dem Volumenintegral über die 
Divergenz rechnen musst, must du ein Dreifachintegral auswerten. 
Ausserdem liegt oft schon eine einfache Hüllengeometrie vor z.B. 
zylindrisch.