Sprungantwort h(t) aus Impulsantwort eines LTI-Systems

[Chris G. (chris12345)]

Hi Leute,
ich bin neu hier und hätte eine Frage bezüglich einer 
Prüfungsaufgabe,die ich nicht lösen kann. Ich würde mich freuen, wenn 
mir jemand helfen könnte.

Gesucht ist die Sprungantwort h(t) aus der Impulsantwort g(t).

g(t) = a*\delta(t) - b*x(t)   a>0; b>0


mit den Beispielen, die ich habe,komm ich leider nicht weiter.

Viele Grüße
Chris

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Ohne Gewähr.
Gegeben ist die Impulsantwort im Zeitbereich.

$$h(t) \ = a \cdot \delta (t) +b \cdot x(t)$$

Für die Lösung gibt es zwei Wege.
1. Berechnung der Sprungantwort mittels Faltung.

$$g(t) \ = \ \epsilon(t) \ * h(t)$$

$$g(t) \ = \ a \ \cdot \delta(t) *\epsilon(t) \ +b \ \cdot x(t) * \epsilon(t)$$

$$g(t) \ = \ a \cdot \int_{0}^{t} \delta(u) \cdot \epsilon(t-u) \ \mathrm{d} u \ +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \cdot \epsilon(t-u)\ \mathrm{d} u$$

$$g(t) \ = \ a \cdot \underbrace{\int_{0}^{t} \delta(u) \ \mathrm{d} u}_{1} \ +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \ \mathrm{d} u$$

$$g(t) \ = \ a +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \ \mathrm{d} u$$

2. Berechnung der Sprungantwort im Bildbereich.
Transformation der gegebenen Impulsantwort in den Bildbereich:
h(t) ⊶ H(s)

$$H(s) \ = \ a \ +b \cdot X(s)$$

Sprungfunktion: ε(t) ⊶ 1÷s.

$$G(s) \ = \ \frac{1}{s} \cdot H(s)$$

$$G(s) \ = \ \frac{a}{s} \ + \frac{X(s)}{s}$$

Rücktransformation der Sprungantwort in den Zeitbereich.
⊷

$$g(t) \ = \ a \ +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \ \mathrm{d} u$$

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Huch, ich hab die gegebene Impolsantwort falsch abgeschrieben, überall 
müsste es "- b" anstelle "+ b" heissen.
° Und bei "G(s) = a/s +X(s)/s" fehlt im 2. Term noch der Faktor "-b".
° Ausserdem hab ich in der Eile noch G und H vertauscht.