Faltungsoperation

[Manu (Gast)]

Wenn ich habe eine Impulsantwort eines LTI Systems:

$$h[n] = \delta[n] + \frac{1}{2}\delta[n-1]$$

und ein Eingangssignal:

$$x[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta[n+2k]$$

und das AUsgangssignal suche, dann muss ich ja die Faltung anwenden:

$$y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty}x[k]y[n-k]$$

Und jetzt die Frage:

Gibt es irgendeinen Trick wie ich sofort herausfinden kann, #
dass y[n] = x[n] + 1/2 x[n-1] ohne die Faltungsoperation mit den 
Summen anzuwenden?

Weil in der Lösung steht das einfach so da und ich hab da aber die 
Doppelsummen zuerst aufgeschrieben und dann erst mit delta einiges 
vereinfacht bis ich auf das selbe gekommen bin.
Aber wenn ich mir das so ansehe, dann sehe ich hat das Ergebnis 
ähnlichkeit mit der Form der Impulsantwort.
Kann ich da einfach immer statt dem delta ein x schreiben und es stimmt?
Ist das der Trick?

[Michael A. (michiavelli)]

Jo, schau dir die Ausblendeigenschaft des Diracs an:

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot \delta[k-k_0] = x[k_0]$$

Nur wenn das Argument des Diracs gleich 0 ist, wird das Eingangssignal 
nicht ausgeblendet.

Wenn du also mit einem Dirac faltest

$$y_1[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot \delta[n-k] = x[n]$$

wird das Argument des Diracs stets bei k=n gleich null.

Verschiebt man den Dirac auf der n-Achse um 1 nach rechts, dann wird das 
Argument bei k=n-1 gleich null:

$$y_2[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot \frac{1}{2}\delta[n-(k+1)] = \frac{1}{2}x[n-1]$$

Das Zauberwort, um nicht rechnen zu müssen, ist also 
"Ausblendeigenschaft".

[Manu (Gast)]

Ja, so habe ich das ja eh gemacht. Ok. Danke!!