Digitale Signalverarbeitung

[Oli R. (oliraf)]

Hallo
ich verstehe die Aufgaben nicht.

Nr.1
Ein lineares zeitinvariantes diskretes Filter ist durch folgenden 
„komplexen Frequenzgang“ H(Ω) beschrieben: H(Ω)=ej6Ω -1.
Das zu filternde Eingangssignal bestehe aus einem kosinusförmigen Signal 
x(t)=u0·cos(ωt). Es gelte ω=62,83185·103 s-1; x(t) werde mit 30kHz 
synchron zum analogen Eingangssignal abgetastet.

a) Bestimmen Sie fanalog.

b) Ermitteln Sie die „digitale Frequenz Ω“ der Wertefolge x( n ) .

c) Wie groß ist die Amplitude des Ausgangssignals y( n ) im Verhältnis 
zu der des Eingangssignals x( n )?

Nr.2
H(Ω)=(ej2Ω -1)/ ej2Ω

a) Bestimmen Sie H(z).

b) Das zu filternde Eingangssignal lautet x( n )= u( n ). Überprüfen 
Sie, ob das
Ausgangssignal y( n ) für große Werte für n konvergiert und geben sie 
gegebenenfalls diesen Zahlenwert an.

Nr.3
Bestimmen Sie unter Verwendung der Grenzwertsätze der einseitigen 
z-Transformation den Anfangswert x(0) und den Endwert x(∞) des folgenden 
Signals:
X(z)=[2z·(z-0,4)]/[(z-0,5)(z-0,3)]

Nr.4
Die Impulsantwort eines LTI-Systems ist wie folgt definiert: h(0)=0, 
h(1)=1, h(2)= -2, h(3)=1. Außerhalb dieses Bereichs gilt h( n )=0.
a) Begründen Sie, ob es sich um ein kausales System handelt.
b) Begründen Sie direkt mittels h( n ), also ohne Kenntnis von H(z), ob 
das System stabil ist.
c) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z).
d) Nun werde auf den Eingang des LTI-Systems das Signal x( n )=u(n-1) 
geschaltet. Überprüfen Sie, ob sich die z-Transformierte des zugehörigen 
Ausgangssignals beschreiben lässt durch Y(z)= z-2 – z-3.

Vielen Dank

Lösungen:
Die Lösungen Sind auf die bilder.
Nur Die mit den ROten Fragezeichen verstehe ich net.

[Oli R. (oliraf)]

Ich zahle auch .

[Markus B. (russenbaer)]

2b) Tipp:

$$z^{2} - 1 = (z-1) * (z + 1)$$

dann kannst kürzen, wenn das Deine Unklarheit ist.
BTW. X(z) ist ja die z-Transformierte der Sprungantwort, falls das Deine 
Unklarheit ist.

$$X(z) = U(z) = \frac{1}{1-z^{-1}}$$

4a) Tipp: Impulsantwort gegeben -> da gibts kein h[n] für n<0 => kausal
4b) Tipp: System ist stabil, ist für h[n] bei n-> unendl. gleich 0, 
ausserdem besteht h[n] ungleich 0 für nur 3 Werte.
4c)

$$H(z) = z^{-1} * (1 - 2 * z^{-1} + z^{-2}) = z^{-1} * (1-z^{-1})^2$$

$$X(z) = z^{-1} * \frac{1}{1-z^{-1}}$$

=>

$$H(z)*X(z) = z^{-1} * (1-z^{-1})^2 * z^{-1} * \frac{1}{1-z^{-1}} = z^{-2} * (1-z^{-1}) = z^{-2} - z^{-3}$$

für die anderen Sachen hab ich jetzt weder Lust noch Geduld, Gute Nacht.

lg
Markus

[Oli R. (oliraf)]

Vielen Dank herr
Das mit  Stabil und Kausal verstehe ich nimmer noch net.
Und ab wann ist ein Fir und ab wann IIr Filter.
Danke

[Markus B. (russenbaer)]

Stabil: Wenn es nicht zu oszillieren beginnt. z.B. Jimmy Hendrix 
Gitarrenspiel am Verstärker/Lautsprecher -> Rückkopplung, Oszillation. 
System hat sich aufgeschaukelt.
Die Impulsantwort in dem Beispiel besteht nur aus 3 Werten. Da ist 
nichts was aufgeschaukelt ist, deshalb ist es stabil. Die Impulsantwort 
ist endlich lang -> FIR Filter. FIR Filter sind immer stabil. (FIR = 
Finite Impulse Response, IIR = Infinite Impulse Response)

Kausal:
Eine Reaktion des Systems gibt es erst NACH einer Aktion von aussen.
Wenn das System schon etwas macht bevor eine Anregung von aussen 
passiert ist nennt man das System akausal!

Die Impulsantwort ist die Antwort des Systems auf einen Impuls (Wert = 
1) bei n=0, für alle anderen n ist der Wert = 0.
D.h. wenn das System kausal sein soll darf die Impulsantwort des Systems 
keine Werte ungleich 0 für n < 0 besitzen.

Ich hoffe das hat geholfen.

lg
Markus

[Stefan K. (berliner)]

Im übrigen hilft ein Bibliotheksbesuch und anschließendes Lesen auch 
ungemein ...

[Markus B. (russenbaer)]

Ahja zu 3
Der Grenzwertsatz besagt das du den Wert für x[n] für n nach unendlich 
gleich ist

$$\lim_{n\rightarrow \infty}x[n] = \lim_{z\rightarrow 1} \frac{z-1}{z} X(z)$$

Die genauen Bedingungen schaue bitte in Deinen Unterlagen nach oder 
bemühe G**gle. Bei mir ist das schon länger her...
(Habe es unter 
http://newsarchiv.tugraz.at/browse/tu-graz.lv.signaltransformationen/msg00141.html 
gefunden)


Na und da wird in dem Beispiel ganz einfach nur eingesetzt:

$$\lim_{z\rightarrow 1}\frac{z-1}{z}X(z) = \lim_{z\rightarrow 1} \frac{z-1}{z} \frac{2z (z-0,4)}{(z-0,5)(z-0,3)} = \frac{1-1}{1} \frac{2*1 (1-0,4)}{(1-0,5)(1-0,3)} = 0$$

[Markus B. (russenbaer)]

... da kann ich Stefan nur recht geben...